INTRODUCTION

^ire de cet ouvrage. — (^tiielqiies explications ires, en ti'le de ce petil livre, me paraissent indispensables. Le titre que j'ai t'Iioisi peut paraître en oflet très ambitieux ou trop modeste, Kiiivant le point de vue où l'on se plaee ; je n'en ai cependant pas trouvé ^^'autre pouvant mieux traduire l'îilt'e ipii m'iiispi-

Le Iccleiir versé dans la culture des Iiiiutes scicin'i't mathciiia tiques ne trouvera probablement rien, dans let pages suivantes, qui soit de nature à l'intéresser ; il n'i rencontrera pas, notamment, de ces dissertations pro l'ondes. mais parfois nébuleuses, devenues fort i mode depuis un certain nombre d'années. D'un a ctité, les personnes n'ayant aucune préparation malliéinatîque feront sagement de fermer imiiiédiatement livre Bans aller plus loin ; ce n'est pas un travail i

irisation à

usage 1}

gens du iiiondo, ou destiné

[es littérateurs désireux de l'aire une excursion acci-

intelle dans une région qu'ils n'ont pas fréquentée

jusqu'ici. Je fais librement usage de la langue courante

usitée dans le domaine mathématique, sans m'astreindrc

^définir et approfondir chaque terme, sinon lorsque^

'2 LA MATUÉMATiqCE

<^ela nie semble indispensable pour me faire clairement comprendre ; je nrattache à éviter les formules et les démonstrations géométriques, mais sans y renoncer cependant d'une manière absolue, car mieux vaut à mon avis écrire une ligne de calcul qu'une page d'explications, lorsque cette ligne sutlit à rendre la pensée.

Par conséquent, je ne peux rien apprendre ici aux savants — la prétention serait excessive — et je ne saurais être comi)ris des profanes. Il reste une catégorie, plus nombreuse de jour en jour, à laquelle je m'adresse à peu prés exclusivement, et pour laquelle cet ouvrage pourra présenter une certaine utilité. C'est celle des hommes qui étudient, qui ont étudié, qui enseignent ou qui appliquent les éléments de la science mathématique, sans se livrer à des travaux personnels purement scientifiques. Ceux-là connaissent le langage courant, ont une notion assez précise des grandes lignes, savent de quoi il est question quand on leur parle mathématique. Mais le nombre des vérités nouvelles est devenu si grand, et dans certaines théories modernes le souci de la recherche a été poussé si loin, soit dans le fond, soit dans la forme, que la situation des hommes dont je parle n'est pas sans offrir quelques périls. Ingénieurs, ils en viennent à se demander si l'usage pratique des notions d'Algèbre ou de Géométrie qu'ils appliquentquotidiennement estbien véritablement légitime ; professeurs, ils s'interrogent pour savoir s'ils ne faussent pas l'esprit de leurs élèves en continuant à leur enseigner ce qui leur fut appris autrefois ; étudiants désireux de pousser plus loin, ils reculent devant r()l)staclc, et perdent leur foi scientifique, ébranlée par (les raisonnements trop raffinés sur l'incertitude des fondements de nos connaissances.

C'est à ceux dont je parle qu'il est bon de rendre la confiance sans laquelle on ne saurait avancer; il est utile aussi de leur fournir le moven de réfuter à Toccasioii les sophismes sous lesquels on entreprend assez

ISTIlODUCTIOy

lré<{ueinineiit d'étoiiffpr la science mathématique, et (|u9 tirent habituellement leiir origine, soit de Tignoranci soit d'une connaissance trop snperlieîelle.

BXa Mathématique. — Je sais {[u'ruijnnrd'liiii B^jpellation n'eut pliihi en grande l'aveui'. Ce n'est pa^ cependant par un simple caprice personnel que ja leprends la forme de langage employée par CondorceU Je trouve qu'ici le mot réagit Tortement sur l'idée ine semble plus que jamais utile de l'appliquer dans son énergique concision, parce qu'il exprime mieux quq tout autre la grande unité de la science. Aujourd'hui/ iivec les travaux accomplis au cours de ce siècle, présence de l'iminensilé du nombre des découvertes, l [ilupart des mathématiciens sont contraints de se spôS cialiser t't de consacrer leurs elî'orts, non pas seulement à une branche de la science, mais à un simp! chapitre, s'ils veulent arriver à produire des décoii* vertes dignes d'être remarquées. C'est une nécessitai dont il serait prol'ondément injuste de les blâmer ; m rette conséquence, subie comme on mal inévitable, i proiive rien contre l'unité fondamentale de la Malhéim lique. Nos divisions et sous-divisions, indispensableajj pour mettre un peu d'ordre dans la masse inépuisab des propositions, sont en résumé plus artificielles qu. naturelles. Même dans les plus simples éléments, lors que nous avons ainsi tracé des limites bien nettes, noui m; tardons pas à nous apercevoir qu'il y a des régioi l'rontiêres devant lesquelles notre esprit reste embarJ rassé. Une ciassiflcation n'est jamais bonne; comme VA !st impossible de nous en passer, faiaons-la de notr

lieux, mais ne perdons pas de vue les vérités pre-d

lièrcs.

Au fond, il n'y a pas des sciences mathénuttiques : l'AU gébre, la Géométrie, etc.. Toutes s' entr' aident, toiiteaj s'appuient mutuellement et sur certains points se coi

ndent. Il y a une vaste science, la Mathématique, qitij

t.l M.lTIlKMATIQfi;

personne ne peul se daller ilo (.■niiriiilln', paire que tu!8 conquêtes sont infinies par nature ; Imil le monde en parle, surtout ceux ({ui l'igncuent le plus pioinndiMiient. Alais, parmi les homiiies ([uî la cultivenl, m^me nvee grande habileté, (juelcpies-uns sont plus attenlifs aux succès de détail ipiaiix idées générales dont jiourtant ees suceês sont les conséquences. (Vesl dire que plus d'un mathématicien ne manquera pas de sourire en lisant ce mot tombé de ma plume, et (|ui lui paraîtra vieillot et suranné. Je m'y résigne d'avance, el je liens de dire la cause de cette résignation.

