CONSTRUCTION DE LA MACHINE A COURANT CONTINU
i . Arbres. — 2. Tourillons. — 3. Paliers à sièges cylindriques. — 4. Paliers
à rotule.
1. Arbres. — L'arbre d'une machine dynamo est soumis à des efforts de flexion et de torsion. Les premiers déterminent une flèche qui présente divers inconvénients : —
D'abord, le tourillon, en raison de ce que le palier ne peut s'aligner automatiquement, ne porte pas uniformément sur toute sa longueur ; d'où augmentation de la pression maxima sur ce tourillon.
En second lieu, quand l'arbre fléchit, l'entrefer n'est plus uniforme sur toute la périphérie de l'armature. Le flux des pôles inférieurs se trouve, par suite, renforcé, tandis que celui des pôles supérieurs est affaibli, et la somme algébrique des attractions magnétiques de tous les pôles n'est des lors plus nulle; il s'exerce, au contraire, du côté des pôles renforcés un effort magnétique unilatéral qui accentue encore la flèche.
Enfin il en résulte pour l'armature une position excentrée et, comme conséquence, des courants de compensation, mentionnés page 70 du tome I, qui influent sur le rendement de la machine en diminuant sa puissance disponible.
L'arbre doit donc être calculé au double point de vue de :
a) sa contrainte à la flexion et à la torsion ;
b) sa flèche.
a) Contrainte à la flexion et â la torsion, — Flexion. — La figure 1 représente schématiquement un arbre. Soit F le poids *
* Trois observations capitales s'imposent dès le débiil de ce second volume de notre traduction :
Conformément aux principes du système cohérent G. G. S. rappelés par M. Hospi-
E. Arnold. — I<a machine dynamo k courant conUnu, l. 11. 1
de Tarniature, figuré par une force équivalente F appliquée au centre de gravité de cette armature.
Fig. 1.
Cette force F détermine sur les paliers les efforts f^ et /", suivantes :
ai + «t '
ialier dans son Formulaire de l'Elecfncien (1904, pp. 92, 93, 114 et 115), nous avons, d'une manière générale, appliqué l'expression de « masse » (3/) aux indications fournies par la balance, en réservant celle de a poids d à la force (F) oxei'céc sur les corps par la pesanteur, avec cette conséquence, née de l'incohérence du système métrique qui a attribué le môme nom /kilogramme) aux unités de ces doux quantités essentiellement différentes, qu'il faut bien distinguer, dans le système métrique, le kilogramme-msisse et le kilogramme-poids, — et qu'il faut, en outre y distinguer deux unités de masse, savoir : l'une rendue légale par décret du 28 juillet 1903 et qui est la masse du kilogramme, et l'autre, rendue nécessaire dans les calculs où intervient ritlertie et qui est donnée par la relation
F étant la force exercée par la pesanteur sur la masse du kilogramme en un point où l'accélération est de g métros par soconde par seconde, c'est-à-dire une masàe environ dix fois plus grande que l'unité de masse légale.
La seconde de ces observations vise la pénurie de notations simples à laquelle on est réduit par le développement de la science et qui oblige, pour la clarté, l'homogénéité et l'exactitude, à, i*ecourir aux notations complexes récemment introduites par M. Hospitalier. C'est ainsi que, sauf ou malgré quelques abréviations accidentelles employées dans notre premier volume, nous écrirons (//S) pour une densité de courant; (Af/L) pour une masse linéaire ; [SiP) pour une surface puissancique ; (P, V) pour une puissance volumique, et toutes autres combinaisons analogues, ces quantités se mesurant, en conséquence, respectivement en a : cm' ou a : mm*; en g : cm ou kg : m ; en cm* : watt; en watts : cm', etc., etc. Ces symboles peuvent d'ailleurs être, comme les autres, affectés d'indices tels que faC], dans (/;5)aC pour indiquer qu'il s'agit de la densité de courant dans le cuivre (C) d'une armature (a).
