fl

Mais, s'il fallait d'abord chercher l'intérêt de la sommé pendant un an, puis recourir à la règle de trois :

27Xy "" 365'

le calcul serait trop long. On est parvenu à le simplifier, par la combinaison des deux proportions ci-dessus, delà manière suivante :

En multipliant ces deux proportions terme à terme, on ob* tient celle-ci :

100X365 : 4Xy :: 2450X27 : yxx.

Si Ton supprime le facteur commun et inconnu y de Fun et de l'autre conséquent de cette proportion, on ne la détruit point, puisque le produit des extrêmes reste égal à celui des moyens, et Ton a la proportion suivante :

de laquelle on déduit la règle trois :

=7 fr. 24.

Mais ce mode de calculer était encore bien lent. On Fa simplifié par l'application de ce principe, que, les deux rapports qui composent une proportion étant égaux, on trouve le terme inconnu en divisant le terme connu par le rapport connu en opérant la règle de trois par la division. En effet, dans la proportion :

on peut observer que le premier rapport 100x365 : 4 revient dans tous les calculs qui ont pour base le même taux d'intérêt, sc»it 4 p. 100, quels que soient la somme et le nombre des jours proposés. On a donc cherché, une fois pour toutes, quel était ce rapport, soit : ^^^^ ou, calcul fait, 9,125. En divisant par ce nombre le terme connu du second rapport,

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2450x27, c'est-à-dire 66^50^ on doit avoir pour prodait rinoonnu x^ Tintérêt demandé. L'opération se &it donc ainsi:

L'intérêt de 2,450 fr. à4 p. 100 pendant 27 jours est donc égal à 7 fr. 24 c, plus une fraction qui excède visiblement l/i centime. Cet intérêt peut donc être évalué à 7 fr. 25.

En général, et quelle que soit la somme dont on cherche rintérêt, quel que soit le nombre de jours pendant lequel cet intérêt court, quel que soit le taux auquel la somme est placée, a on trouve l'intérêt, pendant un nombre de jours donné, en multipliant la somme par le nombre des jours et en & visant le produit par le rapport qui existe entre 36,500 et U nombre qui expHme le taux de tintérêt, soit 4, 5, 6, ou plus oa moins, p. 100. »

Ces rapports, relevés une fois pour toutes, et gravés dans la mémoire de tous les praticiens, ont pris le nom de diviseurs fixes, parce qu'en effet ils ne changent pas, et sont employés toutes les fois qu'il s'agit de faire des calculs sur le même taux dlntérêt.

La multiplication de la somme par le nombre des jourspendant lesquels l'intérêt a couru donne un produit qui représente la somme dont Tintérêt pendant un jour serait égal à celui de la somme proposée pendant le nombre de jours quia couru. Ainsi, dans l'exeniple ci-dessus, l'intérêt pendant un jour de 66,150, qui contient 27 fois 2,450, est égal à rintérêt de 2,450 pendant 27 jours. Il s'agit donc toujours, en définitive, de chercher l'intérêt d'une somme donnée et désormais connue, ou du moins facile à obtenir, pendant un jour.

Parmi ceux qui s'occupent de calculs d'intérêts, ce pro-

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'wfRE VI, CHAPITRE I. 519.

duit de la somme par le nombre des jours s'appelle le nombre par excellence^ parce qu'il est en quelque sorte le point de départ des opérations^ et qu'on en fait un très-grand usage dans rétablissement des comptes courants.

Dans la pratique française ^ on abrège les calculs employés plus haut^ lesquels seraient encore fort longs : l** en suppo- Bant que Tannée n*a que 360 jours^ ce qui arrondit le rap« port du premier terme de la proportion, c'est-à-dire le diviseur fixe ; 2" en retranchant les deux derniers chifires à droite du mmïfre qui ne donnent au quotient* que des fractions de centime et les deux derniers chifires à droite du diviseur.

