SIS
mum de la résonnance, et t, > ^ si l’on approche d'un maximum. Dans les applications, le tuyau est toujours assez voisin d’un maximum de résonnance, et par conséquent, rs <; î si le tuyau est accordé trop bas, et t, >> j s’il est accordé trop haut.
Si, en faussant le tuyau, on rend A* = ^ (*,, on modifie de -t la phase
de la vibration. On peut donc toujours au moins estimer la modification opérée dans la phase, d’après la variation de force de la résonnance.
On trouve une loi semblable pour les phases des diapasons vibrants, comparées à celle du courant excitateur. Pour simplifier, je vais me borner ici à considérer un seul point vibrant, sans cesse ramené à sa position d’équilibre par une force de l’élasticité. Soit x la distance du point à sa position (PÉquilibre, soit cette force d’élasticité. Supposons déplus une force périodique comme celle produite dans nos expériences par le courant électrique, dont la valeur soit A sinnf, et une force tendant à étendre les vibrations, dont la valeur, proportionnelle à la
dx
vitesse est égale à — A, — • Une force semblable se produit dans nos
expériences, par le frottement et la résistauce de l'air, mais surtout par l’action des courants induits des diapasons courants qui contribuent principalementà éteindre les vibrations. Si m désigne la masse du point vibrant, on a
m = — a'x — 6* ^ -+- A sin ni • (4)
dfl lit ' '
L’intégrale complète de cette équation est
A sin i 6*ii
OÙ
sin (ni — e)+ «m sin | L — |/l A«-(- c | (la)
tang e ^
lAn
u 1 — mn*
Le terme multiplié par B dans l’équation (4 a) n’exerce d’influence
qu’au début du mouvement; à cause du facteur e il décroît de plus en plus quand le temps croit de manière à disparaître définitivement. C’est de l’existence de ce terme au début du mouvement que proviennent les baltemeels dont il est question dans le supplément VU, lorsque la quantité n diffère peu de
^y/«*m-lA*.
SUPPLÉMENT VIII
Le terme de l’équation (4 a) multiplié par A correspond au contraire à la vibration durable du point matériel. La puissance vive i* de ce mouvement est égale au maximum de ^ m (^)*> c’est-à-dire
, ih,V» sin1 e
Si maintenant on fait varier la hauteur du son excitateur, c’est-à-dire n, <* atteint son maximum que nous désignerons par 1*, quand -j
d’où
sin* i l ou i»ng t = ± » j
i*= JZîA*.
Nous pouvons, par conséquent, écrire
P = l’ sin* i. ^ (Sa)
iJ\La môme quantité « détermine donc dans l’équation (4 a) la différence de phase entre les élongations périodiquement variables jrdu point matériel, et les valeurs variables de la force, comme dans l’équation (5 a) l’intensité de la résonnance.
La condition que tang e =±oo sera remplie, si
û* b mn*.
Désignons donc par N la valeur de n qui correspond au maximum de la vibration par influence, on a
Ce son de plus forte résonnance est égal à celui que rendrait le point matériel considéré, s’il entrait en vibration sous la seule influence de la force d’élasticité, sans frottement ni ébranlement étrangers. Aussi diffère-t-il un peu du son propre du corps, celui qu’il rend sous l’influence du frottement et de la résistance de l’air, dont la hauteur v est donnée dans le second terme de l’équation (4 a) :
Si é = 0, c’est-à-dire si le frottement et la résistance de l'air s'évanouissent, on a
v*= — = Nf* m
Maintenant dans toutes les circonstances de la pratique où nous ob-
servons le phénomène de la vibration par influence, b est infiniment petit, en sorte que la différence entre le son propre du corps et le son de plus forte résonnance peut être négligée comme elle l’a été dans le texte de l’ouvrage. L’équation (4 b) devient par la substitution de N
SUPPLÉMENT IX
RELATION ENTRE L’iNTENSITÊ DE LA VIBRATION PAR INFLUENCE ET LE TEMPS QUE LE SON MET A s’ÉTEINDRE.
Page 179.
