NOMBRE DES BATTEMENTS

Page 207.

On a vu, dans le huitième chapitre, qu’un système simple de battements ne peut prendre naissance que par la coïncidence de deux sons simples. Supposons que la vitesse produite par l’un d’eux en un point donné de l’espace, par exemple, sur le tympan soit A sin [2ir mt] et celle produite par l’autre B sin[2mit c] ; la vitesse due à l’action simultanée des deux sons au même point sera :

V = A «in (!nm/) B sin [îwnt 4- c].

En substituant dans le second membre la valeur

on obtient, d’après les formules connues,

V j A B cos [Irc'm — n)l — c] j sin

— B «in [î<m — n)t — c] cos[2iriHf)

et, en posant

C cos e = A -f- B cos [2ir(m — n)t — c] )

C sin e = B sin (2tc(/« — n)i — c] |

on peut mettre l’expression de V sous la forme

V = C sin [llzml — t] (I b)

où, parla combinaison des équations (2),

6UPPLÉMENT XII.

C1 = A’ + 2AB cos [2it(m — n)t — cj ■+ li* B «in [?7c(»ï — n)t — r]

tang £ =

A + B cüs [2ic(m — ni — c]

Maintenant, si la différence w — n est petite, C et e sont des variables périodiques à longue période; Cs varie entre les valeurs (A -f- B)* et (A — B)s. L’arc e, si A est > B, ce qu’il faut toujours supposer dans ce qui va suivre, varie entre deux valeurs dont la différence est moindre que la demi-circonférence.

Dans ces conditions-là, nous pouvons considérer l’expression (1 b) comme celle d’une vibration pendulaire d'intensité C et de phase s variables. Le nombre des maxima d’inlensilé par seconde est égal, d’après l’équation (2a), à m — n, c’est-à-dire à la différence des nombres de vibrations des sons primaires, ce qui démontre d’une manière générale la loi posée, p. 207, pour les sons d’intensité quelconque et de hauteurs différentes.

L’équation (t b) fait reconnaître encore une variation de la hauteur qui se produit pendant les battements, et que l’oreille peut apprécier en réalité. Il est évident, en effet, que pendant le temps où la phase e croit, la valeur placée sous le signe sinus croit plus lentement que celle correspondant au nombre de vibrations m ; au contraire, quand t diminue, la valeur en question croît plus vite que»;/ et correspond à un son un peu plus aigu. Désignons par dt un temps infiniment petit par rapport à la période des battements (m — n par seconde), mais qui n’en peut pas moins comprendre encore plusieurs périodes du nombre de vibrations m, nous pouvons poser le nombre de vibrations g. du mouvement représenté par (t b) pendant le temps dt

D’après l’équation (-2 b) :

<h A eng (2rc(m — n]l — c] -f- B

i/t 71 m " Ae-MAB cos [ïirim — n)t — cj + B*

d’où

I ilt ni A* + m-t- » ;ABcos \1-\m — «V — cj -f- «B*

** ilit ilt À*-t- 2AÜ cos (2-lni — ng — c] + t}*-* ’

La plus grande et la plus pelite valeur de g. correspondent à cos [2ir (»i — n)t — c] = dt 4 et, par conséquent, au temps où l’intensité C* atteint aussi scs valeurs limites. Les limites de p. sont :

1° Au maximum de l’intensité

wA «B A + B

(m — wl B A -f- B

Ici la hauteur est intermédiaire entre celles des deux sons primaires, et se rapproche d’autant plus du son le plus fort, que l’intensité relative de celui-ci est plus considérable.

i>26 THÉORIE PHYSIOLOGIQUE DE LA MUSIQUE.

2° Au minimum de l’intensité

ni A — riB A — B

La hauteur est ici supérieure à celle du son le plus fort si celui-ci est plus haut que l'autre, et moindre si le son le plus fort est aussi le plus grave.

Si l’on écoute avec attention les battements lents de deux tuyaux d’orgue bouchés ou de deux diapasons, on entend en réalité une variation de ce genre dans la hauteur. Comme il est difficile de comparer avec certitude la hauteur d'un son très-fort et celle d’un son très-faible, il faut affaiblir tantôt le son le plus aigu, tantôt le son le plus grave. On distingue alors nettement un caractère différent dans les battements, comme une accentuation différente des maxima et des minima, qui tient à ce que c’est tantôt la phase supérieure, tantôt la phase inférieure qui présente le plus d’intensité.

