La mécanique des phénomènes fondée sur les analogies

Il arrive souvent que des phénomènes d'ordres différents présentent des ressemblances frappantes. 11 n'est pas rare qu'un phénomène rappelle, par certaines particularités de son allure, un autre phénomène n'ayant avec lui aucun rapport concret. De telles ressemblances donnent lieu à ces métaphores dont on se sert si fréquemment aussi bien dans le langage courant que dans les diverses branches des sciences : citons, par exemple, la comparaison de tel ou tel phénomène avec le torrent dont la force destructive grandit avec les obstacles qu'on lui oppose; la comparaison de divers phénomènes brusques avec le phénomène du choc mécanique. Des phénomènes de nature variée (mécaniques, phvsiques, physiologiques, sociaux, etc.) consistant en des oscillations lentes entre deux états extrêmes, sont souvent comparés au mouvement périodique et lent d'un long pendule, à la marée avec son liux et son reflux ou à des mouvements péristidtiques dans l'organisme. On compare tel ou tel phénomène historique, sociologique, etc. au mouvement pendulaire amorti; les mouvements internes vifs et mal déterminés des grandes masses humaines sont comparés à la fermentation; l'atavisme est comparé à l'hystérésis. Ce sont surtout les phénomènes mécaniques ou physiques qui fournissent les termes de comparaison.

De telles métaphores cherchent à mettre en relief tel ou

tel caractère du phénomène : en comparant celui-ci à un autre phénomène, présentant avec le premier des particularités communes, mais dans lequel celles-ci se |)résentent d'une manière plus naturelle, on les fait saisir ou sentir plus vivement. Le phénomène de comparaison doit illustrer ce qu'on voudrait faire ressortir dans le phénomène primitif. Dans les métaphores employées couramment, le terme de comparaison évoque une image vive, très souvent empruntée à un phénomène naturel (exemple : l'éclair de la pensée).

Parmi les analogies observées dans les diverses branches des sciences, les plus complètes et les mieux déterminées sont certainement les analogies entre les phénomènes physiques et mécaniques. Elles sont aujourd'hui très nombreuses et, à tout phénomène physique, on s'efTorce de faire correspondre un phénomène mécanifjue qui lui soit analogue par certaines particularités et qui l'illustre d'une certaine manière. Des éléments de significations concrètes différentes dans deux phénomènes distincts jouent souvent des rôles semblables, et cette ressemblance des rôles conduit d'une manière naturelle à une ressemblance des équations. Les analogies mathématiques qui en résultent sont souvent si complètes que tout résultat obtenu clans Tétude d'un de ces phénomènes peut être immédiatement transporté, avec sa traduction spéciale, dans le second. La Nature semble, diraient les anciens philosophes, construire ses œuvres d'après des plans primitifs semblables, cachés sous des apparences extérieures qui diffèrent; des phénomènes divers peuvent conduire aux mêmes équations, disent simplement les analystes.

On sait cjuels sont les services cjue les analogies mathématiques ont rendus aux différentes branches de la physique mathématique : Ohm, Lamé, Chasles, Lord Kelvin, Helmholtz, Kirchhoff, etc. ont souvent recouru aux analogies dans leurs recherches sur l'élasticité, l'attraction, la propagation de la chaleur et de rélectricité. C'est par les considérations d'analogies que Ohm a édifié sa belle théorie de la propagation de l'électricité, en y transportant le mode de raisonnement par lequel Fourier avait déjà édifié la théorie de la pro]>agation de la chaleur. Maxwell s'en est très fréquemment servi dans ses recherches : c'est ainsi qu'en comparant les phénomènes électiomagnétiques à une certaine espèce de

moiivemeuL lourbillonnaire des liquides, il a trouvé les équations fondamentales de Télectromagnétisme auxquelles son nom est demeuré attaché. L'analogie des lois des gaz parfaits avec celles de la pression osmotique à également été un gui le pour les physiciens qui ont établi la théorie de la pression osmotique. Les modèles mécaniques ont souvent servi de i^uide dans les investigations, en suggérant même, parfois, des découvertes. Tel a été, par exemj^le, le cas du modèle électro-optique de M. Lorentz, conduisant M. Zeemann à reconnaître l'action d'un champ magnéticpie sur les raies du spectre.

Il y aurait un livre intéressant à écrire sur les services que les considérations d'analogies ont rendus à la Science; mais nous voudrions, dans celui-ci, insister particulièrement sur un genre de services d'un ordre plus général, que pourraient rendre des analogies convenablement interprétées. L'analvse d'une analogie entre des phénomènes divers fait ressortir d'elle-même la raison intime et commune à toutes les analogies; celle-ci réside dans l'identité des rôles joués par certains éléments dans les phénomènes analogues : un angle, par exemple, peut jouer dans un phénomène le même rôle que la charge électrique dans un autre; l'élongation d'un pendule le même rôle que la dilTérence de niveau d'un liquide; la température le même rôle que le potentiel électrique.