Enfin nous avons, d'une façon générale, systématiquement supprimé dans le coui-s de cette traduction la notion hybride et sans fondement de « cheval-vapeur » pour la remplacer par l'unité décimale et industrielle de « poncelct », adoptée par le Congrès de mécanique appliquée de 1889. Nous rappelons d'ailleurs que le ponceiet est égal à 100 kilogram mètres par seconde, correspondant ainsi sensiblement au kilowatt, et que, pour passer d'une puissance exprimée en chevaux-vapeur à son expression en poncelets, il suffit de multiplier par 3/4 ou 0,75 le premier nombre. Inversement, on contrôlera, à titre transitoire, nos expressions en poncelets en en multiphant le résultat par 4/3 ou 1,33, ce qui le donnera en chevaux-vapeur à bannir du langa$re scientifique, technique et même industriel. (N. d. T.).
Le moment fléchissant Sfïifmaxijnum se trouve dans la section A;
il a pour valeur
^n.f niM = Pi . a, m p, . (i, .
Quant au module de section, il a comme expression, pour une section circulaire.
et, par suite, A-, étant la contrainte ou \ effort sectionnel^ d'où
Oîlr=(//v).Af = -^ .A-r,
d étant exprimé en cm si SICf est exprimé en cm-kg.
D'après les Éléments de machines de C. Bach, la contrainte (ou effort sectionnel) admissible à la flexion est :
pour l'acier doux coulé A'r = 400 à 500 kg : cm*,
— le fer Aï = 300 à 400 — ,
— le fer corroyé Af = 300 —
Si une dynamo n'est pas directement attelée sur une machiné
motrice, mais, au contraire, actionnée par courroie, câble ou
engrenage, on a encore à considérer un second moment de flexion,
dû au moment moteur et qui, en général, fait un certain angle
avec le premier. Ces deux moments fléchissants se composent en
un seul moment résultant qui se détermine aisément, pour chaque
section, suivant le parallélogramme des forces. Il faut alors, dans
la formule
Oîlr = (J/t) A-f,
introduire la valeur maxima du moment résultant.
Torsion. — Le couple C en cmkg est égal au produit de la force F, en kg, agissant à la périphérie de Tarmature par le rayon — de celle-ci exprimé en cm. On a ainsi pour l'arbre d'une machine de P kilowatts :
Cz=lF. — = ^-=- = 10« -i-cm-kg,
^'^* GO.iOO
(I) étant sa vitesse angulaire en t : min.
Si la puissance de la machine est donnée en chevaux-vapeur, il suffit de multiplier par 0,736 le produit fourni par le second membre de l'équation ci-dessus pour avoir le même couple en mkg.
On a d'ailleurs, pour des arbres massifs,
iD
■^ cP représentant le quotient du moment d'inertie polaire /p par r, c'est-à-dire (/p/t^), qu'on pourrait appeler « module polaire de la section », d'où l'on tire rf en cm.
Si le couple est constant et s'exerce sans à-coups, comme dans le cas d'entraînement par turbine, on peut, toujours d'après C. Bach, poser :
pour Tacier doux couli» .... At = 900 à 1 200 kg : cm-,
— le fer Â't = 600 à 840 — ,
— le fer corroyé Â*t = 360 à 480 —
Si le couple oscille, sans variations brusques, entre zéro et sa plus grande valeur, on prendra
poiu' l'acier doux coule At = 600 k 800 kg : cm-,
— le fer At = 400 à 560 —
— le fer corroyé Ai = 240 à 320 — .
