LXIII. — Placer le point W : , etc

Ce point s'est aussi très souvent présenté à nous. (iV. il., 1885, § 1, n° 4, p, 204; A. F., Congrès de Limoges, 1890, p. 124; Congrès de Marseille, 1891, p. 155, n® 13; voir, à propos de ce dernier refert, le renvoi indiqué à la construction b donnée plus loin, du problème qui nous occupe.)

Je vais d'abord placer ce point en me servant des valeurs de ses coordonnées, je donnerai ensuite une autre méthode plus simple.

a) Pour réduire les coordonnées données de W à des lignes, je les diviserai toutes trois par. une même quantité qui devra être le produit de deux lignes. Je choisis le produit bc de deux côtés du triangle, ce qui me paraît permettre les plus grandes réductions possibles dans la construction ; ces coordonnées peuvent alors s'écrire : / Ij ( T'a)'

(^o^ b\ \b~ c "cj

Il faut donc construire d'abord les lignes — > -r > — > — > — que, pour

abréger, j'appelle respectivement Z^, l^, /g, Z^, l^.

On pourrait faire pour cela cinq fois la construction XXXIV^, mais il y a des économies possibles.

1® Je n'ai, pour les cinq constructions, à tracer que trois cercles ayant

pour centres A, B, C, en les prenant d'un même rayon; cela économisera:

op. : (7C, + 7C3).

a* c* 2« Pour avoir — > — » j'ai à faire les angles A et C en B;

» — > — > ); » A et B en C;

bc

» — > » l'angle C ou l'angle B en A.

(Se reporter au détail de la construction citée.)

Je ne prendrai donc entre les branches du compas qu'une fois la corde.

correspondant, dans les trois cercles tracés, aux angles A, B, C, puisque ces cercles sont tracés et que je pourrai alors utiliser, pour les constructions des angles, la corde d'un angle au moment où je Taurai dans les branches du compas; j'économiserai par là : op. : (4Ci).

J'ai ramené ainsi la solution à construire le point : (^i - — h)^

(k — h^^ (h — ^ -) ' n'ayant encore fait que o[2R, + R^ + SC^ + 3C,]

— 7Ci — 7C3 — 4Ci, ou op.: [lORi + 5R, + 14Ci + 8C,],

Pour prendre les trois quatrièmes proportionnelles /^ •- > /i--> l^--que j'appelle >i, >,, Xj, j'opère ainsi :

Construction del* ouh*- :

Je porte AB en CL sur CB dans le sens CB .... op. : (3Ci + C3).

Je porte l^ en CL' sur CA dans le sens CA r . . .op. : (3Ci + Cj) ; puis je mènerai par B une parallèle à LL' (sans tracer LL'), constrjaction XVn.

3° Cette parallèle coupera CA en U et CL" sera — ou X^

op. : (2R, + Ra + 6C, + 2C,).

Construction de\ou\^^^r :

Par L', je mène une parallèle à AL (sans tracer AI-i)

op.: (2R, + R, + 6C, + 2C3),

qui coupe CB en N; CN sera \.

Construction de'X^oul^*-' :

Je porte l^ sur CB en CP dans la direction CB. . . op. : (3Ci + Cj).

Par P, je mène une parallèle à LA (sans tracer LA)

op. : (2R, + R, + 6C, + 2Ca),

qui coupe CA en P'; CP' sera \^.

J'ai maintenant à construire les trois longueurs /^ — l^, /g — Xj, l^ — Xg.

Ce que je fais en portant /g sur X^, X,, sur ij? ^s sur l^ dans le sens

convenable par op. : (9Ci -(- 3C3),

et j'ai enfin trois longueurs fx^, fx^, [Xg par le symbole

op. : (16Ri + 8Ra + mC, + 20Cg).

Il ne me restera plus, pour placer W, qu'à faire la construction XLIX du point dont les coordonnées normales proportionnelles sont : [x^, [Xj, |Xg, et je l'aurai obtenu par le symbole total :

Op. : (32Ri + I6R2 + 68C1 + 32Cg); simplicité 148; exactitude 100; 16 droites, 32 cercles.

b) Je m'appuierai, pour efifectuer la seconde construction, sur le moyen de construire le point V^ : x'x^(:^z^ — -^'î/i)» ^te»» connaissant les points M' ; x\ y\ z' et M^ : aj^, y^^ z^, moyen que j'ai donné au Congrès de Marseille, A. F., 1891, p. 153, n^ 13 (*).

On voit que, si M' et M^ sont les points de Brocard^ Vi est le point

W ; , etc., dont nous nous occupons.

Je place les points de Brocard W et M^ par la construction LIV. . . . • op. ; (12R, + 6R, + 12C, + 8C3).

Comme, dans cette construction, je n'ai tracé que deux des droites AM', BM', CM' et deux des droites AM^, BMj. CM^, je trace les deux autres, qui me sont nécessaires ici op. : (4Ri -|- 2Ri).

Je place le point appelé a (loco dtato). ..... op. : {HR^ + ^%)9

et je trace la droite Aa, qui contient W et la droite Bp, qui contient aussi W op. : (8Ri + 4R,).

W se trouve alors placé, au moyen du symbole :

Op. : (28Ri + 14R, + 12Ci + 8C,); simplicité 62; exactitude 40; 14 droites, 8 cercles.