Philosophie. — J'iii liesoiii d'i'\|iliquer ee terme, par des raisons loules conlralres de celles dont Ténuinération précède. Je n'ai, en ell'ct, auiune conipélence spéciale en philosophie, ni aucune prétention à me mêler des questions que j'ignore ou qui m'échappent. Maisjene connais pas de locution, dans ia langue française, qui soit employée plus que ce mot k philosophie h à représenter des idées plus difierentes. C'est encore ici des excès de la spécialisation, de celle division du travail poussée à restrôme, que nous avons à souffrir. Être philosophe, de nos jours, est devenu une prol'ession ; il y faut un long apprentissage, et une habileté dans le maniement des mots, à laqnellelout le monde ne saurait atteindre, même avec beaucoup d'usage et de bonne volonté. C'est un exercice nuipiel j'aurais depuis long- '^ temps renoncé, s'il m'étaitjamais venu àl'esprit de ressayer, d'autant plus que le simple vocabulaire me l'ait délaut ; condition fâcheuse, on le reconnaîtra, piiui' par- 1<T ou écrire une langue étrangère.

Il est assez habiluel, depui.slongtem|}s déjà, d'établir une opposition d'idées entre l'esprit du mathématicien et celui du philosophe, le premier considérant le second comme un rhéteur qui fabrique des paradoxes, et le philosophe contemplant avec une pitié hautaine un

Iheureux qui se croit contraint, pour pouvoir raisi

^^^^^H r.vritoDrcrioy SU

oçr, à tracer des figures ou à gri(Foiuier des formules J

Jadis, il en allait autrement. J'ai eru pendant longvl temps que Leibniz, Descartes, Pascal ; que d'Alonihert^fl Diderot, Condorcet, au xvm" siècle ; qu'Auguste Comte J parmi nos contemporains, avaienl rté des philosophes,! Quelques-uns de ceux-là, cependant, ont laissé un^ tiace assez brillante derrière eux, an point de vutn inatUéuialiqne ; et je doute qu'il y en ait en un seiil^ [larmi les noms que je viens de citer, pour regarder lafl -Mathématique comme une science inférieure. fl

Ces philosophes-là, pourtant, écrivaient clairementj autant qu'il leur était possible ; ils n'employaient pas da ternies compliqués pour exprimer des choses simples j9 ils semblaient avoir pins ii coîur de faire pénétrer leufl pensée dans le cei-veau d'antrui, que de se créer unes réputation d'habiles gens. Je les ai lus avec plaisir ; j'ai* même éprouvé cette illusion, si c'en est une, qu'en leiM lisant j'apprenais quelque chose. De là m'est venue cettel double conviction : qu'il n'est pas nécessaire d'ignorevl la Mathématique pour bien raisonner sur les idées géné-J raies, ni de mépriser les idées générales pour être un I mathématicien. 1

Il m'a semblé en outre que le terme de philosophie I pouvait servir à désigner des chosca qui ne se rossem-sl lilent guère, ainsi que je t'indiquais plus haut ; qu'iifl n'était pas interdit d'en faire usage dans un sens trè^ restreint et très modeste ; et que peut-être beaucoup^ d'entre nous faisaient (comme M. Jourdain de la prose)-! de la philosophie sans le savoir, lorsqu'il nous arrivait 1 de méditer, ou de communiquera ceux qui nous entou- I rent le résultat de nos méditations. I

Donc, il ne faut pas s'y tromper, j'y insiste. Le but I cpie je poursuisestd'apporter ici des réilexions simples, 1 de les exprimer le plus clairement possible, de nu; ser- I vir du bon senset du raisonnementordinaire, en dehors 1 de toute préoccupation d'école, pour dire ce que je, I jifinse sur des sujets qui m'ont intéressé toute ma vie,J

Si mon ambition avait éto plus haute, et si j'avais voulu faire œuvre savante, je me serais souvenu de cette parole de Leibniz :

« Sans les mathématiques, on ne pénètre point au fond de la philosophie ; sans la philosophie, on ne pénètre point au fond des mathématiques ; sans les deux, on ne pénètre au fond de rien ».

A cette occasion, et pour rendre justice à qui le mérite, je dois reconnaître que depuis ces derniers temps surtout, il y a eu dans Tordre d'idées que j'indique des tentatives intéressantes, et qui méritent la plus large approbation. Les facultés des lettres sont loin de dédaigner les travaux philosophiques empruntant une bonne part des idées au domaine mathématique; il y en a eu très récemment encore à Paris même un brillant exemple. Si ces innovations n'ont pas encore donné tout ce qu'on est en droit d'en attendre, si cette réaction salutaire, qui doit finir par ramener un peu d'unité dans la culture de l'intelligence humaine, n'est pas encore un fait accompli, la faute en est peut-être moins aux philosophes qu'aux mathématiciens modernes. A force de poursuivre une prétendue rigueur, de recherche en recherche, d'objection en objection, ils en sont venus fréquemment à jeter le doute dans leur propre esprit et dans celui des autres, à obscurcir ce qui était clair, compliquer ce qui était simple; et le résultat, en fin de compte, a été parfois une régression, plutôt qu'un progrès. C'est un sujet sur lequel j'aurai trop souvent occasion de revenir dans la suite pour qu'il soit nécessaire quant à présent de m'y appesantir.