SUPPLÉMENT XIII

CALCUL DE L’iNTKNSITÉ DES BATTEMENTS DE DIVEII8 INTERVALLES.

Page 241.

Nous nous servirons encore ici des formules relatives à l’intensité de la vibration par influence et développées sous les n"”(4 a), (4 b), (5) et (5 a) dans le supplément VIII. Soient n le nombre de vibrations en 2it secondes pour le son de plus forte résonnance pour une des fibres de Corti, n, et n, les nombres correspondants des deux sons primaires, et B, et B, les maxima des vitesses de vibrations qu’ils produisent dans les organes de Corti accordés à la môme hauteur; les vitesses B, et B„ que tous deux déterminent dans l’appendice dont le nombre de vibrations est n, sont d’après l’équation (3 a), supplément VIII :

B] = B, Mn e,

Bs — B3 sin e j OÙ

r. tang e = ! et ît tang e, = .

n j n fi* n

Ici § est une quantité que nous pouvons considérer comme indépendante de n. D’après cela, l’intensité des vibrations de l’organe de n vibrations, si les deux sons n, et réagissent en môme temps, oscille entre les valeurs :

SUPPLÉMENT XIU. 527

La différence entre les deux valeurs que prend l’intensité des battements est égale à

4B, l't = 4B, Bs »in t| lia (7)

Donc, pour une différence de ton, l’intensité des battements dépend du produit B, Br Pour le son partiel d’un son de violon nous pouvons poser B* = d’après le supplément V, et, par conséquent, si le m,"c et le m,”* son partiels de deux sons de violon donnent des battements, nous posons l’intensité de leurs battements pour une même différence d’intervalle, égale à

ni ! rnt

Cette expression a servi à calculer la dernière colonne du tableau, p. 242.

Pour le calcul de la dureté de divers intervalles, p. 247, nous emploierons pour abréger les notations suivantes :

On a alors :

n, = N (I +i), n, = N II •+• 8).

u tang t,

— jr tang s, = -

La vibration par influence ne peut se produire avec force que si v et S sont très-petits, et par suite, on peut poser par approximation

tang £4=2 1 tang s. = , .. »

Ces valeurs substituées dans l’équation (7) donnent :

4 Bj By I 8 . B a

Vp* -h — 5)* Vp * + -f* $)*

Si, maintenant, nous considérons comme invariable la hauteur à laquelle est accordé l’organe de Corli qui vibre par influence, la valeur de 4 B, B, atteint son maximum siv = 0, et si, par suite, n = N =

; (n, n,) ; ce maximum lui-même que nous désignerons par s est

égal fi

Dans le calcul du degré de dureté due à l’émission simultanée de deux sons séparés l’un de l’autre par un intervalle de 25, je me suis

contenté de considérer le maximum (7 b) du battement, tel qu’il doit se produire dans l’organe de Corti réunissant les conditions les plus favorables. Des battements plus faibles pourront encore, il est vrai, se produire dans les arcs fibreux voisins, mais avec une intensité rapidement décroissante. Aussi pourrait-on considérer comme plus exact d’intégrer par rapport à v la valeur de 4B, B, dans l’équation (7 a), de manière à avoir la somme des battements dans tous les organes de Corti. Mais il faudrait alors avoir une idée au moins approximative de la densité des organes de Corti pour différentes valeurs de v, c’est-à-dire pour différentes régions de la gamme, et c’est ce qui nous manque. En tout cas, dans la sensation, il est plus important de considérer le plus haut degré de dureté, que la répartition d’une moindre dureté sur un grand nombre d’organes sentants. C’est ce qui m’a décidé à ne prendre en considération que le maximum (7 b) des battements. — Il faut enfin considérer que des battements très-lents ne donnent point de dureté; que cette dernière, à intensité égale, mais pour un nombre croissant de battements, atteint un maximum, puis diminue. Pour exprimer cette circonstance, il faut multiplier la valeur de s par un facteur qui s’annule quand le nombre des battements est très-petit, atteigne son maximum pour environ trente battements, diminue, et s’annule de nouveau pour un nombre infiniment grand de battements. Posons donc la dureté >• provenant du son partiel

r* ~ (6‘4-a-SV V

I.e facteur des atteint son maximum I, si a3 = 0, s’annule si 3, qui désigne la demi-distance des deux sons, devient nul ou infini. Comme il est indifférent que S soit positif ou négatif, l’expression ne devait contenir que les puissances paires de 3. C’est l’expression la plus simple qui remplisse les conditions données, mais elle est naturellement arbitraire jusqu’à un certain point.