Et rien ne dit, naturellement, qu'en s'appuyant sur d'autres propriétés du point W, on ne trouverait pas mieux.

J'ai traité cette question surtout pour donner un exemple de la façon de discuter les problèmes de construction ; j'ajouterai que les constructions tirées des théorèmes de la géométrie du triangle (comme la construction b de ce point W) sont, pour ainsi dire, toujours beaucoup plus simples que celles qui sont déduites simplement de la valeur des coordonnées du point à construire, quelque soin que l'on mette d'ailleurs, comme je l'ai fait ici, à économiser les constructions en profitant de toutes les simplifications que la nature des données suggère.

Toutes ces remarques très simples qui se font vite et facilement dès que Ton a un peu l'habitude de construire avec nos principes sont, comme l'on voit, fort longues et assez fastidieuses à détailler, à cause même de leur degré d'évidence ; en suivant ce mémoire, un crayon à la main, on verra qu'il se lit sans aucun effort et que presque partout la pensée du lecteur suivra immédiatement ou même devancera notre exposition, car les connaissances nécessitées par la théorie proprement dite de Yart des constructions se bornent aux trois premiers livres de la Géométrie de Legendre.

J'ai répété quelquefois diverses observations ; je ne l'ai pas fait sans intention, car le sujet traité étant nouveau, j'ai cru bon d'insister ainsi

{*) A l'endroit cité, il y a quelques mots sautés à l'impression : page 153, ligne 4, en remontant, il

a* — 62c2 faut, après points de Brocard, ajouter : Vj est le point , etc.

É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 83

sur certains détails lorsqu'ils se présentaient à plusieurs endroits d'une façon naturelle, afin de ne pas obliger le lecteur à se souvenir de tout ce qui avait été dit précédemment.

Nous n'avons pas eu pour but, dans l'étude de la Simplicité et de l'Exactitude des constructions, de créer quelque chose qui correspondît exactement aux cas de la pratique ; nous croyons, du reste, la chose impossible pour beaucoup de raisons : par exemple, on ne peut que compter également, dans une théorie quelconque, l'intersection de deux droites, quelles qu'elles soient, l'intersection d'un cercle et d'une droite, etc., et si, dans une épure, l'une des droites est tout entière hors du papier, si le cercle a un rayon considérable, si les deux droites coïncident presque, etc., etc., les opérations sont, en réalité, quelquefois impraticables, quelquefois fort difficiles; aussi l'appréciation de toutes les combinaisons diverses qui peuvent se présenter de cette façon échappe bien évidemment à toute mesure. De ce que nos mesures ne correspondent pas à la réalité immédiate, on ne peut conclure à la stérilité de la méthode, pas plus que — si parva licet componere magnis — on ne peut dire de la mécanique rationnelle qu'elle est inutile parce qu'elle ne correspond point à la pratique. Du reste, rien que ce travail, où sont simplifiées effectivement par notre méthode les constructions fondamentales, séculairement admises, de la géométrie, suffit pour établir son utilité, car il est difficile de croire que si l'attention des géomètres avait été attirée de ce côté, ils eussent mis comme à plaisir, de toute antiquité, dans les traités didactiques, dés types de construction compliqués, s'ils avaient pensé qu'il en existât de plus simples.

Nous avons fait les hypothèses suivantes :

Tous les cercles sont également faciles à tracer.

Toutes les droites sont également faciles h tracer.

C'est-à-dire que nous opérons sur une feuille infinie et que la grandeur des compas et des règles est illimitée.

C'est dans le même esprit que nous avons raisonné pour donner le même symbole C^ à l'opération qui consiste à mettre la pointe d'un compas en un point A lorsqu'une des pointes est libre et à l'opération qui consiste à mettre la seconde pointe du compas en un point A lorsque la première est maintenue en un autre point B, — opération que l'on fait pour prendre, entre les branches du compas, la distance qui sépare les deux points A et B. — Nous n'avons considéré que ceci : dans les deux cas nous faisons coïncider une pointe avec un point déterminé, ne nous occupant pas de la manoeuvre à laquelle l'instrument nous oblige pour cela; on peut remarquer, du reste, que si la manoeuvre est différente effectivement, le soin à mettre pour faire les deux opérations est le même, si l'on veut obtenir la plus grande exactitude possible. Dans une pareille

54 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR l'aVANCEMENT DES SCIENCES ^

théorie, Ton se trouvera toujours entre la spéculation pure et les faits, puisqu'il n*y a pas de représentation réelle du point, ce que nous considérons comme tel, étant une petite surface, soit sur Tépure, soit à la pointe du compas, etc.

Il pourrait encore sembler, nécessaire de tenir compte du nombre de fois que la construction oblige à changer d'instruments en quittant le compas pour reprendre la règle et réciproquement ; on emploierait pour cela un nouveau symbole, — la chose serait, du reste, facile — mais elle nous semble superflue et ne se trouve pas dans le point de vue où nous nous sommes placés; d'abord, ce changement d'instrument n'est ni une opération de préparation Ri, Cl, C„ ni une opération de tracé R^, Cg, qui importe au résultat ; ensuite l'idée qui la ferait admettre, c'est le désir de tenir compte du temps et nous ne considérons pas directement cet élément. Nous disons que la construction A est plus simple que la construction B si A exige moins d'opérations élémentaires théoriques que la construction B, voilà tout.