Enseignement. — La science mathématique, à ses échelons divers, est enseignée de nos jours dans tout \r monde civilisé. Je ne suis bien au courant de la questioji qu'en ce qui touche la France ; mais, d'après le peu que je sais de ce qui se passe au delà des frontières, les diflerences dans le plan général et dans les méthodes

I lis

ne sont pas très profondes; ceal surtout sur les d^'taiU] qu'elles portent. C'est donc île renseignement France que je m'occuperai surtout, n'ayant guère leJ {^oiit de discourir sur les olioses que j'ignore. La'l question est capitale, car les premières notions qusl nous recevons sur chaque ohjet sont celles qin' restent^ le plus prorondénicnt empreintes dans notre esprit. D'autre pari, le problème de renseij^nement inathéaia- Uquc se pose dans des conditions toutes nouvelles, au lilîeu de notre civilisation actuelle et du dèveloppclent industriel extraordinaire, sans prcctdenl, qui sest j accompli au cours du xix° siècle et ne s'arrêtera ]i au XX".

Les nécessités «lu \crilul)le enseignement niallicmalique moderne ont-elles été comprises et s'en inspire-t-on ['rancliement? Je ne le crois pas. ilais j'estime , en même temps que nous avons en France les plua admirables éléments à notre disposition pour accom- j plir celte rét'ormo, avec les qualités de travail, de bonne ] volonté, de dévouenienl, que notre corps enseignant possède à tous les degrés, depuis le plus modeste inetituteui- de village jusqu'aux membres de l'Institut professant à la Sorhonnc ou dans nos grandes les.

Le jour où l'on jeltci'a cpielquc liinine seniciu'e dans ee champ si bien préparé, la moisson ne tardera pas à lUuirir. il suffira de quelques indications générales, d'un ap|>el un peu sincère aux initiatives, pour voir s'accomplir de véritables miracles. Cela ne se fera pas demain. Mais la question ne m'inquiète pas outre me- i sure, parce que la nécessité des choses contraindra à ' i routine dont nous ne sommes pas encore : à retourner une formule qui peut sans Cxaration se résumer ainsi : tout attendre de la mémoire

"■ee c

preaqui

ligence.

iipresse pourtant d'ajouter dès maiutcnai

t ce reproche ne s'applique pas

lO LA MATIIÊMATIQI'E

foiiriii les lormiiles ou les raisonnements infaillibles; c'est la Mathématique a|)|)li({uée qui eomplète rœuvio en montrant la fatalité, la nécessité des erreurs. Pour n'avoir pas sullisamment mis en lumière eette opposition, on a laissé s'accréditer les plus odieux et les plus grossiers sophismes.

La vérité, c'est que sans la Mathémalicpie pure, l'application serait impossible; et sans Tintervention de la Mathématique appliquée, la Mathématique pure ne peut donner de résultats exacts que dans le monde des abstractions. Est-ce que, dans tout cela, il y a rien qui puisse prouver quelque chose contre la science mathématique elle-même ? Ce qu'il en faut seulement retenir, c'est l'utilité, dés le début, dès Tenfance, d'établir nettement la distinction, et d'habituer l'esprit à raisonner juste, et à ne pas se payer de chimères, formules ou mots, quand on se trouve aux prises avec la réalité des (dioses.

Dans cet ordre d'idées, je ne puis non plus passer sous silence l'éternelle dispute, si souvent soulevée, et qui dure encore, entre les lettres et les sciences, et particulièrement entre les lettres et la Mathématique. Les unes valent-elles mieux que l'autre ? A (jui donner la supériorité ?

Autant vaudrait se demander s'il est préférable pour un homme de manger ou de dormir. Supprimez Tnlimentation, ou supprimez le sommeil, et le résultat iuiV vitable sera le même. Abolissez la culture littéraire, Tétude des étapes de l'humanité, ou bien renoncez à préparer l'homme àce c()m])at continuel qu'il doit livror à la nature pour en pénétrer les secrets ; et dans lc*s deux cas vous aurez des générations pourvues de cci^i veaux incomplets.

Partagez votre élite intellectuelle en deux classes, ij |)eu près comme on le fait aujourd'hui: l'une de lettrés l'autre de savants; et vous créez deux castes de « deminmes » incapables de se comprendre et de comprcu-

.\TKODtCriOX

I monde dans lequel lions encore, c'est iin enseignement pourra remettre de l'ordre dans c

enl. Irî. nons y rev ■foniiô <|iii seul haoa.

pour

^^Observation anale. — J'en aurai Icrininé nv<'(- rctle- ^Ebp longue Introdiirtion, lorsque j'aurai vu le soin, comme c'est mon devoir, de prévenir le lecteur de dciix choses, La première, c'est qu'il ne reiic-ontrera ici aucune trace d'érudition; la seconile, c'est que les idées que je développe en toute liberté n'engagent et ne sauraient engager que moi.

Il a été tellement écrit sur le sujet que je traite, depuis la tentative si remarquable d'Aiiguule Conito dans sa Philosophie positive, que l'on pourrait, avec quelques recherches patientes, et sans rien dire que d'utile, produire plusieurs gros vohiiaeii. Le temp» mo ferait défaut pour un tel labeur; et, de plu», ce iterflit en contradiction avec le but que je potirsni» el i|iir j'ai essayé d'indiquer ci-dessus.