Les questions qui s'imposent dès lors bien naturellement sont les suivantes : est-il possible de dégager en quelque sorte ces rôles de ce qui les rattache spécialement à telle ou telle espèce de phénomènes et de les présenter sous une forme à la fois assez simple et assez générale pour qu'ils puissent s'adapter à tous les phénomènes embrassés par une même analogie? Ces rôles ainsi schématisés, peut-on schématiser aussi les phénomènes d'un même groupe, en les réduisant à un schéma commun qui corresponde tantôt à l'un, tantôt à un autre phénomène du groupe, suivant les significations concrètes que l'on donnera aux divers éléments de ce schéma?

L'étude de ces questions est le but du présent ouvrage. Les quelques esquisses que nous présentons montreront que le problème n'est pas dénué d'un certain intérêt philoso-

phique par sa généralité et le petit nombre de notions qu'il fait intervenir. Sa solution suffisamment développée ne serait rien moins qu'une sorte de mécanique générale des phénomènes qui aurait, tout d'abord, l'avantage de relier entre elles et de ramener à nue même base un grand nombre de théories n'ayant aucun rapport mutuel. Elle donnerait la clef des analogies mathématiques aujourd'hui connues et en ferait trouver une foule d'autres. Les analogies, d'autre part, contribueraient puissamment à son édification en lui offrant des problèmes d'un intérêt réel, en même temps que des applications concrètes.

Y a-t-il des chances pour que cette théorie, quand elle sera faite, conduise à quelque chose de nouveau? Permettra-t-elle de prévoir des faits, de suggérer des explications de faits inexpliqués, de conduire à des expériences à tenter, à des recherches à entreprendre?

Les exemples, cités au cours de cet ouvrage, se chargeront de répondre à ces questions et mettront en évidence le genre de services qu'on pourra attendre de cette branche de la philosophie naturelle. Xous verrons que celle-ci naîtra du groupement des phénomènes suivant leurs analogies, de l'étude des schémas généraux tiiés de chaque groupe d'analogies et des généralisations que ces groupements suggèrent.

CONSIDÉRATIONS PRÉLIMlNAIKES SUR LES ANALOGIES.

1. Les groupes cV analogies et leurs éléments correspondants, — Considérons plusieurs phénomènes «i>i, *2, *3, • • • ^ définis par un certain nombre de variables. Nous dirons que ces phénomènes forment un groupe d' analogie parfaite, si les équations différentielles ou en termes finis relatives à ces variables sont pour tous ces phénomènes :

jo En même nombre;

2° De même forme par rapport aux variables, à leurs dérivées et aux constantes figurant dans les termes des équations.

Ainsi deux mouvements, dont les variables de Lagrange et les constantes sont respectivement

q\. qi' (/-.i ^M, ^''-1, G-i. ...

pour le premier mouvement.

Tj, /'o, /"a- •••' Gi, Go. G3, ... pour le second, formeront un groupe d^analogie parfaite si, le nombre des variables q, étant égal à celui des /"/, et le nombre des constantes C, étant égal à celui des G/, on peut passer des équations

dt\âqj ôqt relatives au premier mouvement, aux équations

dt\dr'il dvi

relatives au second, par le simple changement des qt en /', et des Ci en G/.

Tel serait, par exemple, le cas des mouvements suivants régis par une même équation diflerentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ou variables :

1° A ibrations d'une corde homogène ou hétérogène d'épaisseur et d'élasticité constantes ou variables;

2° Oscillations d'une chaîne pesante de densité constanle ou variable, suspendue par Tun de ses bouts ou par les deux. bouts;

S*' Mouvement vibratoire d'une colonne d'air de densité et d'élasticité uniformes ou non.

Etant donnés des phénomènes *i, *î>o, *3, .... formant un groupe d'analogie parfaite, formons le Tableau suivant de toutes les variables et constantes qui leur sont rattachées :

les éléments de la «'''"*' ligne correspondant au phénomène */.

La notion d'analogie parfaite implique la possibilité d'ordonner les éléments du Tableau de manière que, pour passer des équations d'un phénomène quelconque *, du groupe à celles d'un autre phénomène ^j du même groupe, il suffit

d'y changer

cti en ay,

?/ en 3y,

Les éléments appartenant à une même colonne du Tableau seront alors dits éléments correspondants des phénomènes *,.

Certaines fonctions des variables caractéristiques, de leurs dérivées etc., peuvent aussi jouer le rôle d'éléments correspondants; nous en rencontrerons de nombreux exemples dans ce qui va suivre.

Xous allons donner ([uelques exemples de groupes d'analogies parfaites.