Les positions des données amènent en pratiqm des impossibilités ou des complications de tracés pour résoudre les diflicultés, alors le temps serait évidemment un élément à considérer, mais nous croyons impossible de le faire théoriquement ; on peut objecter aussi que le temps employé à l'étude préliminaire de la construction à exécuter compense celui qu'on gagnerait à exécuter l'épure sans tant de recherches, mais d'abord un peu d'exercice rend cet examen rapide et, surtout, nous ne considérons pas le temps, mais nous avons en vue l'exactitude de l'épure qui estévidem* ment d'autant plus grande qu'il y a moins d'opérations à effectuer, puisque chacune d'elles entraîne une erreur (*).

C'est toujours en suivant la même idée théorique que nous avons adopté l'hypothèse que les opérations élémentaires R^, R,, Ci, Cj, Cg étaient égales pour former le coefficient de simplicité, nous les considérons comme des éléments et une opération de simplicité n est une opération qui exige n opérations élémentaires.

Il serait facile d'imaginer des moyens qui sembleraient évaluer les rapports de la durée des opérations élémentaires en faisant exécuter en même temps plusieurs constructions déterminées, par des ensembles de bons dessinateurs, lesquels répéteraient m fois la même construction, de marquer le temps et de déduire de là, en prenant les coefficients de Ri,

(*) A propos de l'influence du nombre des opérations sur l'exactitude finale du résultat, nous signalerons une question qui nous semble fort intéressante, mais que nous n'avons pas poursuivie, parce que sa solution dépend de spéculations avec lesquelles nous ne sommes pas très familiarisés. J'appelle fi l'erreur moyenne probable que l'on fait sur chaque opération élémentaire, E„ l'erreur

probable finale d'une construction dont la simplicité est n. Cela poséi quelle est la valeur probable de £-*• li un même résultat Asi recherché pat deuH solutions qui exigent rwpeoUvem^nt n et n' opé* fftUoni éléoieiittiret, c*es(-à41re dont les coefflolenti âe slmpUcltd lopt n et «l' y

R„ etc. comme inconnues, des équations qui permettraient de déterminer leurs rapports de durée; mais en y réfléchissant un peu, Ton voit que Ton n'aurait ainsi que des valeurs s'appliquant aux circonstances particulières des épures adoptées pour faire cette expérience, et nulleinent à la pratique générale ; la chose peut avoir cependant un intérêt de curiosité, quoique nous ne fassions pas intervenir directement le temps dans Yart de la construction géométrique, et nous avons le projet de la mettre à exécution, si nous trouvons de^ circonstances favorables pour cela.

J'ai déjà dit que les géomètres n'avaient jusqu'ici cherché que la simplicité spéculative du raisonnement et de l'expression, qu'ils n'ont pas paru soupçonner que la simplicité de la construction réelle était tout autre.

Cela vient évidemment de ce que les géomètres construisent peu en général, et Vart de la construction n'a pas eu jusqu'ici de place dans la géométrie : 1° parce que les géomètres spéculatifs ne s'en sont jamais occupé ; %^ parce que les dessinateurs de profession n'ont en général qiie très peu besoin de ces subtilités dans les constructions usuelles de leur métier ; qu'ils doivent avoir l'esprit plus appliqué à la pratique proprement dite qu'à des recherches théoriques (cependant utilisables par. eux et qu'ils ont adopté, sans examen et tout naturellement, les constructions indiquées de tout temps par les géomètres dans les livres didactiques qu'ils ont entre les mains.

Il n'est point surprenant que la simplicité du raisonnement spéculatif ne corresponde pas très fréquemment à la simplicité de la construction :

1® Parce que le lexique géométrique permet de condenser souvent en un mot des opérations très complexes ;

2® Parce que le raisonnement est libre de toute entrave, tandis que la construction est assujettie à se servir de certains instriiments déterminés, la règle et le compas (*), au moyen desquels il faut que tout s'exécute.

Lorsque l'idée nous est venue de nous occuper de ces questions, nous avions songé d'abord à une autre représentation des constructions, dont nous allons dire quelques mots.

Avec une règle on ne peut faire autre chose, pour une construction, que :

Tracer une droite quelconque. op. : (pj ;

Tracer une droite passant par un point donné op. : (pj ;

Tracer une droite passant par deux points donnés op. : (p,) ,

Et, avec un compas, que : prendre entre les branches du compas la distance de deux points , op. : (yi).

Reporter cette distance sur une hgne donnée :

(*) Nous n'avons pas considéré ici Téquerre parce qu'on ne l'emploie pas dans les constructions qu doivent être très exacte* ; mais, ainsi (juenous l'avons montré {A. P., U88, Congrès d'Oran, p. 9 etAUltur8)i il est facile d'évaluer le symbole des opéretion? où l'on emploierait cet Instrument*

36 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR L'aVANCÇMENT DES SCIENCES

Soit à partir d'un point quelconque , . . . . op»' (ïi)*

Soit à partir d'un point donné .op.: (y^').

jTracer un cercle d'un centre quelconque op.: (y,).