Pour 0, il faut prendre la demi-longueur de l’intervalle qui donne trente battements par seconde au-dessus du son fondamental.

Comme nous avons pris pour son fondamental u/, avec 264 vibrations, 0 a été pris égal à On a donc définitivement :

lP* -+- -+- a’S‘) '

C’est au moyen de celle formule qu’on a calculé, dans les diagrammes (fiy. 52 A et B), les duretés des intervalles, produits par les harmoniques isolés, et qui se superposent dans le dessin. — Bien que la rigueur de cette théorie laisse encore beaucoup à désirer, elle nous suffit pour faire voir que notre hypothèse peut en réalité expliquer la répartition des dissonnances et des consonnanccs, telle que la fournit la nature.

SUPPLÉMENT XIV

BATTEMENTS DES SONS RÉSULTANTS

Page 555.

Soient a, b, c, d , e, f, g, h, des nombres entiers. Soient «net bn -f 8, 8 étant supposé très-petit par rapporté n, et a et b étant les deux termes du rapport j réduit à sa plus simple expression, les nombres de vibrations

de deux sons émis simultanément. Les nombres de vibrations de deux harmoniques de ces sons, devront être :

acn et bdn -f- db.

Ils produiront entre eux des battements au nombre de dS si :

ac = bd,

« il

Comme le rapport | est supposé réduit à sa plus simple expression, les plus petites valeurs que puissent prendre d et csont :

d sss a et c = b;

les autres sont de la forme

d = ha c = hb •

Maintenant, cet d représentent les numéros d’ordre des sons partiels qui battent entre eux; les sons partiels les plus graves remplissant cette condition seront par conséquent le biim‘ son de an et le a,è“" de (én -f- 8). Le nombre des battements qu'ils donnent est «8.

De môme le 2 biim° son partiel du premier son et le 2 du second donnent 2 ai battements, et ainsi de suite.

Les deux harmoniques ,

acn et bdn 4- àl

donnent le son résultant (premier différentiel)

=fc [ [bd — ac) n 4-

où le signe doit ôtre choisi de manière que la valeur de toute l’expression soit positive.

Deux autres harmoniques (fan) et (gbn -f- ÿ$) donnent le son résultant ± î(ÿi — ef)n + gS].

Résonnant ensemble, ils donnent {g qp d)S battements si

bd — ac = zh \»jb — nf]

Comme précédemment, la plus petite valeur de (jq:rf)c st a, les autres sont de la forme ha , et par conséquent le nombre minimum de battements est aS.

Pour trouver les plus graves des harmoniques dont la présence peut donner des battements avec les premiers différentiels, prenons pour c et d le signe inférieur ; nous obtenons alors

ou y — — - — et a =« — - —

ou f = —j— et e = — >

selon que a et b sont pairs ou impairs. Si h est le plus grand des deux nombres, est le plus grand nombre de sons partiels que chacun

des deux sons doit avoir pour donner les battements de l'intervalle, tandis que, sans la considération des sons résultants, il en faudrait à peu près le double, c’est-à-dire b.

Si deux sons simples résonnent simultanément, les battements sont produits parles sons résultants d’ordre supérieur. L’expression générale d’un différentiel d’ordre supérieur de deux sons de n et de m vibrations, est ± [«n — bm], et ce différentiel est d’ordre (a -\-b — P*”'). Supposons que l’un des sons résultants de (e-f- d — t)''”e ordre des sons an et (i/i-j-S) soit :

± [bd — ca + di]

et qu’un autre de (/+ g — 1)'*““ ordre soit :

±[gb — fa + yî],

ils font entre eux ( g±d) 3 battements, si

[bd — ac = ± (Ay — a/i] OU

a gcprf b /=pc'

Le plus petit nombre de battements possibles est donc encore aS, les plus petites valeurs de c, d, f, h se trouvent comme dans le cas précédent, en sorte que les numéros d’ordre des sons résultants n’ont pas

besoin de dépasser — : si a et b sont impairs, ou - ~~ -» si l’un des

deux est pair.

J e vais ajouter encore ici quelque chose à ce qui a été dit dans le sep-

SUPPLÉMENT XIV. Ü3I

tième chapitre et dans le supplément XII, sur le mode de formation des sons résultants.