Ceci posé, on sait que le diviseur fixe pour 3 p, 100 est 12,000; pour 4 p. 100, 9,000; pour 4 1/2 p. 100, 8,000 ; pour 5p. 100, 7,200; pour 6 p. 100, 6,000; pour? 1/2 p. 100, 4,800; pour 8 p. 100, 4,500; pour 9 p. 100, 4,000, etc.

Si Ton applique ces deux moyens de simplification à l'exemple ci-dessus, on aura pour diviseur du produit de la multiplication de la somme par le nombre des jours le rapport '^^^"^ = 9,000. Alors l'opération se posera ainsi qu'il suit : ^y^ ou, en retranchant les deux derniers chiflfres à droite des deux termes,

On remarquera que le quotient ainsi obtenu est un peu plus élevé que celui qui résulterait d'un calcul rigoureux. Cela tient à ce qu'on a compté 360 jours dans l'année au lieu de 365 ou 366. Le jour d'intérêt, au lieu de représenter 1/365 ou 1/366 de l'intérêt annuel, est compté pour 1/360. — Souvent, pour compenser cette différence, on porte tous les mois à 30 jours, douzième de 360.

Dans l'exemple ci-dessus, le dernier chiffi*e retranché à droite du produit de la somme par le nombre des jours

* A Kétranger, notamment en Angleterre, on calcule les intérêts sur 365 jours, et Ton prend pour type le taux de 5 •/•> <ïui a pour diviseur fixe 7,300 ou 73. On se sert aussi plus qtie chez nous des barèmes ou comptes faits.

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66,150 était un 5. Afin de réduire l'erreur volontaire que Ton commet par le retranchement des chifires qui exprima des fractions de centime, on aurait pu ajouter une unité au dernier chiffre conservé et prendre pour dividende 662 : on aurait dû ajouter cette unité, si le chiffre retranché avait été supérieur à 5 : on ne Fajoute jamais, s'il est inférieur à ce nombre.

Mais, comme les diviseurs que donnent les divers taux d'intérêt ne sont pas tous des nombres aussi commodes dans le calcul que 9,000, on a pris le parti de calculer toujours Tintérêt par 6,000, diviseur fixe pour le taux de 6 p. 100, et de défalquer du produit 1/6, s'il s'agit de 5 p. 100; 1/3, s'il sV gitde4p. 100; 1/12, s'il s'agit de 5 1/2, et ainsi de suite. Enfin, au lieu de diviser le nombre par 6,000, on reteanche deux chiffres à droite du dividende, et Ton divise par 60.

Cette manière de calculer Tintérêt d'une somme doÛDée pendant un certain nombre de jours est connue sous le nom de méthode des diviseurs fixes, parce que, pour toutes te sommes prêtées à un taux d'intérêt, le diviseur est le même, et il suffît de le placer dans sa mémoire une fois poyr toutes, pour être dispensé de le rechercher ensuite. Cette méthode a été longtemps seule employée en banque, et c'est par eUe que l'on obtient la démonstration de toutes les autres méthodes relatives aux calculs dés intérêts. '

2^ Méthode des multiplicateurs. — La méthode des diviseurs fixes et la proportion fondamentale sur laquelle elle estéta* blie ont conduit à la découverte de deux autres méthodes : celle par les multiplicateurs et celle par les parties aliquotes. La première, qui a servi à la formation de la plupe^ des livres d'intérêt ou comptes faits, consiste à multiplier le timbre, ou produit de la multiplication de la somme parle chiffie des jours où l'intérêt court, par une fraction dont le numérateur est le chiffre qui exprime le taux de l'intérêt et ï$ dénominateur 36,000. Ainsi, avec les données de l'exemple employé ci-dessus, l'intérêt de 2,450 francs pendant ^ joffs est égala:

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LfVKE VI, CHAPITRE L 521

A proprement parler, Topératian est la même que par les divisenrs fizes: il n'y a de différence que dans Tordre des calculs et la disposition des chiffi*es.