Tracer un cercle d'un centre donné op.: (y^).

Tout tracé fait avec ces instruments peut donc être représenté par un symbole de la forme :

A(p,) + B(p,) + G(p,) + D(r,) + E(r;) + F(r;) + G(rO + Uiy[).

Nous y avons renoncé assez vite :

Parce que cette représentation est trop compliquée ;

Parce que ces diverses opérations sont trop différentes entre elles pour qu'on puisse les assimiler à aucun point de vue ;

Parce que la plupart des symboles qu'elle admet se composent d'opérations irréductibles qu'il vaut mieux prendre pour points de départ;

Parce qu'elle ne met pas en évidence les opérations de préparation Cl, C„ Ri et ne s'occupe que des tracés ;

Parce que l'on ne peut se placer à un point de vue aussi rationnel que celui que nous avons adopté dans ce qui précède ;

Parce qu'elle ne donne pas la notion de l'évaluation de l'Exactitude, et que, malgré le détail dans lequel elle semble entrer, elle vaut moins que la représentation qui se contenterait de dire : il faut pour ce tracé tant de droites, tant de cercles.

Je désire avoir bien montré par ce mémoire qu'il existe un art des constructions géométriques qui a ses règles propres, son élégance, sa grande valeur didactique d'exercice de discussion, et enfin son application pratique.

Comme achèvement des idées émises dans le mémoire du Congrès d'Oran déjà cité, il resterait à refaire la géométrie en mettant toutes les propositions sous la forme classique du syllogisme. Nous croyons môme que c'est la partie la plus importante du sujet, — dont ce qui précède n'est qu'une application particulière, — parce que c'est le seul moyen démettre en évidence et hors de contestation toutes les notions élémentaires irréductibles ou axiomes expérimentaux qui servent de fondement à la géométrie et qui sont, en somme, toujours discutés dès que l'on s'en occupe philosophiquement; nous regrettons de ne pouvoir nous mettre, au moins actuellement, à cette étude qui est d'un intérêt de premier ordre, à notre avis.

J'ai dit dans le cours du travail que je viens de soumettre à votre appréciation : Les géomètres ne se sont jamais occupé des constructions jusqu*à leur exécution matérielle finale. Il est certain que, à la lecture de cette phrase, il viendra à l'esprit des géomètres une protestation contre cette assertion : mais, au contraire^ c'est le but final des théorèmes et Von

É. LEMOINE. — LÀ GÉOMÉTROGRAPHIE 57

s'm préoccupe toujours. Je ne doute pas que cette réflexion ne soit faite, car elle n'a jamais manqué d'être la réponse à mon affirmation quand je la produisais en conversation. Je ne crois pas pouvoir mieux la réfuter et prouver ma thèse qu'en citant ici (avec l'assentiment des géomètres mis en cause)y deu;c faits typiques :

Au mois de novembre 1891, j'avais, à une séance de la Société mathématique, parlé de mes idées sur Y art des constructions géométriques, et je causais de ce sujet avec M. Mannheim, en sortant.

Je suis ravi de pouvoir citer M. Mannheim à cette occasion, car, pas un géomètre n'a mieux que lui — avec une préoccupation évidente — donné élégamment, sur les sujets qui l'ont occupé : surface de l'onde, rayons de courbure, vis à filets triangulaires, construction des axes d'une ellipse connaissant deux diamètres conjugués, mémoire d'optique géométrique, géométrie cinématique, et dans ses cours à l'École Polytechnique, etc., des constructions finales claires et simplement eayyrimées.

Voici des lambeaux de notre conversation se rapportant à l'objet que j'ai en vue :

Moi. — « ... Le géomètre appelle simple une construction synthétisée D en quelques mots du vocabulaire géométrique ; mais, le compas à la » main, la plus simple de deux constructions n'est pas celle qui s'exd plique avec le moins de mots; ainsi, pour la construction du pro- » blême d'Apollonius, dont je parlais ce soir, il faut, dans la solution de » Bobillier et Gergonne, trouver le centre radical des trois circonférences, » ce qui exige le tracé de deux axes radicaux, etc., et il est nécessaire, )) pour savoir si la solution de Bobillier et Gergonne est la plus simple à » tracer, de s'occuper d'abord de chercher les tracés les plus simples » qu'elle comporte, celui de l'axe radical de deux circonférences, etc.. »

M. Mannheim. — «... D y a plusieurs moyens très simples : je citerai, » à première vue, la propriété de l'axe radical de passer par les milieux » des longueurs comprises sur les tangentes communes entre les deux » cercles... »

Le Géomètre avait raison ; pour lui, dans ses spéculations, quand on donne deux cercles, les tangentes communes sont données, les milieux des segments aussi, etc. ; il s'en sert dans ses raisonnements et en tire ses énoncés de construction; il s'arrête, sa tâche est finie dès qu'il a ramené la question à des constructions géométriques élémentaires.

Mais le Constructeur ?

Examinons ce qu'il aurait à faire pour tracer ainsi l'axe radical, les deux cercles tout seuls étant sur l'épure ; nous supposerons les deux circonférences extérieures.

