CHAPITRE II

L'Arithmétique et FArithmoloerie.

Caractère général de F Arithmétique. — Il est assez difficile de délimiter d'une façon précise le domaine de TArithmétique, et surtout d'indiquer exactement quels sont les caractères essentiels qui la distinguent de TAlgèbre, dont nous aurons à nous occuperdans le chapitre suivant. Auguste Comte, à notre avis, a donné la meilleure formule, en disant que TArithmétique a pour objet le calcul des valeurs et TAlgèbre le calcul des fonctions. C'est une forme de langage exigeant, pour être bien comprise, une certaine connaissance de la notion de fonction, et qui a par suite l'inconvénient de ne pouvoir être placée au frontispice de la science. L'inconvénient est mince, du reste ; car, s'il peut être agréable, pour la satisfaction complète de l'esprit, de posséder ainsi une définition globale et synthétique, nous cherchons en vain quelle en peut être l'utilité, soit au point de vue de l'enseignement, soit à celui d'une compréhension générale des choses, pour celui qui cherche à acquérir une simple initiation préalable.

Tout en rendant pleine justice, ainsi que nous venons de le faire, à la définition générale d'Auguste Comte, nous pouvons donc aussi nous rendre un compte exact de ce qu'est l'Arithmétique, en énonçant qu'elle consiste dans la science du calcul, ou bien qu'elle étudie les

^H LARITIIMÉTIQIE ET LARITII il O LOG] F. 3^1

nombres et les opérations sur les nombres. Ajoutonsfl qu'on est communément convenu d'appliquer ce termefl d'Arithmétique à la partie la plus élémentaire de ioM science générale «lu calcul, et que c'est habituellenienfl par là qu'on aborde l'étude de la Mathématique. I

Ce seul fait suflirait à lui donner une importance] <:apitale, car, selon que les notions premièreB qui sfti présentent au début d'une vaste élude sont claires oiifl confuses, bien ou mal présentées, il s'ensuit une réac-l lion nécessaire sur toute la série des connaissam-esM à acquérir plus tard. Cependant, il y a plus encore, el,l l'importance de l'Arithmétique est à la fois d'ordre phi~l losuphique, d'ordre pédaf^ngiqiie et d'ordre pratique. 9 C'est qu'elle comprend, en effet, deu\ branches fortfl distinctes : d'une part, les procédés de calcul, îndis-l pensables à connaître, du moins dans les parties lesd plus élémentaires, pour les usages courants de la vie;'fl et de l'autre, ce qu'on pourrait appeler l'ArithmétiquàB scientifique, c'est-à-dire l'étude des propriétés et desl ^relations que les nomlires présentent. I

^H Le nombre. — Xduh avons eu déjà l'occasion d'em- I

^^loyer ce mot, sans nous ap|)eaantir sur l'idée fonda- 1

mentale qu'il représente. Le moment est venu de I

serrer la question d'iui peu plus près. I

Bien des définitions du nombre ont été proposées, .J

L'une d'entre elles, la plus précise à mon avis, et quel

j'ai eu l'occasion de présenter déjà, ne m'appartient 1

pas en propre ; elle m'a été suggérée par M. Ilermann I

l>aurenl, auquel en revient tout le mérite. La voici. I

11 On appelle nombre une locution et ini signe qui 4

serventà désigner avec précision une quantité, ettouteBa

celles qui lui sont égales, de manière à les distinguer i

nettement de toutes celles qui sont dill'érentes ».

Cette manière de s'exprimer ne peut laisser aucun doute, alors que les fait» du monde extérieur, c'est- ! l'observation et l'expérience, nous ont donné la

iiulton prw'îse de In qiiaiililî' ; t'égaUté entre deux (|tiaiililés nous vs^X ti-\v\i-v. aii^si jinr lii iialiirc inémi^ lies choBC'B, ai'i'oiiipagnve de l'idée inslinctive d'abs- Iraclion, <|iiî nous amène à cansidérer roiiiine idcnliqties des objet» disseinblalileu en réalité, maie qtio nous assimilons entre eux par nne opération de notre esprit, ainsi qne nous l'avons expliqué.