Si quelques citations viennent an hanard nnun ma plume, ce ne sera donc qu'accidentellcnienl. l'onr^ti. 1er l'écueil que je signale, je me suÎm iiiénu^ allacli*'' à éviter de relire ce que j'ai lu jadi»; la lentalion il»r tntin- Jiienter ou de discuter pouvait élre a^Ke^ \i\v l'ri (flil niivrage comme celui-ci, je l'ai cru du luoiii*, f/^y^ttum M (Hre présenté avec le nioiiiK d'appareil eï de »»\*tnùiU''t l'oinposé sur des réflexions el grârc â i\utU{itv% mmi* venirs, il doit éti-e coiisi«léré couiiii'^ ini»' <w/»li' i\m l'iiuserie sans préletilion, plutôt tiUK t'imiiii" tin U*Hi jjrave.

En un temps où l'on voit tant d'- d'K-l'-f 'ii'>*i*'rtwfUmii sur des sujets léger-? ou lniil' i |iHH permis de lai>.~i t un y h un sujet sérieux, i.-- r.t . . •^,.• |.

libre?

rteaucoiip II

rant» d'upinion»

HttfHÛ

LA MAr/lKMATIQi'K

uns me clisniloront, vc (|iie je désire; im petit noinbro (le lecteurs rédéehiront après avoir lu ; et e'est le seul but (pie je poursuive. Mais tous reeonnaîtront, je Tesp('re, (pie sans or<fueil inmuxU'MV, sans vouloir non plus établir un rapprochement (pii serait envers le {çrand Montaigne une sorte d'ironie injurieuse, j'ai le droit de dire, comme lui, (pie « ceci est un livre de bonne loi ».

EsBaia de déBnitions. — C'est te propre des itl««a« |lrès géri>>rales de ne [irt^ter diflicilemeiil il une définilion, par rcxcclleiitc raison <|iic, pour d^tîntr. il faul (Miiployer tics mots, cl rnie la sigtiifiratîon cxarXr de» mots otnpioyés n'apparaît, claire et pr<-ciKe. qu'aprê> l'élude mêine de l'objet à définir. Cependant, l'eHprîl liiimaiu >i ittie tendance générale à vouloir i^YpIifiiirr le» choses « priori; c'est une sorte de benoin Inf^qiie. AiiHsi ii'est-îl pas étonnant (|ue d'irMiunibralile-t définiliuns de la science mathématique aient êlé propoitéett.

nits les plu.t émincnlii. el <|ua rlélinilînns nr piii^rte r^NÎfiler

Ulçlin

K(iielc|ucs-iines par les j cpcndanl aucune de c< Jla <-nlique :

" La Mathéniati(|ue est la tseiem-c de^t ^^randeiint ", " Elle a pour objet la mesure de« grandeur* ". ; « Elle étudie l'ordre et la ntettnre o.

j^^Ue se propose l'étude du nombre el de la (iniit- •>

^^bus nous bornons h ee )ictil iioml ^^Buflisent à montrer (pie l'oliotiiele $able, tenant à la nature même lU-t^ chni l«linitione sont bon

li LA MATtÉÉMATIQiE

(•(M'tainos notions mathématiques générales. Aucune n'apprendra ricMi à celui qui ignore totalement ces notions, parce ([ue les mots grandeur, mesure, ordre, par exemple, n auront pas pour lui un sens exact et précis.

Kn essayant de pousser plus loin, et de greffer définitions sur définitions, on parvient à des résultats bien pir(»s. ('/est ainsi que, voulant faire comprendre ce que <\»st (|u'une grandeur ou une quantité, on en est arrivé à nmdre pour ainsi dire classique, dans l'enseignement l<» plus élémentaire, cette formule vaine et pernicieuse: « On appelle grandeur ou quantité tout ce qui est siisc(»plil)le d'augmentation ou de diminution ». Comme si la distance entre deux points fixes n'était pas une grandeur! (]omme si l'estinu^ et l'amitié que Ton a pour une personne, l'enthousiasme, l'admiration, la haine, toutes les manifestations morales, qui sont assuréuKînt susceptibles d'augmentation ou de diminution, pouvaient être raisonnablement classées au nombre des grandeurs mathématiques !

II faut donc se résigner à l'avance à ne posséder aucune définition parfaite de la Mathématique. Mais, à défaut de la définition rigoureuse, on peut et Ton doit chercher, dans toutes les tentatives auxquelles on s'est livré dans cet ordre d'idées, un moyen de pouvoir faire comprendre, au moins d'une manière approx^mati^^ lesprit général et le but essentiel de la ^lathéniitique.

Origine expérimentale. — Au risque de surpreiute et peut-être d'indigner certains philosophes, je me permets d'énoncer tout d'abord cet axiome :

Toutes les sciences sont expérimentales.

C'est, en somme, la reproduction de la formule célèbre : « Rien ne pénètre dans notre esprit qu'aiirèfi avoir d'abord passé sous le témoignage de nos sens». La Mathématique, pas plus qu'aucune autre science,

LA MATIIEM.iTlqVE ET SES 5fiIO/ ■■/S/O.VS

n'écliappo à la loi fouimune. J'estime que sans la pi-i sciice du momie exlérieur aiiciinp connaissance math niatiqiie n'aiiraît jamais pu pénétrer dans le cerveau i l'homme; et que, seul dans Tirnivers et réduit à rétaO de pure intelligence, le plus incomparable génie n'ar-H riverait jamais à la notion du nombre 2, ce génie fùt-ïM celui d'un Arehimède, d'un Ganss et d'un Lagrange.

Ce qui distingue la Matliématiquo des autres sciencesj c'est qu'elle emprunte à l'expérience, au monde exlé-J

minimum de notions. El, une l'ois cette

pru'^l

iiiière base établie, par la seule puissance de la logique, elle édifie sur cesl'ondalions un monument d'une iacomT] jiarable splendeur, cl dont le couronnenii jamais atleiiil.