1® Tracer deux des tangentes communes aux deux cercles ;

2** Placer les points de contact ;

S8 ASSOCUTION FRANÇAISE POUft L 'AVANCEMENT DES SCIENCES •

3® Prendre les. deux milieux de la distance qui sépare les points de contact ;

4® Enfin, joindre ces deux milieux.

Ce qui, en prenant la construction XIX, première méthode (la plus simple dans ce cas), et en conduisant toute la construction économiquement, suivant nos principes, donne :

Op. : (18Ri + 9Ra + lOC^ + lâCs); simplicité 58 (soit S8 opérations élémentaires); exactitude 37 ; 9 droites, 12 cercles.

Et la méthode que nous avons employée (construction XLÏ), pour tracer Taxe radical n'exige que :

Op. : (lORi + 5Ra + 2C,) ; simplicité 17 (soit 17 opérations élémentaires); exactitude 10; S droites, 3 cercles.

Elle est plus de trois fois plus simple à tracer.

Il est évident que ces considérations ne seront qu'un jeu pour les géomètres, dès que leur attention sera portée sur ce point; ainsi, ayant fait voir à M. Mannheim, dans la suite de notre causerie, que la construction qu'il avait citée, à première vue, comme simple était fort compliquée, je fus amené à dire : « Eh bien! quel est, à votre avis, la construction la plus simple du point de Lemoine?)) Il ne répondit plus sur-le-champ comme la première fois, mais il m'envoya, dès le lendemain matin, une construction du point de Lemoine qui était la même que celle que je regardais comme la plus simple et que je donne ici (construction LU).

Voici le second fait que je veux citer.

En rédigeant le texte relatif à la construction LV de ce mémoire, pour placer les points de Brocard, j'eus l'idée d'écrire à mon ami M. Brocard en lui demandant de m'envoyer celle des constructions de ces points qu'il croyait la plus simple, afin de la comparer avec celle que ma méthode m'avait fait choisir.

Je copie le passage y relatif de sa réponse.

« Pour la détermination des points w, o', il me semble que la cons- » truction la plus rapide est la suivante, réduite au minimum de Ugnes.

» Soit ABC le triangle; tracer le cercle circonscrit; tracer les trois tan- » gentes BC, CB', C'AB'; joindre BB', CC qui se coupent au point K » de Lemoine. Décrire le cercle Zqui a pour diamètre la droite OK (0 centre » du cercle circonscrit); mener par A la droite EAD parallèle à BC; elle » coupe BC en E, CB' en D; joindre DB, EC qui se coupent en A^ sur le » cercle Z; les secondes intersections de ces droites DB, EC avecZ sont » les points w et o)', » •

Analysons cette construction en l'exécutant à la lettre, mais en prenant cependant les constructions réduites de ce mémoire.

1^ Je trace le cercle circonscrit (voir construction XXI) '.

op. : X4Ri + 2R, + oC, -f 4C3).

É. LEMOINE. — LA GÉOJtfÉTROGRAPHIE 59

2** Je trace les trois tangentes en A, en B et en C (voir construction XXV).

......... . op. : (6Ri + 3Ra + 12Ci + 9Ca).

3« Je joins BB', ce op. : (4R4 + aR^).

4° Je trace le cercle OK (construction XIX)

. op. :(2R,+R, + 4C, + 3C,).

W* Je mène par A une parallèle à BC (construction XVII) en me servant de la construction 1® et en remarquant que le cercle circonscrit déjà tracé me permet une économie de op. : (C^ + C,). op. : 2Ri + 2R2 yt* ^C^ + Cj).

6Me joins DB, EG op. : (4Ri -f 2R2).

En tout : op. : (22Ri + IIR^ + 24Ci + ITC,) ; simplicité 74; exactitude 46; H droites, 17 cercles.

Notre construction LV donne : simplicité 38; exactitude 24; 6. droites,

8 cercles.

Et cependant, si M. Brocard avait eu l'attention attirée sur le point de la construction effectuée^ il n'aurait pu songer qu'à la solution que nous avons développée, car elle est, en principe, de lui. {A, F., 1881, Congrès d'Alger, 10, p. 146.)

Je dois ajouter qu'en appliquant complètement notre méthode l'on peut réduire de quelques unités le symbole de la construction qu'il nous a envoyée; en effet, pour tracer les trois tangentes en A, en B et en C, l'on peut faire en A l'angle B'AC = B en utilisant les cercles de même rayon décrits de A, B, C dans le tracé du cercle circonscrit.

On les a ainsi par op. : (6R1 + 3Ra + 9Ci + 3C3).

Pour mener la parallèle en A à BC, on peut se servir des mêmes cercles et gagner encore deux opérations élémentaires en faisant angle EAB = C, pendant que l'on a la longueur de la corde de l'arc correspondant à C dans le compas, pour tracer l'angle B'AC.

On a alors cette parallèle par op. : (2Ri + Rg + C^ ^ Cj).

Les points o) et w' eussent ainsi été donnés par :

Op. : (18Ri + 9Ra + 19Ci + HCs); simplicité 57; exactitude 37;

9 droites, 11 cercles*

Je n'ai pas fait ces simplifications parce qu'elles dérivent trop de l*esprit ' de la méthode que nous venons d'exposer pour croire qu'un géomètre, , quelque habile qu'il soit, construisant une figure comme tout le monde le fait jusqu^ici, eût eu la pensée de les introduire; mais, même ainsi simplifiée, la construction reste beaucoup trop compliquée.