Le moment fléchissant résultant et le moment de torsion se combinent en un moment composé
;)rCo = 0,35 . ORf + 0,65 . v/^n.î+(ao.C^), (3)
a^ désignant une relation des contraintes ayant pour expression
On posera pour la valeur maxima de OKc
*jy^c iiiMx — "777" ■ ^^'
d'où l'on tirera pour le diamètre de l'arbre, en cm,
j A /lO . JlLcmax i l\
b) Fléchissement de l'arbre — Le fléchissement de l'arbre est dû à son propre poids, aux poids des masses qu'il porte, aux efforts magnétiques et aux impulsions auxquels il est soumis. Gomme charge, il n'y a guère à faire entrer en ligne de compte que le poids de l'armature, auprès duquel celui de l'arbre est négligeable. On verra plus loin le mode de calcul de l'effort magnétique unilatéral.
La flèche déterminée par un effort appliqué en un point quelconque de l'arbre est donnée par l'équation de la ligne élastique représentant cette flèche en fonction de l'effort, de la position de son point d'application, du moment d'inertie / de la section considérée par rapport à l'axe normal à la force, et du module d'élasticité à la traction, -=- , de la matière. Elle s'obtient par double intégration de l'équation
TP "" El ' ^^^
dans laquelle y figure la flèche à la position x et OK^ 1^ moment agissant dans la section x.
Pour des sections circulaires
L'inverse du module d' Young a = -g- est :
pour racier coulé doux a = ^^i^ .
- ^''^^' "= 2T55ÔÔÔ'
- le fer corroyé ' = 2000U00 '
Pour obtenir la flèche de l'arbre sous toutes les charges qui lui sont appliquées, on considère Teffet de chacune d'elles séparément et l'on fait ensuite la somme géométrique de toutes les valeurs ainsi déterminées.
En ce qui concerne le diamètre de l'arbre, on adopte, conformément aux considérations exposées au commencement de ce chapitre, une flèche admissible y, qu'on proportionne au mieux suivant l'entrefer o entre le fer d'armature et le pôle :
On admet, en général, une flèche de 0,05 à 0,1 o. Avec ces valeurs la contrainte de Tarbre reste ordinairement dans les limites normales, et il n'est généralement pas nécessaire de procéder à un contrôle du calcul de la section au point de vue de cette contrainte.
Des différentes dispositions possibles il s'en rencontre surtout deux, pour lesquelles nous exposerons la marche du calcul.
!•' cas. — La figure 2 représente scbématiqueraent un arbre supporté par deux paliers et muni d'une poulie en porte-à-faux.
Fig. 2.
A est le milieu de l'armature, point auquel on suppose concentré son poids F; B est le point d'application de l'effort de traction F de la courroie. L'arbre est en outre sollicité en A par l'effort magnétique F' qui agit dans la direction de la flèche résultante. Comme, cependant, celle-ci s'écarte peu, en général, de la verticale, on peut simplement ajouter l'effort magnétique au poids de l'armature. On obtient alors une flèche verticale
et une flèche tjY>, due à la traction de la courroie, pour laquelle on peut, en négligeant la variation de section de l'arbre sur sa longueur, poser
VK. = F'.-^(/^.«.-«î).-l-=:4. (7)
Ces deux flèches se composent géométriquement en une flèche résultante y. Dans bien des cas on ne connaîtra pas la direction de la traction F de la courroie, lors de l'étude d'une machine. On déterminera alors au mieux les dimensions de l'arbre pour le cas le plus défavorable où la courroie «^xerco son effort sous un
angle de 45** avec Thorizontale ; les deux flèches font entre elles dans ce cas un angle de 45* et Ton a
y -\/'yF + vî' +yT- yF'\/ï' = — \/ci + C'i + c, , c^.^r, et, la flèche admissible étant y == c o, on en déduit :
i = -^ \/CÎ+Ci+C,,C,,^^ (8)
2* cas. — Le second exemple, représenté par la figure 3, comporte un arbre reposant sur trois points d'appui, tel qu'on le rencontre
dans une machine commandée par courroie, quand la poulie se trouve entre deux paliers.