Mesure et nombre. — En somme, nous vivons. Nou^ avons autour de nous des objets; l'idée de comparera ces objets les uns avec les autres, de considérer les^ groupes qu'ils nous présentent, est naturelle à l'homme^J cl s'est assurément offerte à lui dès les premiers âgei Une observation attentive nous révèle qu'il n'exisi pas d'objets exactement pareils; mais, par une opéra-^ lion de l'esprit qui ne demande aucun effort, Lie f|u'elle renferme à elle seule tout le secret de l'alistractinn mathématique, nous assimilons entre eux les objetftj qui nous paraissent se ressembler, et nous renonçond momentanément à l'examen des différences qui les dis^ linguent les uns des autres. De là vient l'origine du calcul; l'action de compter semble en général toute. J simple à ceux-là mêmes qui sont le moins mathéma'^J tioiens; et cependant, si nous comptons des arbresf dans un parc, nous savons fort bien que les arhresV peuvent être d'essences différentes, qu'ils n'ont ni \&\ nkéme taille, ni le môme âge, ni le même nombre daj l)ranches et de feuilles. Une pincée de grains de blé e jetée sur une table; nous disons : voilà 25 grains 1 blé; et, si nous nous mêlions à les examiner av«

i8 LA MATHÉMATiqiE

(les évaluations de mesures qirun examen superficiel nous ferait proclamer impossibles, et qui seraient vraiment impossibles par voie directe.

Cependant, pas plus que les autres, cette définition n'est parfaite ni complète. Elle ne comprend pas, en premier lieu, la notion d'ordre, ([ui est inhérente à Fesprit mathématique au même degré que la mesure. Et puis, à la prendre dans son sens absolu, elle laisserait de côté toutes les propriétés géométriques qui n'intéressent pas les questions de mesure. Nous ne pouvons nous appesantir ici sur ces considérations, qui trouveront naturellement leur place lorsque nous aurons, plus loin, à présenter un aperçu des diverses branches de la Mathématique. En les signalant, notre but est seulement de prémunir Tesprit du lecteur contre les formules générales, si séduisantes qu'elles nous apparaissent. Par cela même qu'elles sont trop générales, on y trouve une certaine confusion qui n'est pas sans danger.

Le but de la Mathématique. — A la place d'une définition reconnue réellement impossible, essayons donc, en partant des considérations déjà établies, de nous rendre compte, du moins d'une façon aj^prochée, de l'objet que poursuit la science mathématique et de Tintérêt qu'elle présente pour l'humanité.

Compter et mesurer, avons-nous dit, sont des notions

familières. Tout ce qui se compte et se mesure, tout

ce qui s'évalue, appartient au domaine des grandeurs,

qu'étudie la science mathématique , et l'évaluation

engendre des nombres, symboles des mesures. Mais,

nous ne saurions trop y insister, rien ne peut être

soumis à l'application mathématique sans l'opération

préalable de l'esprit que nous avons qualifiée d'abs-

raction, et qui consiste essentiellement à supprimer

\r la pensée, dans la chose étudiée, les caractères

articuliers qu'elle présente, et qui empêcheraient, si

LA M.irriKM.ITIQl'f: ET SF.S SL'IlDlVlSIOy S ig

l'on en tenait Loinpte, de la comparer avec d'autres J choses analogues. Cette opération de l'abstraction, nous I la retrouverons partout, sous mille apparences diverses, 1 mais ollVant toujours, en définitive, le même caractère J fondamental, I

L'abstraction peut être partielle ou totale; ou, pour I parler plus exactement, on peut la pousser plus on ] moins loin ; mais sans son secours, aucune élude niathé- | matique n'est possible, aucun objet ne tombe dans le J tlomaine des grandeurs, aucirn des phénomènes de la 1 nature ne pont être abordé. Cela provient de ce que le I plus simple de ces phénomènes, de ce que le plus élé- J nientaire de ces objets, présente une complexité telle 1 que l'esprit humain, s'en étant rendu compte, demeure impuissant et efl'rayé. Envisager toutes les conditions, i l'ssajer de pénétrer jusqu'à l'absolu est une pure chi- J inère. Par l'abstraction, nous faisons disparaître ces j complications; à la réalité des choses nous subsli- 1 tuons des êtres de raison , créés par noire cerveau, sur J lesquels les raisonnements et les proeédés malliéma- 1 tiques pourront librement s'exercer, 1

11 suit de là que les applications mathématiques, en I dépit d'une opinion erronée trop généralement ré- i pandue, ne peuvent jamais prétendre à l'absolue | rigueur; elles consistent en approximations plus ou J moins pariaites, suivant le degré d'avancement do la J science; mais, si l'on avance sans cesse vers la vérité,,! jamais on ne peut se (latter de l'avoir définitivement ] atteinte.

Le véritable esprit mathématique conduit donc, à ! rencontre d'un préjugé maintenu par l'ignorance, à une méfiance perpétuelle de l'absolu. Très à l'aise, au-' milieu des plus profondes et dîllieiles recherches, tant I qu'il raisonne sur les abstractions pures, le mathémalicien sait à merveille que ces abstractions ne répondent -J pas et ne peuvent répondre aux laits ; et c'est avec de* J : précautions infinies qu'il entreprendra de transporlerj

»o I.A MATHitmATtQVK

(luiis I» rùalitû dos chosos Icr rémiltals ik- Mt*a raiiioiiap-

iiiciils ou lie i^rs calculs.