J'ai cité deux exemples qui me paraissent caractéristiques.

A duobus discete omnes.

Je crois que tout ce que nous venons d'exposer présente la Géométrographie comme un corps de doctrine à peu près complet en ce qui concerne la géométrie de la droite et du cercle telle que l'entendaient les Grecs, mais il reste deux applications à faire en détail au point de yu^ .moderne :

60 ASSOCIATION FRANÇAISE POUR l'AVANCEMENT DES SCIENCES

1® L'application à la géométrie descriptive en ajoutant rusagedeTéquerre et d'un nouveau symbole d'opération élémentaire y relatif.

2° L'application à la statique graphique qui, outre l'équerre, admettra l'usage de règles divisées pour éviter les difficultés provenant des questions d'arithmologie introduites par l'idée de nombre, difficultés que nous avons signalées précédemment, par exemple : au sujet de la division d'une longueur donnée en parties proportionnelles à des nombres donnés ou au sujet de la construction d'une longueur qui soit m fois une longueur donnée.

Mon ami M. Maurice d'Ocagne, qui a eu l'obligeance de présenter ce mémoire à la Section de Mathématiques, m'a écrit à son sujet une lettre aimable dont j'extrais les lignes suivantes : « ... Je crois qu'au point de » vue de la spéculation pure, une solution pouvant se résumer dans un » langage plus bref sera toujours préférée à une autre, quand bien même » celle-ci serait plus simple au sens absolu que vous donnez à ce mot; » il faut bien remarquer, en effet, que la plupart des constructions indiî) quées en géométrie pure, sont destinées à n'être jamais réalisées effec- )) tivçment, telles sont les contructions de centre de courbure pour les » courbes autres que les courbes usuelles; il vaut mieux, dès lors, » qu'elles s'expriment sous une forme plus concise, plus élégante, plutôt » que de se traduire par une opération graphique plus expéditive. Cela )) est loin, d'ailleurs, de supprimer l'intérêt qui s'attache aux ingénieuses )> considérations que vous avez développées; celles-ci trouvent, en effet, » un vaste champ d'application dans la géométrie pratique et notamment » dans la géométrie descriptive. L'art de dresser les épures a tout à ga- » gner à s'inspirer de vos méthodes... Je vous fais part de ces réflexions » que j'ai émises à nos collègues de la 1®' Section, pour que yous puis- » siez y répondre... »

Je remercie doublement M. d'Ocagne^ et d'avoir présenté pour moi ce travail, et de m'avoir écrit ces lignes; mais je n'ai pas à répondre, en ce qui concerne son observation, car je suis tout à fait du même avis que lui et je n'ai point eu l'idée de faire ou de dire quelque chose qui en impliquât un autre ; je vais seulement profiter de l'occasion pour bien spécifier mon but. Je ne m'étonne nullement que ce but ne soit pas ressorti pour M. d'Ocagne d'une lecture de ce long mémoire, qui n'avait pu être approfondie puisque je le lui ai remis la veille de son départ pour Pau, et je crains surtout d'ailleurs de ne pas avoir suffisamment mis ce but en relief.

Je ne m'occupe point de l'exposition de la géométrie; pour chaque question, plus elle sera concise, élégante, etc., mieux cela vaudra, c'est évident, et il n'y a rien à changer à l'idéal de perfection que le géomètre doit poursuivre; je vise autre chose, car, à côté de la solution

É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 61

spéculative d'une question, il y a la construction effectuée de cette solution, et la. façon de réaliser les constructions constitue une branche particulière de la connaissance, un art dont on ne s'est jamais occupé; c'est de lui seul dont il s'agit dans mon travail.

Je n'y prétends même pas suivre exactement la construction réelle, puisque je prends pour hypothèse que les instruments et la feuille d'épuré ont toutes les dimensions possibles jusqu'à l'infini, que les positions relatives des données sont indifférentes, etc. C'est la construction ratUmnelie que j'analyse; on ne peut, je crois, analyser d'une façon générale la construction réelle, puisque l'exécution d'une même construction est ou facile ou pratiquement impossible suivant les grandeurs ou les positions des données. Ainsi il est souvent facile de placer les intersections d'une droite et d'un cercle, il suffit de les tracer sur l'épure; mais si le cercle a 100 mètres de rayon, comment fera-t-on?

Nous ne pouvons donc suivre la construction réellement eflfectuée, mais il est clair cependant que de deux constructions d'un même problème, évaluées toutes deux par notre méthode, celle pour laquelle on aura le plus petit nombre d'opérations élémentaires à exécuter, sera par essence la plus simple et que, toutes choses égales d'ailleurs, c'est elle qu'il faudrait rationnellement mettre en pratique plutôt que celle qui exige un plus grand nombre d'opérations pour sa réalisation ; dans le cas, très fré-quent, où l'on compare deux constructions et que, dans l'une d'elles, tous les coefficients de Ri, Rj, C^, Cj, C, sont respectivement au plus égaux aux coefficients de l'autre, la chose n'est même pas susceptible d'être discutée.