Une fois le nombre créé pour une catégorie particulière d'objets, on comprend (ju'il pourra servir toitl aussi bien pour toute autre catégorie. Par exemple, nous avons compté des grains de blé, et nous en avons trouvé 23 ; la loctilion vingt-cinq, le signe a[ï nous serviront indifféreiumeiit à ionq>lcr dos arbres, des mètres, des litres, des grammes, etc.

Ce signe 25 ])ris en lui-même est le nombre abstrait qui pourra s'appliquera des quantités de toute nature; il proprement parler, il n'y a pas de nombres abstraits égaux entre eux ; il y aie nombre aS, par exemple, qui dilfère de tous les autres. Ecrire aS^ aS est un truisme n'apportant à notre esprit aucune connaissance nott< velle, et qui équivaut à peu près à des pbrases telles que : <c Je suis moi ; luie maison est une maison »,

11 n'en résulte pas néanmoins que île telles évidences soient toujours inutiles, et noirs aurions tnrt d'en proscrire l'emploi.

Rapport. — Il est permis de se demander si l'idée de rapport, généralement reléguée assez loin dans l'étudË de l'arithmétique, ne mériterait pas de prendre place dès le début, eomme conséquence de la notion de nombre. Si, par exemple, voulant mesurer une Ion* gueiir, je l'ai comparée à un mètre, etj'ai trouvé qu'elle contient 24 fois un mètre, le nombre abstrait a4 représente le résultat de la comparaison entre la longueur dont il s'agit et celle d'un mètre. Il est bien clair que SÎ. l'unité choisie avait été une longueur de a mèlreSf

Lirais trouvé la, et non plus a4, comme nombre rej

H L'ARITHMÉTIQVE ET f.-AfflTIlMOLOaiK ifM

sentant la longueur ; si l'unitt^ avait été 6 mètres, j'auraiîn trouvé 4, et ainsi de suite ; on ne commet donc aucuiicfl pétition de principe en aliirmantque le nombre abstrait» (jui détermine une quantité conerète représente !&■ rapport entre cette quantité et la quantité de niémea l'spèce qui a été choisie comme imité, ce choix restants d'ailleurs â notre disposition; et en procédant ainsi J on introduit franchement dans la science des grao^ deurs une notion qui est adéquate à celle de mesure,! (|ui correspond à celle du nombre et qui n'est pas aitl tond plus compliquée. Cette idée fondamentale ainsîa . placée dès le début a le mérite d'établir nettementl cette vérité, que nous ne pouvons arriver â avoir I connaissance des grandeurs que par voie relative ; ellefl présente en outre l'avantage de simplifier et d'éclajrcip'ï la définition des opérations, ou du moins de la multipli- J cation, comme nous allons le voir dans un instant. 1

Numération. — Le nombre, sous aa forme la plus] élémentaire, nous est révélé par l'évaluation des coi-9 lections d'objets de même nature (ou supposés de mème-J nature par abstraction) : c'est le nombre entier. La pre-ï niière question qui se présente à nous en arithmétiques est donc l'établissement du système des locutions et \ des signes permettant de représenter et d'exprimer les J nombres entiers. C'est l'olijet de la numération, qui sel subdivise ainsi en itumératioii parlée et niimêrationM érrile. Il y a une infinité de numérations ; celle qui est I il peu prés universellement adoptée, qire tout le monde J connaît et par laquelle il convient de débuter dans unea première étude, est la numéralioii décimale, sur lesfl principes de la(|iielle il nous Bend)lc inutile d'insister 1 ici. I

Opérations élémentaires, — Nous voilà en possession j de la notion du nombre et des moyens de repré- J senter les nombres entiers. Il s'agit maintenant de tirer I narti de ces éléments pour combiner les nombres les I