Les phénomènes exponentiels. — Un des exemples les

CONSIDÉRATIONS PRhLIMINALKES SUR LES ANALOGIES. y

plus simples de groupe d'analogie est fourni par la vaste classe des phénonnènes exponentiels dont l'équation dillerentielle est de la forme

Dans cette équation x et v' désignent les variables du pliéîiomène et K une constante. Parmi les phénomènes obéissant à cette loi, nous citerons les suivants :

1° Absorption d'une radiation lumineuse simple pai- un milieu homogène ; y désigné l'intensité lumineuse et x l'épaisseur de la couche traversée. (Loi de l'absorption.)

2** \ ariation de la pression barométrique avec Faltitude dans une atmosphère à température uniforme; y désigne la pression barométrique et x l'altitude. (Loi de Laplace.)

3° Refroidissement d'un corps dans un milieu tranquille; V désigne la température du corps et x le temps. (Loi de iVewton.)

^'^ Déperdition de l'électricité sur la surface des liquides électrisés, par suite de l'évaporation ; y désigne la charge électrique de la surface liquide et j? le temps. (Loi de Pellat.)

5° Variation de la quantité d'un composé défini qui se transforme progressivement sous l'action d'un agent physique ou d'un ferment; y désigne la quantité du corps transformable et X le temps. (Loi de la vitesse d'une réaction monomoléculaire.)

Les phénomènes précédents constituent donc bien un groupe d'analogie j^arfaite; les grandeurs y, j? et K en sont les éléments correspondants. La signification physique de ces éléments est mise en évidence dans le Tableau suivant qui résume en même temps ce qui précède.

CHAPITHE I.

Tableau I .

Nu m CIO (lu |)licii.jiiiriic. N'ariable >'. Variable x. Constante K.

j , , , ,. /Epaisseur de la , Diminution relative

, \ Jntens. de la radia- l , ,

couche absor- j dmtens. par unité

bante. ' de longueur.

, Diminution relative

( tion lumineus

.) \ Pression bai'omé- / ,, . , i , ,

- ; . . Altitude. de la pi'cssion par

' trique. \ . .

V unité de longueur.

rp, , , r rx . 1 n ■ ,' Dimiuution relative

\ lemper. du corps Durée de refroi- , ,

•' , < ,. de la teniper. par

( ravonnant. dissement. | . . ,

; unité de temps.

, r-i ', ■ , Diminution relative

[ Charge électrique', ^^ . ,, . , , , -i

, I 1 1 ^ ,. Durée d evapo- ' delà charge elec-

*■ , de la surface 11- , . ^ . "^ . ,

• 1 ration. i trique par unité

quide. / /

de temps.

; Diminution relative

^ \ Quantité du corps \ Durée de la réac- j de la quantité du

( primitif. ( tion. j corps par unité de

( temps.

Le même groupe d'analogie embrasse encore une foule de phénomènes, comme la distribution des températures le long d'une tige chauffée en un point, la raréfaction de l'air à l'aide d'une pompe dans un vase fermé, l'augmentation d'une somme d'argent prêtée à intérêts composés, la loi de Malthus sur l'augmentation de la population, etc.

3. Les phénomènes oscillatoires, — Un autre exemple de groupe d'analogie est fourni par la classe des phénomènes oscillatoires dont l'équation différentielle est de la forme

, . cl''- Y dv

Dans cette équation y et t désignent les variables du phénomène et m^ />, q des constantes. Parmi les phénomènesrégis par cette équation nous citerons les suivants :

1° iMouvement d'un pendule simple pesant dans un milieu résistant;

2° Vibrations d'un pendule simple élastique;

CONSIDERATIONS PRELIMINAIRES SUR LES ANALOGIES. Il

3° Décharge d'un condensateur électrique;

4° Mouvement d'un liquide dans deux vases réunis par un tube horizontal supposé très court.

Dans tous ces phénomènes ^ désigne le temps, et/? le coefficient de frottement; la signification des autres éléments

- ci- y dy • t . ,

correspondants j-, /?i, </, m -rj i P -^ •> ^y est indiquée dans

le Tableau suivant :

ClIAPITRI-: I.