Il est un seul point de la lettre de M. dOcagne sur lequel nous ne sonmies peut-être pas d'accord, c'est lorsqu'il dit que les constructions géométriques ne sont, au fond, que spéculatives, c'est-à-dire qu'on ne les exécute jamais. C'était vrai pour les Grecs; s'ils traçaient des figures en croquis sur le sable, la chose servait simplement à aider le raisonnement, mais ce n'était pas de la construction. Cela explique qu'eux, si affinés, si ingénieux dans leurs spéculations géométriques, n'aient point eu l'idée de la Géométrographie qui n'avait pas d'objet puisqu'ils ne faisaient pas d'épurés (*) ; nous disons, nous, une construction faite au moyen de la règle et du compas, les Grecs disaient une solution possible avec la droite et le cercle, notre expression indique les instruments de la construction, la leur, les données spéculatives. L'idée si simple et si naturelle de la Géomé-

(*) Les Grecs ne faisaient pas d'épurés même pour leurs constructions d'édifices ; c'est du moins Tavis des savants qui se sont spécialement occupé de la question, de M. Ckoisy, par exemple, dont on connaît les beaux travaux sur l'architecture grecque ; toutes les dimensions étaient déterminées par le calcul; du reste, eussent-ils fait quelques croquis sur le sol, sur des parois de muraille, etc., que cela n'avait que peu de rapport avec nos épures et ne pouvait faire, chez eux, nattre Tidée d'un art propre de la construction géométrique i

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trographîe n'est pas née plus tôt, précisément parce que la géométrie nous vient des Grecs, que nous avons naturellement suivi leurs traces, adopté leurs méthodes, développé leurs Conceptions, etc., sans imaginer qu'à la base il se trouvait un détail auquel ils ne devaient pas avoir songé, puisque son objet : la construction géométrique effective, n'existait pas pour eux. Aujourd'hui, la Géométrographie s'impose, au contraire, car Ton utilise pratiquement beaucoup de constructions géométriques et des plus délicates dans les ateliers de précision, pour les machines, etc., etc. Je dois dire d'ailleurs cpie ce point de vue utilitaire ne m'a pas conduit, j'ai pensé simplement que, puisque l'on croit utile de donner des constructions qui puissent être effectuées avec la règle et le compas, il fallait les donner les plus simples possibles et indiquer aussi les moyens généraux de construire lé plus simplement. Montrer d'une façon complète que l'on exécute réellement et de divers côtés, dans un but pratique, des tracés géométriques d'origine spéculative, et qu'il y a même des géomètres amenés à en exécuter pour leurs recherches, m'entraînerait trop loin, mais je veux cependant citer quelques exemples à l'appui de mon affirmation,

1® Au courant d'une recherche, on a souvent la présomption d'un théorème ; la démonstration de son exactitude ou de son inexactitude peut conduire soit à de très longs calculs, soit à des études d'autant plus ennuyeuses à tenter qu'elles sont faites en pure perte si la présomption n'est pas exacte; beaucoup de géomètres trouvent donc commode d'économiser le temps en faisant d'abord une vérification pratique par le trait, c'eét-à-dire une construction dont le résultat ne démontrera rien, bien évidemment, mais indiquera, ordinairement, si l'idée doit être poursuivie ou abandonnée; j'ai eu moi-même assez souvent recours à ce procédé.

2° Je citerai ensuite un petit travail de M. Laisant : Constructions graphiques de nombres transcendants, inséré dans le livre publié à l'occasion du centenaire de la Société philomatique, en 1888, qui obligeait à une construction délicate pour laquelle il a dû s'adresser à un habile dessinateur,

3" Des résultats spéculatifs importants ont même été découverts par le seul moyen de constructions graphiques et démmitrés postérieurement; pourquoi les essais préalables seraient>-ils impuissants entre les mains du géomètre, quand l'arithmologue en fait un moyen ordinaire d'arriver à la probabilité ou à la fausseté du théorème qu'il a en vue ? Voici, du reste, un cas que je cite avec détails parce que je le crois peu connu. M. Dunesm>e, ancien élève de l'École des Beaux-Arts, architecte, maître de dessin graphique à l'École normale et au ci-devant Lycée Napoléon, mort il y a une vingtaine d'années, a découvert, le compas à la main, de très curieuges propositions; je signale les suivantes parmi celles qu'il

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a communiquées à Tlnstitut et qui sont maintenant des théorème^ courants ;

a) Toute courbe C est Vombre d*une surface de révolution S (éclairée, par des rayons parallèles) sur un plan perpendiculaire à Vaxe de S ;

La développée de C est Pombre d*un conoïde ayant pour axe Vaxe de S, pour plan directeur le plan pefpendiculaire à cet axe et pour di^ rectrice Pombre propre de S.

h) Si Von fait tourner une conique autour d'un aoce parallèle à un axe de figure j elle engendre une surface de révolution dont Pombre propre projetée sur un plan perpendiculaire à Paxe est une conchoïde de conique,

c) Si P on fait tourner une sinusoïde autour de la ligne des centres, elle engendre une surface de révolution S; si Pon éclaire cette surface par des rayons à 43®, Pombre propre de S projetée sur un plan perpendiculaire à Paxe se compose de deux cercles ; Pombre portée sur le plan perpendicmlaire à Paxe est une cycloïde.