En Hoiume, le Iml osscnlicl vers Ic<jik'I tciitl la science litiiii.iiiie, c'est l'étude den |iliûnoiiii'ncs que n»UH présente le monde exténeiir. Il y a dans cette élude trois périodes liieu distinctes, en nous plaçant hien entendu au point de vue purement nialhêmnliqu<^. Tciul <Paiiord, par une abstraction préalable convenablement graduée, et souvent lurl iltificile, il faut préparer les grandeuris que l'on doit étudier de manière à les rendre accessibles aux niéltiodes niathéinatiques. en profitant des ressources que la science nous ofl're à cet égard ; cette premièi'c partie est ce que l'on appelle souvent la mise en équation ; elle réalise Xepaxsage thi concret à l'abstrait, et substitue ainsi au phénomène trop complexe pour étic approfoiuli un problème plus simple, parce qu'il ne porte que sur des abstractions, et qui représente une traduction approcbée, mais approcbéc seuioment, de la nature des faits.

Une (ois ce travail préparatoire accompli, la résolu^ lion des équations, eirectuée par le seul secours des méthodes et des procédés mathématiques, permettra d'opérer des transformations utiles, de faire ressortir avec clarté les moyens d'évaluation des quantités qu« S l'on cherche, et dont les valeurs étaient parfois entourées primitivement d'une obscurité profonde. Getle deuxième période est d'ordre exclnsivomcnl abstrait, puisque Ton n'y considère que des abslraeliuns. Les nombres, les formules, les symboles <U' toute espèce ne représentent ici plus rien, en dehors des êtres lofjfiqnes créés par le cerveau de l'homme. C'est sans doute ce qui a fait reprocher souvent à la Mathémaliqiie de fausser l'esprit en le poussant dans la voie de l'ulisolu. Mais le grief est d'autant plus mal fondé, qu'il s applique à une seule opération, sur trois dont se comiiise rétiidc nialbéniatiquc com|)lèle. 11 faut d'ailleurs ■inai'quer que ce Iravail de déduclions opérées

LA ilATIlÊMATIQUE ET SES SU liDI VISI Oy S II ■

sur des abstractions n'a par lui-iiiiiino aucune vertu n créatrice spéciale. Le calcul transforme, mais il ne rend jamais que ce qui lui a été confié ; c'ost un (ait inhérent à sa nature, et il n'en est pas moins précieux I pour cela, car il permet de mettre en évidence des rela- ] lions et des propriétés qui, sans son aide, seraient \ restées enveloppées d'une sorte de mystère. Mais ce serait une erreur profonde que de vouloir lui attrihner i des vertus qu'il ne peut posséder à aucun titre.

Il nous reste à expliquer rapidement le caractère de la troisième période de l'étude mathématique d'un phénomène. Elle consiste dans le retour de l'absti-ûit au concret.

Il s'agit de transporter les résultats fournis par le calcul et les raisonnements abstraits dans le domaine . rjlijoctîf (jui avait fourni les données de la question, de discerner quels sont ceux de ces résultats fournissant dos ' solutions utiles, d'interpréter ces solutions, d'en f^t ire la ] discussion, comme l'on dit dans le langage mathématique ; et ce n'est pas toujours la partie la moins délicate ni la moins épineuse de la question. Ajoutons pour mémoire qu'il sera toujours prudent de recourir, pour un contrôle définitif, à la sanction de l'expérience; cette dernière opération n'appartient plus à proprement par- ' Icr à la science mathématique ; elle relève au contraire de la science spéciale à laquelle se rattache le phénomène étudié ; mais il est indispensable, pour dissiper ' toute équivoque, d'expliquer pourquoi ce contrôle est nécessaire.

Nous avons vu que les éléments introduits dans le | \ calcul ou dans le raisonnement mathématique sont des ' abstractions qui ne sont pas la représentation exactedes litils réels, mais doivent seulement s'en rapprocher. Les nécessités de cette abstraction préliminaire enlrairu-nt donc des erreurs inévitables, nous en sommes prévenus d'avance. Suivant la nature des questions, cette première opération peut souvent devenir fort

aï /..t .VI rilF.ilA TIQVF-

iiiccilaiiic ; l'hypolliésc y joue parf'oîis iiii rôle tlapuSÎ^ (lèlaiil (If tloimêes plus solides; or, si l'hypothèse est en (■lli'-iiii''iiie une ressource précieuse pour uous aider dans nos investigatious, elle offre par contre de gro« périls, surtout si elle a été rréée (t priori, ol si nous cédons D la tentation trop naturelle d'areorder Ica qualités de la réidité effective à ce qui n'est f|ue le fruit île noire imagination. Uaulre |iiirl, sans (|ir'il y ail niéni'? intervention d'hypothèse proprement dite, il peut fort bien arriver (et il arrive plus souvent qu'on ne le suppose) qu'on ait négligé, pour construire les abstractions premières, des éléments qui nous semblent sans importance, par suite d'une a])préeiatiou insuHisante des faits. La mise eu équatiou étant faite dans ces conditions, et le calcul avant été coudiiil d'une façon irréprochable, les résultats mathénialiques obtciuis seront les solutions d'une (]uestion dillércnle de celle qui nous était |)réHeuLêe. Au lieu de rapproxiinalion à laquelle nous étions eu droit de pouvoir prétendre, nous nous trouverons en présence d'un écart constituant une epreur grossière. C'est l'expérience seule qui pourra nous fairo^i connaître, en général, s'il en est ainsi, ou bien, tauï; au contraire, si nous devons accorder créance à notre solution, et la considérer comme pleinement salisfaiwante dans des limites d'erreurs assignées et connues.

