LXI. — Placer le point de Nagel : ^ , etc

Soit a > 6 > c.

Je trace A(a) qui coupe AC en p dans le sens AC et AB en y dans le sens AB op. : (3Ci + C,).

Je trace C(Cp) qui coupe CB en p^ dans le sens CB et B(By) qui coupe BC en Yi dans le sens BG op. : (4Ci + SC,).

Je trace p^^ et yyi qui se coupent en point de Nagd^ op. : (4Bi + 2Ra).

Op. : (4Ri + 2Rj + 70^ + SCg) ; simplicité 16; exactitude 11 ; 2 droites, 3 cercles.

On vérifie facilement cette construction du point de Nagely parce que les équations de pp^ et de yyi sont respectivement :

a^x — b^y -|- cz{a — 6) = 0, — a^x -|- by{c — a) + o*z = 0,

droites qui se coupent au point de NageL

On placerait par une construction analogue déduite de la précédente par transformation continue en A, en B et en C, les transformés continus :

— - > ^—7 — ' ; etc., du point de NageL

abc

TVTT «, , . ^ a*b* + a«c« — b«c«

LaU. — Placer le point ^ : ■ > etc.

Nous avons fréquemment rencontré ce point (voir /. ^., 1883, problème Vn, p. 243; A. F., Congrès de Grenoble, 1883, § 2, p. 28; 4. F., Congrès de Toulouse, § 2, 3, 4°, p. 23, etc.) ; c'est aussi, comme nous Tavons montré, le centre radical des trois cercles de Neuberg. ^ est le point où se coupent les deux brocardiennes de la droite de Lemoine par rapport à la droite de Tinfini.

Nous le construirons en partant de la propriété suivante :

Si A' est la symétrique de A par rapport au mUiea de BC, Aj le pied de la symédiane partant de A, A'A^ passe en 4>.

Je place A' et C comme il suit :

Je prends AC; je trace la parallèle à AC menée par B en traçant un losange dont le côté ait pour longueur AC, qui s'appuie sur la droite AC, en ayant un sommet en B, les points A' et C sont ainsi placés par les intersections de cette parallèle et du cercle B(AC) qui a servi à la tracer op. : (2R, + R, + 5C, + SC,)

Ceci exige que j'aie choisi pour B un sommet tel que AC soit plus grand que la hauteur partant de B. Au moyen des cercles C(CC'), A(AA'), je

prends sur les arcs qu'ils comprennent entre les côtés des angles C et A les symétriques C et A" de C et.de A', ,par rapport aux bissectrices des angles C et A, C" et A" sont sur les symédianes partant de C et de A.

Ces symédianes coupent AB et CB en Ci et A^

op. : (4Ri + 2Rj + lOC^ + 4C8).

Je trace C'Ci, A'Ai op.: (4Ri + 2rJ.

Ces droites se coupent au point $, obtenu ainsi par le symbole :

Op. : (lORi + SR, + ISCi + TC^); simplicité 37; exactitude 2S; 5 droites, 7 cercles.