Une analyse exacte de ce cas montre que les contraintes et déformations dues au poids F de Tarmature sont très faibles dans la partie II-III de Tarbre, et que, de même, la partie I-II de cet arbre est peu sollicitée par Teffort F, Il en résulte que la charge F se reportera principalement sur les paliers I et II, et la charge F' sur les paliers II et III. On peut, par suite, supposer sans grande erreur que la portion I-II de Turbre intervient seule, en ce qui concerne l'effort F, et admettre que cette partie est sectionnée au droit du point d'appui II. Le calcul est ainsi extrêmement simpliGé. L'équation (6) donnera la fltîche au milieu A de l'armature. :
yy^{F+r)
et Ton aura
jF + F") z.-o
El E
On calculera de môme séparément la portion d'arbre IMIJ*
Il n'intervient ici que des considérations de ténacité ou de rigidité. La section la plus fatiguée se trouve en B; elle est soumise au moment de flexion
or., = I^^h^
qu'il faut combiner avec le moment de torsion pour en déduire les dimensions de l'arbre.
Le mode de calcul précédemment indiqué donne pour le dia-
ÏEG
mètre de l'arbre des valeurs un peu trop fortes, Thypothèse admise de la répartition des charges sur deux paliers seulement étant défavorable. L'erreur qui en résulte est toutefois atténuée du fait qu'il n'est pas tenu compte des réactions mutuelles (de F en II-III et de F en I-II) \
Le calcul exact de l'arbre d'un moteur de 184 kw a montré que la valeur fournie pour le diamètre par le mode de calcul précédent était trop forte de 5 pour cent.
On voit sur la figure 4 un certain nombre de types d'arbres réels.
Le n** 1 est particulièrement remarquable, en ce qu'il est, sur toute sa longueur, d'un diamètre uniforme, d'où exécution simple
• Pour un mode plus exact de calcul, voir « Procédé graphico-analytique do détermination de la flèche des pièces reposant sur deux et trois points d'appui u, par M. Kloss, ingénieur.
et économique. Cet arbre est maintenu, dans le sens axial, par deux douilles frettées à chaud des deux côtés du palier intermédiaire et qui servent en même temps de gardes d'huile (Voir p. 26). On reconnaît sur les autres ai'bres représentés une série de dispositions en vue du même résultat.
Calcul de ^attraction magnétique imilatérale résultant (Tune excentricité de ï armaXure^ , — Nous supposerons, dans le calcul
Vv' 0.
de l'attraction magnétique, que les épanouissements polaires figurent un cylindre complet (lîg. S) à la surface duquel la force magnétomotrice a partout la même valeur. Abstraction faite de rinfluence des dents, le champ JC sera alors inversement proportionnel à l'entrefer. Pour une flexion y de Tarbre, l'entrefer sera o' ^ Ta — T\ — 2/ . sin a =: ô — y . sin a,
et le champ dans cet entrefer
fK' = 5C . -|r = ^ (^1 + -|- . sin aV
3t étant le champ dans le cas d'une armature bien centrée, pour un entrefer égal alors à o.
La composante verticale de l'attraction magnétique pour la surface élémentaire ds = rj . da . 4 de l'armature est, d'après Maxwell,
dr= f yii' .sina.lO-»= 1^ . X' ^.n . /a. sin a . da
— J|l! . 3C2. n . /, U + 2 -|- . sin a\ sin a . da,
• D'après le « Calcul des machines électriques » des Ateliers dOErlikon.
obtient alors pour Teffort vertical total
abstraction faite du terme 4^ • sin' a qui est négligeable. On
r'= r^ il-I Je^ n . /a 6 + 2 -I- sin a\ sin a . d a = i^^ Ve^ . 27rri . /, . 4- ,
ou, en appelant 2p. ^ le flux total 27r.ri.4.ac de la machine,
F'=igi2i>.*.ae.-|. kg, (10)
ou encore, en remplaçant // par sa valeur ;; o et 2p.*. également par sa valeur
dans laquelle P est exprimé en kw et v en m : s,
F" = iO.-i-^j- kg. (H)
Ce calcul donne des résultats assez exacts pour Tenroulement ondulé symétrique sans connexions équipotentielles. Par contre, il fournit des valeurs trop élevées pour reffort dans le cas d'un enroulement imbriqué et hélicoïdal et d'un enroulement ondulé à connexions équipotentielles ; les courants internes provoqués dans Farmature par le . inégalités d'induction (Tome I, p. 70) réagissent en effet ici sur le champ et compensent en partie leur action. L'introduction de cette considération dans le calcul compliquerait cependant inutilement celui-ci.