Nous pouvons cdhserver les notations adoptées dans le supplément VI 11 pour le mouvement d’une masse ramenée à sa position d’équilibre par une force d’élasticité. Si une masse de ce genre est ébranlée par une force périodique extérieure, son mouvement est donné par l’équation (b a). En supposant nulle l’intensité A de cette force, l’équation se réduit à
x = De Zm si» [vf 4- c)
OÙ
rn V 4
La valeur de a; décroît de plus en plus à cause du facteur qui contient t en exposant. Mesurons t, comme dans le texte, d'après le nombre des vibrations du son de plus forte résonnance et posons à cet effet
ïtc
tang c •
Si nous désignons par L la force vive des vibrations au temps t = 0 et par l, celle au temps 1, on a
L = BV / = bv? ~ i?T
L — îjiT
T-ilogOM. (t) (6 0)
Dans le tableau, p. 179, on a supposé l-j — y et calculé d’après cela
d’où
et
SUPPLÉMENT IX
la valeur de T après avoir préalablement déterminé la valeur de [i au moyen de l’équation (6). Mais, dans cette dernière, on a posé sin* £ = i , ce qui correspond à la condition que l’intensité du son rendu
par le corps vibrant par influence atteigne le ^ de son maximum, et pour le rapport ^ on a mis les rapports numériques correspondant aux intervalles donnés dans la première colonne du tableau. C’est ainsi qu’on a calculé la valeur de p.
Nous pouvons écrire l’équation (4 b) du supplément VIII :
lang e =
mN
\» ti)
*It s)
Dans cette équation, N qui donne le son de plus forte résonnance, é’qui détermine l’intensité du frottement et la masse m peuvent varier pour les différentes fibres de Corti. Il faut donc, pour appliquer à l’oreille les résultats précédents, considérer Ifl et m comme des fonctions de N. Comme le degré de dureté des petits intervalles dissonnants est sensiblement le même dans toute la gamme pour les mêmes notes, on
If
peut admettre que, pour les valeurs égales de -, la quantité tanga reste à peu près constante, et, par suite, que la quantité -^*: = ?cst assez indépendante de la valeur de N. On ne peut pas arriver à quelque chose de plus précis sur ce sujet. Aussi, dans les calculs qui suivent, a-t-on considéré p comme indépendant de N.
SUPPLÉMENT X
NOCYEI.I.E THÉORIE M ATHÉMATIQCE DES SONS RÊSL'I.TANTS.
Etirait du mémoire original.)
Page 101.
Le principe, admis en acoustique, de la superposition pure et simple des petits mouvements vibratoires, n'est rigoureusement vrai que dans le cas où les vibrations pendulaires composantes sont assez petites pour que les forces motrices produites par les déplacements soient sensiblement proportionnelles à ces déplacements eux-mémes. Si, au contraire, les amplitudes des vibrations sont assez grandes, pour que le carré des déplacements puisse exercer une influence notable sur lu valeur des forces, il te développe un nouveau système de mouvements vibratoires simples dont la durée correspond à celle des sons résultants que l'on connaît.
Le cas le plus simple est celui où nous n'avons à considérer que les mouvements d'un seul point matériel, retenu par une force d’élasticité dans une position d’équilibre déterminée, et ébranlé par les ondulations du milieu élastique ambiant ; c’est assez semblable à ce qui se passe dans l’oreille. Le point matériel correspond au manche du marteau ; la membrane du tympan, à un ressort élastique qui tend à le ramener dans une position déterminée.
Soient m la masse du point vibrant et x sa distance de la position d’équilibre au temps t. Supposons que la force k qui tend à le ramener dans sa position d’équilibre dépende non-seulement de la première, mais aussi de la seconde puissance de l’élongation, de telle sorte que :
k = ax -f-
En outre, deux systèmes d’ondes sonores peuvent rencontrer le point matériel, et exercent sur lui des pressions périodiquement variables / sin (pi) et ÿ sin ( qt + c). L’équation du mouvement est donc
— m Un ~ ax t,z ' ■** f *in + 3 9in + c*- 0)
On peut donc intégrer par séries cette équation en posant
x = -f- e’x, + e’x, -J- etc.
r=tf, i 9 — i9\ j
et en égalant séparément à zéro les termes multipliés par les mêmes puissances de e. Donc
rfï r«
oxi + m -Jjj- = - a sin (pt) — 5, sin Iqt + c)
rfV,
"X* + m 7JT ~~ ix'
a* s + m = - 2txix»
etc.