CONSIDÉRATIONS PRELIMINAIRES SUR LES ANALOGIES. l3

Remarquons que l'intégrale générale de l'équation différentielle (2) peut présenter trois formes différentes suivant les grandeurs relatives des constantes m, yt>, q. Suivant que la quantité ^■-— 4 /;«Y 6^t négative, nulle ou positive, le mouvement dans les quatre exemples cités sera périodique amorti, apériodique critique ou simplement apériodique.

Considérons par exemple le mouvement du pendule simple pesant : si celui-ci se meut dans un milieu peu résistant dont le coefficient de frottement/? satisfasse à l'inégalité

/>2— l^nxq <o,

il exécutera une série d'oscillations d'amplitudes décroissantes; l'amortissement des oscillations ainsi que la période croîtront avec/?. Si l'on imagine que le coefficient p augmente d'une manière continue, il arrivera un moment où l'inégalité précédente sera remplacée par l'égalité

p- — 4 niq = G ;

à cet instant, le mouvement deviendra apériodique critique, le pendule tendra indéfiniment vers sa position d'équilibre sans la dépasser. Quand, p continuant à croître, on aura

l'allure du phénomène restera la même que tout à l'heure avec cette différence que le pendule mettra un temps de plus en plus long pour reprendre sa position d'équilibre : le mouvement sera devenu simplement apériodique.

Le mécanisme des trois autres phénomènes cités est identique aux précédents : ainsi, dans le phénomène de la décharge d'un condensateur, le coefficient p n'est autre que la résistance ohmique du circuit. Si cette résistance est faible vis-àvis du coefficient de self-induction m du circuit, de telle sorte

que l'on ait

/)2— ^niq < G,

la décharge sera oscillante, l'amortissement des oscillations sera d'autant plus considérable que p sera lui-même plusgrand. Quand on aura

p"- — \mq ^ G,

la décharge cessera d'être oscillante pour devenir apério-

l4 CHAPITRE I.

dique, le flux d'électricité sera indéfiniment de même sens et tendra vers zéro.

k. Les phénomènes électriques, ther^iniques et hydrodynamiques. — Les phénomènes de l'équilibre électrique, de la propagation de la chaleur dans un milieu homogène et du mouvement permanent irrotationnel des liquides incompressibles sans frottement constituent un groupe d'analogie intéressant qui a exercé une grande influence sur le développement de la physique mathématique. Considérons des corps conducteurs électrisés plongés dans un milieu diélectrique : on sait que le problème de l'équilibre électrique est caractérisé par l'existence d'une fonction V des coordonnées appelée potentiel électrique, qui s'annule à l'infini, a une valeur constante sur chacun des conducteurs, et satisfait pour tous les points du diélectrique à l'équation de Laplace A Y = o.

En désignant par X, Y, Z les composantes du champ électrostatique en un point P de coordonnées x^ r, z, par K le pouvoir inducteur spécifique du diélectrique, la quantité

(3) KA\ = — -f- — -I- —

^ ^ \ôx éy dz J

représente le flux de force électrostatique qui sort de Tunité de volume pris au point P. L'équation aY = o exprime que ce flux est nul pour tout point du diélectrique; c'est l'équation de continuité du champ. L'équation Y =3 const. est celle des surfaces équipotentielles. Le champ électrique en un point est normal à la surface équipotentielle qui passe par ce point. Les lignes de forces du champ coupent toutes ces surfaces orthogonalement.

Supposons maintenant qu'on remplace le milieu isolant par un milieu conducteur de la chaleur, homogène et isotrope et chacun des conducteurs électrisés par des sources qui dégagent ou absorbent de la chaleui- de façon à maintenir sur les surfaces des températures constantes. Soient X, \, Z les composantes du flux de chaleur en un point P où la température est Y, K le coefficient de conductibilité; lorsque l'équilibre est établi, on a entre les grandeurs considérées