SubdivisionB de 1b. Matbéma,tiqae. — Nous avons i^âH à présent une idée générale du domaine sur le^efl s'étend la science malliéniatique, et nous comprenons ' qiL'il y aura lieu, pour pénétrer plus profondément ait vœuv du sujet, de la diviser tout d'abord en deiuç grandes branches, l'une comprenant Vabsirait, l'autre ïe concret, et répondant a, peu près à ce que l'on appelle la Mathématique pure et la Mathématique appliquée.

Même dans l'étude de la Mathématique pure, il s TH'cossaire néanmoins d'emprunter quelque chose i monde extérieur, pour nous rendre un compte exact d

LA M.irilÉMATIQVE ET SES Sl'BUJVI SIOSS iB

la genèse des abstractions; mais cela ne saurai! porte™ alleiiite à la grande classification (rcnsenilili- dmil nouai venons de parler. I

Ct'ci posé, si nous cherchons, dans les objels qittJ iiLiLis présente la nature, à reconnaître ceux qui sonta l'valuabies, et par suite accessibles à la méthode mathé-l niatique, nous voyons d'abord les collections d'objetsfl isolés, par abstraction supposés identiques, et qu^ donnent naissance à la notion des nombres entiersM (jelte étude, par suite des nécessités concrètes qui s'imJ posent, nous conduit de proche en proche à une génè^ l'ulisation qui embrasse toutes les opérations sur le^fl nombres et l'étude des propriétés qu'ils nous ofî'rent.l t^est le calcul numérique ou VArll/imà/ique, dans sool sens !e plus étendu, c'est-à-dire comprenant l'Arit/L'M iiiologie. qui se présente à nous. Mais lagénéralisatioij>B ne se borne pas la : la recherche des lois suivant les^ (|uelies s'opère le calcul a amené progressivement l'esprit de l'homme à créer des symboles pour repré-ï senter les opérations ; et de l'association de ces sym-B boles, de leur combinaison systématique suivant des 1 règles logiques immuables, est sortie VAlgèbre, sorte I de langue universelle des opérations sur les grandeurs. 1 HLpe l'idée fondamentale de l'Algèbre résulte, comme I ^^Kis. le verrons bientôt, la notion de fonction, J ^Eiis, la notion de Tonction, associée à la connais- <l sance naturelle de la continuité, que nous révèle le 1 inonde extérieur, nous amène au Calcul infinilésimal, \ instrument merveilleux de recherche et d'investigation, dont nous sommes redevables au génie de Leibniz et de -Newton, peut-éire aussi de Fermât. Enhn, au cours du xix" siècle, et particulièrement dans ces dernières années, des travaux tellement considérables ont été accomplis dans l'étude des i'tmc'tions et de leurs propriétés, qu'il faut créer à la Théorie (les /onctions une place à part, distincte du Calcul infinitésimal proprement dit.

tJ MJTÊÉMJTIIICK

lUMiii'îfi. non* n'aron» parlé i|uc des fondeurs ^raltial>l'r« «^1 mirMurahle», rt que nouf» «ii[»poiions repr^ <»*rnt'ifc«t par df?» nxiiiltrpft. Maî« It-s rorp» i]ue nous voj'on» <*pl de* tonne», ils orruponl des posîUuns daniî i'iiitparfi. 1,'t'luttf d«-» jHt)iîlînn!*et den Tonnes dans l'e»piHfe ii'^im 'Mivn- l'horî/oci iiiiiiienst* de la Grométrie. (\r\\f t^liidi^ prpnd un rararlère particulier dp prérision lïl dn gi'-n/TMlil>- {i>ir Tsipiiliralioii );yslêmatic|uc du calcul( application qui conslituv la Géométrie analytique- Moiifivoy(initain»i!turcfltisireni4^nl apparaître les diverses brant-hett d«; la Kcience nialhêiiialique, s'appliquent à tiii ni'nid»' (•î(l<''ri«iir iinimiable el en repos. Or, Tobservnli'Hi iiixiK iiioiilre que le iiiotivemc-nt est le raractére l'oiiimim de tout* le» corps, (|ue leurs positions et leurs fOPine» «ont varialiles avi-e le temps, grandeur indéft- IiiftHiihle, iniiiH (jiie iioiiH Bavons mesurer. L,a Mécanique ciiiliriiHHcrii IV-tniIe du moiiveiuenl accompli dans le liMn[>H i-i dan» ['i^s[>aoe.

li'i''tiiiiii('-t'ation i|ni jirét^ède est loin d'être romplète; t'iliini' niiiiuM l'iuiilruit-il la croire absolue ; en réalité, louIeH IcH Hrinnces se riiiiiifient, s'entr'aideut ; s'il est rii''ce>*Miiiri' (le (grouper les eouuaissauces liiiiuaines en ^nUldl■K cut/'j^orieH, pour mettre un peu d'ordre et de lu l't huile dimtirequi serait aulrement un chaos, il y aurait iin|irii(leri('« ft mécniimiitre (jii'auK limites de ehacune d'elU'H il existe, non jiiis une ligne de démarcation netleimtiil et rigniireuBemeiil tracée, mais au contraire unetuirlit do ïoue l'rontit're sur laquelle plusieurs sciences diverses peuvent revemlifpier des droits égaux. CVet ce que lu suite de celte élude ne cessera de nous révéler l'i ctuique instant, et cela nous dispense d'appuyer ici nuire iilDt'iuiitiun de faciles exemples.

t)ii reiuurquerii que notre énumératîon est i-estiM muelle en ce i[iii concerne la Physique nialhématiqt^^ (Vesl qu'en réalité, s! le domaine d'application de feî;- Mnthéinalique s'est targi>uient accru de ce côté, c^' conquête», dont il v n lieu d'ailleurs de se félicilwfli