(îo) |3i) (3 c)
L’intégrale complète de l’équation (3 a) est :
x, = A sin ( [ y/ [L l'/j u sj„ j v sjn c)
où A et h sont les deux constantes d’intégration, et u et o ont les valeurs suivantes :
« — - — et v = ma' — a •
rnfi* — a
Le premier terme xt de la série (2) correspond donc à trois sons dont le premier a un nombre de vibrations représenté par ^ i/£, et cor-
SUPPLÉMENT X
respond au son propre du point vibrant. Ce son existe, il est vrai, au début du mouvement, mais il s'éteint rapidement. Nous pouvons donc le supposer nul dans le cas qui nous occupe et avoir alors :
i, = u >in pt -+- v sin {qt + c).
Ce premier terme nous fait voir que le point vibrant rend d’abord les deux sons excitateurs. Ce terme serait le seul de la série, si la force ne dépendait pas du carré de la distance, si b était nul, ou x assez petit pour que bx 2 fût négligeable devant ax. Dans ce terme se trouve encore la superposition pure et simple des vibrations. Les amplitudes n et v restent les mêmes, que le second son existe ou non.
En substituant dans (3) la valeur de x, tirée de (A) on a :
= — b [u* sin* (pt) -f v* sin* (qt H- cl
-4- 2iiv sin (pt) cos (qt 4- c)]
= — 6 j ~ (u* -f- v*) — ^ u* cos (2pt)
— i v* cos (2y/ + 2c) -4- t/v cos [(/) — q)t — c]
— liV cos t(/> + iv + 0 } .
L’intégrale de cette équation est la suivante, en négligeant encore le son propre du point vibrant :
Jr,+ ,U, + VV
bn *
bu\
cos (îpt) — -
Av»
mtp — qi* — a
cos [(p — q)t — c) +
bl IV
Z(V»l<y» — fl)
cos Kqt 4- c)
cosKp + î)/-t-c).
Ce second terme fournit donc les sons dont les nombres caractéristiques sont Les deux premiers sont les premiers har-
moniques des sons primaires, le troisième est le son résultant différentiel du premier ordre, et le quatrième le son résultant additionnel du premier ordre. L’amplitude des deux sons résultants contient en facteur le produit Ki? des amplitudes des sons primaires. Si ces deux dernières sont très-petites, l’amplitude des sons résultants est une quantité du second ordre, et croit en raison composée de u et de ». 11 en résulte cette conséquence d’accord avec l’expérience, que, si les sons primaires sont très-faibles, les sons résultants doivent être inappréciables ; si, au contraire, les sons primaires sont forts, les sons résultants doivent croître dans une proportion plus forte.
Si le son propre y/i du point vibrant est plus grave que (p — q),
comme on peut le supposer dans la plupart des cas, pour le tympan et les osselets qui s’y rattachent, et si les intensités u et y sont assez voisines,
c’est le son (p — q) qui, dans xt, aura la plus grande intensité; il correspond au son résultant grave ordinaire.
Le troisième terme de la série xt contient les sons 3 p, 3 q, 2 p -f- q, p-\~2q,p — iq, pclq. Parmi eux 2 p — q et 2 q — p sont les résultants du second ordre, d'après la notation d’Hallstrœm. Leur amplitude est un infiniment petit du troisième ordre. Le «■* terme de la série donne les sons résultants du n — t”' ordre, dont l’amplitude est un infiniment petit du n"* ordre.
L’analogie permet aisément de conclure qu’il en est de même d’un système de points matériels. •
De l’hypothèse sur la valeur de la force motrice, que nous avons considérée plus haut comme égale à
k = ax
il résulte que, x changeant de signe, k change non-seulement de signe, mais de valeur absolue. Cette hypothèse ne convient donc qu’à un corps élastique, non symétrique dans le sens des déplacements positifs et négatifs ; ce n’est que dans ce cas que le carré de l’élongation peut exercer une influence sur le mouvement et produire les sons résultants du premier. Parmi les éléments constitutifs de l’oreille humaine, le tympan se distingue particulièrement par son défaut de symétrie, en ce qu’il est fortement tiré vers l’intérieur par le manche du marteau ; aussi crois-je pouvoir émettre l’opinion que c’est cette forme particulière du tympan qui permet la production des sons résultants.