M. Dunesme faisait avec un soin méticuleux des épures admirables, déterminant les R^ et les C^ à la loupe, etc.; je tiens ces détails de mon camarade H. Laurent, examinateur d'entrée à TÉcole polytechnique; M. Dunesme était un proche parent de sa mère.

4** M. d'Ocagne lui-même a — très légèrement — ressenti Tinfluence de la Géométrographie. Vers la fin de 1891, à une séance de la Société mathématique, il nous parla d'un problème de construction géométrique inspiré par les éludes de son service actuel (le Nivellement général de la France), et en indiqua une solution; le même jour, j'exposai à ce propos un résumé succinct d^s études que je faisais pour évaluer la simplicité et l'exactitude des constructions géométriques. A une séance suivante M. Laisant apporta, du même problème, une solution plus simple, et M. d'Ocagne une modification de la première qui semblait, cependant, évidemment moins simple à construire que celle de M. Laisant et l'était effectivement, comme le démontrait ma méthode de comparaison. M. d'Ocagne revint ensuite sur la même question, car il fit présenter à l'Académie des Sciences, par M. Bouquet de la Grye, une nouvelle solution qu'il croyait, à tort, plus simple, sans doute parce qu'elle s'énonçait pluâ brièvement et qu'il n'avait point d'autre critérium.

Ayant l'intention de rédiger, comme application de ma méthode, une note que je présenterai prochainement à la Société mathématique et dans laquelle je comparerai toutes ces solutions du même problème au point de vue de la simplicité et de l'exactitude de la construction, j'ai demandé à M. d'Ocagne quelques détails et, dans sa réponse, il m'a envoyé une dernière solution que je viens d'examiner et qui, celle-là, est la plus simple de toutes. Je crois bien que, sans l'idée de Géométrographie, ce problème n'eût point été traité aussi à fond, car tout géomètre qui n'aurait point eii

cette préoccupation nouvelle aurait été satisfait de la première solution.

Cet exemple montre de plus que, même quand on a Tattention attirée sur la simplicité des constructions, on ne peut pas, sans notre méthode, juger quelles sont les plus simples, car M. d'Ocagne avait évidemment cru que la solution présentée à TAcadémie était plus simple que celle qu'il avait exposée d'abord à la Soc. Math., et c'est le contraire qui a lieu de la façon la plus absolue.

Sauf cette légère restriction, je ne puis que souscrire à ce qu'a dit M. (TOcagne, choses que j'ai, du reste, voulu indiquer en plusieurs endroits du présent mémoire.

Il est un point qui mérite aussi quelques mots d'explications, lesquelles répondront à une objection que je m'étais faite à l'origine et qui doit, tout d'abord, se présenter à l'espirit de ceux qui examinent notre méthode. Est-il légitime de supposer identiques les opérations : Ci, Cj, C3, R^ ,Ra, dans la composition des coefficients de Simplicité et d'Exactitude? Non, évidemment, s'il s'agissait, dans la Géoniétrographie, d'une sorte de métrage absolu ; mais ce n'est nullement le cas, et si j'assimile ces opérations, c'est parce qu'elles sont élémentaires, c'est-à-dire indécomposables en d'autres plus simples et que, spéculativement, elles ne sont ni plus simples ni mioins simples l'une que l'autre. Le mot memre ne peut donc pas être rigoureusement introduit, avec le sens qu'il a habituellement, puisqu'il s'applique à la comparaison d'une grandeur avec une autre grandeur de même nature prise pour unité ; une construction n'est pas une grandeur et elle s'exécute au moyen d'opérations élémentaires irréductibles entre elleSfc Si j'emploie l'expression : mesures de la simplicité, etc., c'est dans un sens imagé, parce que je trouve qu'il convient mieux à mon but que le mot général : corùparaison. Exiger la rigueur absolue ici est impossible et serait absurde, car elle conduirait à rejeter même toute comparaison eatre les simplicités pratiques de certaines constructions ; comment, en effet, apprécier rigoureusement si la construction 2C3 est plus ou moins simple que SORa, puisque les unités C3 et Rj sont différentes. En réfléchissant un peu à l'essence de la question et en pratiquant la GéométrographiCy on reconnaîtra, je pense, comme nous, que nos assimilations sont admissibles dans l'ordre d'exactitude spéculative oîi les tracés géométriques le sont eux-mêmes, car nous disons : je trace une ligne, je place un point, et ni la ligne ni le point n'ont d'existence objective. Il y a, du reste, des cas très fréquents où même ces scrupules théoriques n'auraient point à s'appliquer; ainsi la construction dont le symbole est : op. : (4Ri + 2Ra-{- 8 C^ -|- 3Cj) est, à quelque point de vue que Ton se place, moins simple spéculativement que celle dont le symbole est : op. : (ZR^ + Rj + ^^i + C3)» puisque les coefficients de toutes les opérations élémentaires, qui sont en réalité les unités indépendantes de notre évaluation, sont plus petits dans la

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seconde que dans la première; ce cas se présente, par exemple, dans le problème de M. d'Ocagne, problème dont nous venons de parler ; enfin notre méthode donne, en tous cas, un critérium spéculatif plus ou moins parfait dont nous avons déjà montré dans ce mémoire des résultats pratiques incontestables; avant elle, il n'existait aucun critérium.