Les fractions ordinaires fixes ont été réduites, par un grand nombre de praticiens, en décimales pour la rapidité des cal* culs, et elles ont fourni le moyen d'obtenir des résultats prompts, mais surchargés de chiffres, et, par conséquent, de chances d'erreurs.

On connaît, par ce qui précède, l'origine du rapport n^, et Ton sait que la multiplication d'un nombre par une fraction équivaut à sa multiplication par le rapport qu'exprime cette fraction. H est donc inutile d'insister sur cette méthode, dite âesmulUplieateurSy qui, d'ailleurs, est peu employée.

99 Méthode des parties diquotes. — Les praticiens préfèrent avec raison la méthode des parties aliquotes, fondée sur le raisonnement direct, qui les dispense de chereher le nombre, c'est-à dire de multiplier la somme par le nombre des jours. Os disent donc:

« Quel nombre de jours est nécessaire pour quel franc d'intérêt, placé à un taux donné, produise un centime d'intérêt ? Précisément le nombre de jours indiqué par la division de 360 par le chiffre qui exprime le taux de l'intérêt. Si, par êsemple, l'intérêt de 1 franc pendant un an, soient 360 jours, est de 4 centimes, il est dair qu'il faudra pour produire le quart de 4 centimes un nombre de jours égal au quart de 360, soient 90. Si l'intérêt courait à 5, il faudrait prendre le cin* qaième de 260, soient 72 jours, et s'il courait à 6^ il faudrait prendre le sixième, soient 60 jours.

« Qu'est-ce que le centième d'une somme quelconque? C'est tm centime pour chacun des francs qui la composent.

« Or, le centième peut être obtenu facilement, puisque pour le trouver il suffit de placer une virgule après le second chiffre à droite de la somme proposée. »

Soit demandé l'intérêt de 2,450 francs placés à 4 p. 100 pendant 15 jours.

Le centième de 2,450 est 24,50. Ce centième étant l'intérêt de 2,450 pendant 90 jours, l'intérêt cherché est à ce centième

comme 15 jours esta 90 jours; et comme 15 est le sixième de

90, il suffit de diviser 24,50 par 6 pour avoir rintérêtcherché. On écrit donc :

• ^,450 (somme proposée).

24,50.(1 p. Voi intérêt de 90 jours).

4,08 (6» de 1 p. •/«» intérêt cherché).

Soit demandé l'intérêt de la même somme m même taux pendant 27 jours :

24,50, intérêt de 90 jours.

8,16, intérêt de 30 jours.

0,81, intérêt de 3 jours, étant déduit de 8.16, intérêt de 30 jours.

On a 7,35, intérêt cherché.

Les praticiens abrègent encore en faisant rouler tous leurs calculs sur le même nombre, dans lequel ils peuvent facilement trouver les parties aliquotes qui se rapprochent le plus de l'intérêt cherché. Ils ont pris pour type l'intérêt de 6 p. 100, avec lequel le centième correspond à 60 jours d'intérêt. Ce chiffre présente plusieurs avantages. D'un côté, le nombre de jours pour lesquels il faut calculer l'intérêt en banque est inférieur à 90, limite des échéances admises par la Banque de France. En outre, le nombre 60 est riche en sous-multiples décimaux et duodécimaux: il se divise avec la même fecilité par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 12, par 15, par 20, pA 30, de manière à faciliter d'une manière admirable la décomposition des parties aliquotes. Une fois l'intérêt à 6 p. 100 trouvé, on obtient l'intérêt à 5 en retranchant un sixième de la somme obtenue, l'intérêt à 4 ressort par le retranchement d'un tiers, l'intérêt à 3 par le retranchement de moitié ; les 1/2 p, 100 s'évaluent en I2«', le 1/3 p. 100 en 18*% et ainsi de suite.

On a remarqué seulement que pour employer avec firuit cette méthode, il était nécessaire de savoir couramment la table de multiplication, non pas seulement jusqu'à 16, mais jusqu'à 18.