D’abord, les sons résultants doivent prendre naissance dans tous les cas, où l’écartement des molécules vibrantes de leur position d’équilibre est assez grand, pour que la force qui tend à les y ramener ne soit plus simplement proportionnelle à cet écartement. (Voir la théorie mathématique pour un point matériel, supplément VIII.) De même pour les vibrations de l’air d’une grandeur finie; les traits principaux delà théorie sont donnés dans mon mémoire Sur les vibrations de l'air dans les tuyaux ouverts. Mais je veux appeler ici l’attention sur un troisième cas où des sons résultants peuvent être produits par des variations infiniment petites, ce qui a déjà été dit, p. 197. C’est le cas des sirènes et de l’harmonium. Nous avons ici des ouvertures dont la surface varie périodiquement, et de l’air à une plus grande pression d’un côté que de l’autre. Comme il ne s’agit jamais ici que de très-petites différences de pression, nous pouvons admettre que la masse q de l’air qui s’échappe soit proportionnelle à la grandeur de l’ouverture w et à la différence de pression p , en sorte que

q = cm fi

où c est une constante. Posons maintenant w égal à la plus simple fonction périodique qui exprime qu’un orifice s’ouvre et se ferme alterna* tivement, c’est-à-dire:

tû = A (I — sin 2rcnt]

et considérons/? comme constant, en admettant que w soit assez petit cl l’affluence de l’air assez grande, pour que la déperdition périodique par l’ouverture ne change pas essentiellement la pression, q sera de la forme

q = B [1 — sin 2itn0 B = cAp,

La vitesse du mouvement vibratoire en un point quelconque de l’atmosphère devra être exprimée sous une forme analogue, en sorte qu’il ne se produira qu’un son de n vibrations. Mais s’il se trouve un second orifice plus grand d’ouverture variable par lequel s’opère une déperdition suffisante dans l’air, de telle sorte que la pression p elle-même ne soit plus constanle, mais varie périodiquement, dans le même rapport que l’écoulement de l’air par l’autre orifice, et soit, par conséquent, de la forme :

p = P (I — sin 27 :mt),

q deviendra

q = cAP [l — sin2ioif] [I — sin 2 nm/]

= cAP [1 — sin lnnt — sin 7nmt — i cos 27r(m-i-n}/ -b - cos 2ir(m — n)/] ;

il se produira donc, indépendamment des sons primaires n et m, en-

core les sons m-j-n et m — n, c'est-à-dire les deux sons résultants du premier ordre.

En réalité, les équations seront toujours beaucoup plus compliquées que celles que j’ai posées ici pour représenter le phénomène sous sa forme la plus simple. Le son n influe sur la pression p aussi bien quem, ainsi que les sons résultants eux-uiômes; enfin, le plus souvent, la grandeur de l'orifice ne pourra être exprimée par une fonction périodique aussi simple que celle que nous avons adoptée pour w. Il en résulte qu’indépendamment des sons, m, n, m -j- n, m — n, il se produit aussi leurs harmoniques et les sons résultants des harmoniques, ce qui est d’accord avec l’expérience. La théorie complète d’un cas semblable est extraordinairement compliquée; aussi fallait-il se borner à expliquer le cas simple qui a été examiné, pour expliquer au moins l’essence du phénomène.

Je vais rapporter encore ici une autre expérience dont l’exptication est analogue. La caisse inférieure de ma sirène double vibre énergiquement par influence, lorsqu’on tient devant son ouverture inférieure le diapason lat, tous les trous étant fermés ; mais elle cesse de vibrer quand les trous d’une série sontouverts. Si l’on fait tourner le disque delà sirène de manière à ouvrir et à fermer alternativement les trous, on obtient une résonnance du diapason d’intensité périodiquement variable. Si n est le nombre de vibrations du diapason, m le nombre de fois qu’un seul trou de la caisse est ouvert, l’intensité de la résonnance sera une fonction périodique du temps, et, dans le cas le plus simple, prendra la forme

1 — &in îirm/.

Le mouvement vibratoire de l'air prendra, par conséquent, la forme

(I — ftin 2 izmt) sin vit = siu ’2i:nt -f- ^ cos ‘irc (//* + n)t

— - COS -7C (n — Ml}/,

et on entend, par conséquent, indépendamment du son n, les sons m n et n — m. Si le disque tourne lentement, m est très-petit et les sons dont il s’agit sont très-voisins l’un de l’autre, de manière à battre ensemble. Pour une rotation rapide au contraire, l'oreille les distingue.

SUPPLÉMENT XV