MATHEMATIQUE ET SES SUBDtVIStONS

ont été obtenues à l'aide d'abstraotions et d'hypothès nouvelles, qui ont permis de donner un caractère mathématique aux théories édifiées dans ce but; c'est donc un élargissement progressif du champ d'investigation sur lequel s'étend l'action de la Mécanique, et qui ne nous contraint pas à la nécessité d'une subdivision particulière. D'ailleurs, voulant ne pas excéder les limites d'une étude rapide, nous ne chercherons pas à revenir sur cet ordre d'idées, et nous laisserons la Physique mathématique en dehors des considérations que nous nous proposons de développer à grands traits. 11 est seulement utile d'insister ici sur la nécessité particulière de contrôler par l'expérience, plus attentivement que jamais, les précieux résultats que fournit la science mathématique, sous peine de commettre de graves erreurs ; autrement, on risquerait de laisser à la charge de la Mathématique des méfaits dont réellement elle ne saurait être rendue responsable.

Essai d'une clasaiUcation. — Reprenant la liste des grandes subdivisions ci-dessus énumérées, nous pouvons à présent présenter le plan général de notre étude, qui comprendra :

La Mathématique pitre, se subdivisant ainsi : Arithmélique et Arithmo- ^ logie. 1

Algèbre. ] Science du calcul.

Calcul infinitésiniftl. \

Théorie des fonctions. j Géométrie.

Géométrie analytique.

Mécanique rationnelle.

Ija Mathématique appliqi

Des considérations générales préliminaires ij application du Calcul ; Inapplication de la Géométrie ; h'apptication de la Mécaniqu

Science de l'étendue.

— Science du mouvement.

omprenant:

■i() LA MATIIÈMATiqVE

Dans une troisième partie, nous envisagerons les questions relatives à renseignement des diverses branches de la Mathématique, en suivant à peu près le même ordre.

J'ai dit qu'une semblable classification, forcément artificielle, devait présenter des imperfections et des lacunes. On n'y voit pas apparaître, en effet, des chapitres importants, tels que l'Analyse combinatoire, le Calcul des probabilités, la Géométrie de situation, pour nous borner à un petit nombre d'exemples. C'est que, d'une part, une classification trop étendue perdrait en clarté ce qu'elle pourrait gagner en rigueur, sans pour cela devenir absolument rigoureuse; et que, d'un autre côté, il ne nous semble pas y avoir un grave inconvénient à nous conformer à des habitudes prises, en faisant rentrer les sujets dont nous parlons dans un domaine qui n'est peut-être pas le leur au point de vue strict de la nature des choses, mais qui s'en rapproche assez, en raison des procédés et des méthodes à mettre en œuvre.

Importance de la science mathématique. — Si nous avons été assez heureux jusqu'ici pour exprimer clairement notre pensée, le lecteur doit entrevoir dès maintenant la haute importance de la ^lathématique dans l'échelle des connaissances humaines. Sans son secours, aucune étude des faits où figurent des quantités n'est rationnelle ni complète ; c'est le plus merveilleux instrument créé par le génie de l'homme pour aider à la découverte de la vérité. Pourvu qu'on en fasse vm emploi judicieux, pourvu qu'on ne lui demande pas d'autres services que ceux dont elle est capable, la Mathématique vient apporter son concours à toutes les autres sciences. Ajoutons qu'en elle-même, et au point de vue du développement de l'esprit, l'étude mathématique est un admirable exercice de gymnastique logique; on y apprend à raisonner juste, à effectuer les rappro- (^hements nécessaires entre les idées et les siones, à

W LA MA'niEMATIi}VE ET SUS SfU DlVlSrO.yS l^M

l'aire le départ entre l'ubsulii l't h' itLiIîT. enli'i' lel t'oncret et l'abslrail. I

Pcut-t^tre est-il bon de |ii-o(ltiii'f une [tareillc alIiriiia->J lion, intime au milieu du grand développement scieiitt4 lique et indusiriel de noire époque. Les préjugés, enA (ll'et, ont une ténacité telle, qu'ils persistent longtempifl encore après que les faits leur ont donné les pluu cruels démentis ; et c'est seulement par une persis-« tance incessante dans radirmation de la vérité qu'onjl linit parles déraciner. Cependant, ime affirmation isoléel en faveur de la science mathématique n'a guère de va-rl leur, émanant d'im homme qui fait profession d'aimeol cette science. C'est pourquoi je préfère invoquer de« autorités comme celle de Leibniz, disant que la Mathé-I inatique est « l'honneur de l'esprit hnniain h ; de PasoatI écrivant : a entre esprits égaux et toutes choses^ pareilles, celui qui a de la Géométrie l'emporte etl acquiert une vigueur foule nouvelle ». I

Mais Leibniz, mais Pascal, peut-on dire, sont à la fois I de grands philosophes et des mathématiciens illustres. J A ce dernier titre, leur témoignage peut être entacliël de partialité. Rappelons donc aussi cette parole, attribuée)! à Napoléon I"'' : « L'avancement, le perfectionneinenM des mathématiques sont liés à la prospérité de l'Etat ». I

Mentionnons cet aveu de Darwin: « J'ai profondé-É ment regretté de n'avoir pas suffisamment approfondie ce genre d'études'(rAlgèbre), au moins de façon à com-1 prendre les grands principes de mathématiques, car les 1 lionimes doués de cette compréhension semblent pos- J séder un sens supplémentaire «. I

Enlin, tout en faisant la part de ce qu'elle peut pré-É senler peut-être de trop absolu dans sa concision, J méditons la jienséequeKant a exprimée en ces termes : I " Une science naturelle n'est une science qu'autant | (|ii'clle est inaihéniatique ». I