Il résulte de la démonstration précédente que les sons résultants peuvent prendre naissance en dehors de l’oreille, peuvent avoir une existence objective. (Voir, dans le texte, la démonstration expérimentale.)
Dans les recherches mathématiques sur le mouvement vibratoire de l’air, on ne considère, en général, que les termes des équations qui contiennent les premières puissances des élongations des molécules et on néglige les autres. En conservant les termes qui contiennent la seconde puissance, on trouve :
1* Que tout point de la masse d’air, où les vibrations d’un seul des deux sons primaires sont assez énergiques, devient le centre de nouveaux systèmes d’ondes secondaires, correspondant aux harmoniques du son considéré ;
2° Que tout point de la masse d’air où les vibrations des deux sons primaires atteignent simultanément une intensité suffisante, devient le centre de nouveaux systèmes d’ondes secondaires correspondant aux sons résultants de différents ordres, par somme ou par différence.
Nous devons donc nous attendre à la formation de sons résultants dans l’air, lorsque les deux centres des deux systèmes d’ondes primaires sont assez voisins pour que la masse d’air intermédiaire soit fortement ébranlée parles deux sons. (Voir, dans le texte, le cas de l’harmonium.)
SUPPLÉMENT XI
SUPPLÉMENT XI
DESCRIPTION DU MÉCANISME QUI PERMET Ii'oUVRIR LES DIFFÉRENTES SÉRIES DE TROUS DE LA SIRÈNE POLVPIIONE.
Page 505.
La figure 57 est une section de la caisse supérieure de la sirène double, destinée à en montrer la construction intérieure. E est le tuyau à vent qui se prolonge dans l’intérieur de la caisse et est fixé dans la traverse supérieure du support A. La partie du tuyau à vent qui pénètre
Fig. 57.
dans la caisse B présente à ses deux extrémités des surfaces coniques sur lesquelles glissent des excavations correspondantes du fond et de la partie supérieure de la caisse, en sorte que celle-ci peut tourner librement autour du tuyau à vent comme axe. On voit en a la section de la roue dentée qui repose sur le fond de la caisse. En p se trouve l'engrenage, mis en mouvement par la manivelle y ;8 est l’indicateur dirigé suivant la division tracée sur le bord du disque.
D est l’extrémité supérieure de l’axe des disques mobiles d’où on voit les C, C supérieurs. L’axe repose sur une pointe fine dans un bassinel conique. Le bassinet supérieur se trouve à l’extrémité inférieure de la vis ■»), qui, au moyen d’un tourne- vis, peut être plus ou moins enfoncée, en sorte qu’on peut donner au mouvement de l’axe le degré voulu de facilité et de sûreté.
Dans l’intérieur de la caisse, on voit la section de quatre espaces annulaires percés de trous xX, Xp, p.v, et vo, qui empiètent les uns sur les autres comme des tuiles au moyen de bords taillés obliquement, et
se maintiennent réciproquement. Chacun de ces espaces annulaires correspond à une série de trous du couvercle, et contient exactement autant de trous que la série correspondante du couvercle et du disque tournant. Au moyen des boutons i, i, représentés dans la figure 49, p. 20U, les quatre rigoles annulaires peuvent être déplacées, de manière que les trous de la rigole coïncident avec ceux de la caisse; l’air peut alors librement sortir, et il se produit le son correspondant. Si la rigole est au contraire placée de manière que les espaces pleins qu’elle présente coïncident avec les trous du couvercle, la série correspondante est fermée, et naturellement le son cesse.de se produire.
On peut, à volonté, de celte manière, donner isolément, l’un après l’autre, ou simultanément, les divers sons de la sirène.
SUPPLEMENT XII
^ajouté, à la traduction française}.