Avec les armatures k enroulement ondulé on pourra utiliser l'attraction magnétique à compenser la pression exercée sur les paliers par le poids de Tarmature, et dans ce cas on reportera l'excentricité vers le haut.
2. Tourillons. — a) ttépartition de la pression eiitre les toiirillom et les paliers. — Nous n'avons guère à considérer en matière de construction de dynamos que des tourillons d'appui, c'est-à-dire des tourillons pour lesquels la direction de la pression est normale à l'axe de ro.talion.
Soient
F le poids suppoité par le tourillon, en kg;
p la pression dans le rectangle d'appui du tourillon ^ ou pression moyenne du tourillon sur le palier, en kg : cm* ;
jOo cette pression dans un élément de surface déterminé, toujours en kg : cm%
/t la longueur du tourillon, en cm ; rft son dîambtre, en cm.
Tower ^ a effectué sur la distribution de la pression entre tourillons et paliers des essais de précision dont les résultats sont donnés par la figure 6.
Les courbes do la figure 6 a donnent l'allure de la pression suivant la direction de Taxe du tourillon pour les ti'ois coupes longitudinales faîtes par A, B, C. On y voit que la pression va en diminuant quand on avance vers les joues du coussinet, et ce, d'abord lentement, puis finalement avec rapidité. L'hypothèse d*tme reparution uniforme de la pression sur toute la longueur du tourillon n'est donc nullement justifiée.
Les courbes 6 b donnent les pressions p^ périphériques pour les sections transversales 1 et 3. Ainsi qu'on le voit, la pression maxima ne s'exerce pas au milieu du tourillon ; elle est légèrement déplacée dans le sens de la rotation de ce tourillon indiqué par la flèche. On prend ordinairement, pour le calcul, la pression sur la surface d'appui du tourillon
L'effort total du tourillon, dans les essais ci-dessus rappelés, s'élevant à 3 632 kg, on avait, en tenant compte des cotes des figures 6 a et 6ô,
La pression maxima atteignait 45 kg : cm*, spit.90 p. 100 de plus que les valeurs communément appliquées en règle courante normale.
* On désigne sous le nom de « rectangle d'appui d'un (ourillon » la projection, sur un plan parallèle à l'axe du tourillon, de sa surface de portée dans le coussinet. (N. d. T.).
' Engineer, 1884, 2* semestre, p. 434. Voir C, B{Lch, « Eléments de machines », auquel sont empruntés les renseignements ci-après.
CHAPITRK PREMIER
b) Calcul du tourillon. — Trois considérations guident le calcul d'un tourillon :
1** Il doit satisfaire aux exigences de ténacité;
2" La pression entre le palier et ce tourillon ne doit pas dépasser une certaine limite au delà de laquelle la matière lubrifiante serait chassée et les surfaces de frottement se détérioreraient;
Fiy. C a. Fi;,'. 0 b.
Répartition de la pression du tourillon sur la surface portante» d'api-ùs les essais de Beauchanip-Tower.
3** La température du palier ne doit pas trop s'élever.
Si Ton admet la charge du tourillon suivant son axe uniformément répartie sur le palier, on peut la remplacer par une force appliquée au milieu de ce tourillon. On a alors, au point de vue de la résistance ou ténacité des matériaux,
kt.
La longueur du tourillon se déduisant de la valeur admissible pour p, d'après l'expression
li =
di.p'
on aura, en l'introduisant dans la formule précédente.