Soit, par exemple, à chercher l'intérêt de 3,554fr. pendant cinq jours à 4 p. 100, le praticien dira : « L'intérêt de 3,554 fr. à 6 p. lOOpour 60 jours égale 1 p. 100, soit 35,54: cinq est le 12* de 60; donc en divisant 35,54 par 12, j'ai l'intérêt pen-

IJVRE VI, CHAPITRE I. 523

dant cinq jours à 6 p. 100, et si de cet intérêt je retranche un tiers, j'ai l'intérêt cherché. » L'opération s'établit ensuite de la manière suivante :

Les employés de banque, habitués à faire pendant toute la journée et durant des années les mêmes calculs sur les mêmes chiffres, lesqtifels sont toujours fort simples, acquièrent une routine excellente qui prévient les erreurs, et réduit tous les comptes d'intérêt à un acte en quelque sorte mécanique et qui s'accomplit avec une extrême rapidité.

L'avantage de la méthode des parties aliquotes consiste à faire rouler tous les calculs sur de petits nombres, par lesquels les opérations sont faites et toujours contrôlées direcment par l'intelligenQe. Par ce moyen, on écarte les procédés mécaniques des mathématiques, et l'on y en substitue d'autres dans l'emploi desquels l'esprit, toujours en éveil, conserve une plus grande part.

Cette méthode est préférable aussi pour le calcul mental, parce qu'elle réduit les calculs à des termes simples, toujours identiques, qui ne surchargent pas la mémoire. Or le calcul mental est important surtout pour le chef de maison qui, dans les offres de négociations, dans les conditions, tarifs, changes de toute sorte qu'il peut être appelé à discuter verbalement, veut se rendre compte en un instant et sans le secours de la plume des propositions qui lui sont faites et des combinaisons qui peuvent en résulter. La facilité à calculer mentalement est une sorte de sixième sens qu'on pourrait appeler le sens arithmétique : le banquier en a besoin tous les jours et doit l'acquérir par le travail, lorsqu'il n'en est pas naturellement doué.

§ 3. — Règle (V escompte.

Escompte. — En France, on ne calcule pas l'escompte autrement que l'intérêt. Ainsi l'escompte d'un effet sur place

de 2,450 fr. à 27 jours d'échéance et à 4 p. 100, se calcule exactement de la même manière que Tintérêt de la même somme pour le même temps. En d'autres termes, on est dans l'usage de compter l'intérêt en dehors, c'est-à-dire de bonifier sur-le-champ à l'escompteur l'intérêt tel qu'il serait dû au bout du terme, ce qui fait courir à son profit l'intérêt de l'intérêt. Tel est l'usage, telles les conditions sur lesquelles sont conclus et reposent actuellement tous les contrats.

Donc, pour trouver l'escompte à 4 p. 100 d'un effet sur place de 2,450 fr, à 27 jours d'échéance, on fera la règle d'intérêt:

C — ou — =7 fr. 35.

que l'on retranchera de la somme totale, soit :

que l'escompteur donnera contre remise de l'effet.

Lorsqu'il y a plusieurs effets présentés à l'escompte, leur réunion forme ce qu'on appelle un bordereau, parce que Tétat des effets et leur échéance sont établis par le présentateur sur une feuille volante, en résumé, de manière à faire un petit compte ou bordereau, en forme de facture. Par exemple, la présentation au l*"* novembre de cinq effets sur place à échéances diverses pourra être formulée ainsi qu'il suit :

500 an 15 novembre 15 Jours.

750 au 25 décembre 55 »

1,800 au 20 janvier 81 >

1,025 au 12 janvier ^ 73 >

340 au 15 décembre 45 »

Total. . 4,415

£n général, le présentateur ne fait pas lui-même le calcul d'escompte, mais il fournit son bordereau, comme ci-dessns, sur une formule imprimée et réglée que le banquier lui remet au commencement des opérations. Ce borderau, qui accompagne les effets, en indique le montant et Téchéiuice. Chez le banquier, on inscrit dans une colonne à ce destinée le compte d'intérêt ou d'escompte qui, déduit de la somme des effets^

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