Notre espace a trois dimensions
Quand on parle de dimensions spatiales, on est tenté de se représenter l'espace sous la forme d'une étendue réelle dont les directions sont toutes tracées d'avance et s'imposent comme un cadre inflexible. Il importe de se mettre en garde contre cette fiction imaginaire aussi incompatible avec la nature de l'espace que nuisible à l'intelligence du problème
actuel.
Par dimensions, il faut entendre simplement le nombre d'axes ou de coordonnées nécessaires et suffisantes pour déterminer la situation d'un point dans l'espace.
Or, l'expérience courante nous montre qu'en exprimant la distance d'un point relativement à trois axes perpendiculaires entre eux, on peut déterminer complètement la situation spatiale de ce point. Jamais, dans le travail de localisation des phénomènes naturels observés par nous, il ne fut nécessaire de demander à une quatrième ou à une cinquième coordonnée des déterminations spatiales non encore fournies par les trois premières. Au point de vue de nos perceptions sensibles, ces trois coordonnées, qui sont censées désigner les trois dimensions de l'espace, ont une direction qui s'étend de haut en bas, de droite à gauche, d'avant en arrière.
que soient !e plan et la droite dont on part, ces éléments sont cependant déjà un vrai plan, et une vraie droite ; la majoration d'une figure n'en peut être la génération. Néanmoins, ces définitions mettent très bien en lumière l'homogénéité caractéristique de l'espace euclidien.
Au reste, il existe une impossibilité pratique pour notre imagination de nous fournir l'image d'une figure relevant d'un espace à plus de trois dimensions. Fût-il même existant, cet espace échapperait donc aux prises de nos facultés sensibles et serait pour nous comme s'il n'existait peis. Jusqu'à preuve du contraire, nous sommes donc autorisés à ajouter foi au témoignage des sens et aux données d'une expérience constante et universelle.
191 . — Un espace à quatre ou à n dimensions est-il possible ?
Zôllner, mathématicien allemand, en défend non seulement la possibilité, mais même l'existence.
A son avis, l'espace à quatre dimensions se démontre tout aussi aisément que l'espace à trois dimensions. L'une des preuves les plus décisives que l'on puisse invoquer en sa faveur est l'explication simple, rationnelle qu'il nous offre de certains phénomènes étranges, opposés en apparence à nos lois naturelles. La quatrième dimension est habitée, paraît-il, par des intelligences, par des esprits qui entretiennent avec nous des relations intimes. L'intervention de ces êtres supérieurs dans notre monde physique, en trouble parfois l'ordre, donne lieu à des phénomènes dont nous ne découvrons pas de suite la cause immédiate et que les chrétiens appellent miracles. En somme, ces faits miraculeux sont identiques aux autres, sauf que leur véritable cause réside dans la quatrième dimension de l'espace (^) .
Il serait puéril de s'eu-rêter à de peu-eilles feoitaisies (^) .
M. Boucher a aussi une très grsmde confiance 6ans l'avenir
(') Zôllner, WiaaenschaftUche Abhandlungen, II. Bd, 2 Theile. S. 1187.
(2) On trouvera chez GuTBERLET, Die neve Raamtheorie, Mainz, Kirchkeim, 1862, une critique très serrée des autres arguments invoqués par Zôllner à l'appui de son opinion.
des conceptions nouvelles. Au terme d'un travail consacré à l'étude de l'hyperespace, voici en quels termes il formule ses conclusions :
(( Toutes ces considérations, dit-il, qu'on n'a pas cru nécessaire de développer davantage, apportent sinon la preuve évidente de la quatrième dimension, tout au moins une probabilité très grande en sa faveur: elles ont eu pour but de montrer que cette hypothèse n'est nullement en désaccord avec les lois physiques admises pour l'explication des phénomènes, et n'est pas plus hasardée en somme que les autres hypothèses scientifiques. Il est bien possible, et même vraisemblable, que de nouveaux faits viendront un jour se rattacher à la théorie de l'hyperespace pour augmenter ainsi son degré de probabilité (^) . »
Eln général cependant, pareil optimisme ne se rencontre guère chez les partisans de la quatrième dimension. S'ils croient à sa possibilité, c'est avant tout parce qu'ils y voient une hypothèse postulée par la métagéométrie, ou plutôt un moyen d'unifier les diverses branches de la géométrie générale. Sans la quatrième dimension, les espaces euclidien et non euclidien restent absolument isolés les uns des autres, en sorte qu'aucune compeiraison ne saurait être établie entre les dimensions des figures appartenant à des espaces différents (") . L'introduction du quatrième élément spatial fait disparaître, dit-on, ce grave inconvénient.
Loin de nous la pensée de mettre en doute l'avantage signalé, mais si l'hyperespace avait uniquement pour rôle de faciliter le développement ou l'étude scientifique de la métagéométrie, il serait bien difficile de lui accorder d'autre valeur
(1) Boucher. Essai sur l'hyperespace. pp. 177-178. Paris. Alcan, 1905.
(2) LechALAS. Etude sur l'espace et le temps, pp. I03-Î05. Paris. Alcan.
que celle d'une hypothèse commode couronnant une autre
hypothèse.
Quoi qu'il en soit, au dire même de savants d'ailleurs très sympathiques aux vues nouvelles, (( les esprits que ne rebute pas l'espace à quatre dimensions sont peu nombreux (^) . n
Le grgmd reproche qu'ils croient devoir adresser aux néogéomètres est de confondre le nombre avec la grandexu-, ou de donner à leurs formules algébriques le sens d'une représentation géométrique.
Pour déterminer la situation d'im point dans l'espace, on se sert d'axes ou de coordonnées. S'il s'agit d'une ligne, la situation du point nous est complètement indiquée pai sa distemce à un point fixe de la ligne pris comme origine. Siu^ une surface, la position du point est déterminée par sa distance à chacune de deux lignes choisies comme axes. Enfin dans un espace à trois dimensions, on exprime les disteinces du point à chacun de trois plans perpendiculaires deux à deux.
En résumé, la position d'un point dans l'espace est figurée par 1,2,3 coordonnées ou grandeurs géométriques suiveint que l'espace considéré est une ligne, une surface ou lui espace à trois dimensions.
L'ajoute d'ime quatrième, d'ime cinquième, d'ime sixième coordonnée nous donne la notion d'un esp2u:e à 4, 5,6 dimensions.
Comme la géométrie analytique a coutume de représenter les lignes d'un plan et les surfaces de l'espace à trois dimensions par des équations à deux ou à trois variables, on a interprété les équations à quatre ou n variables comme représentzmt les figures afférentes aux espaces à quatre ou n dimensions. En un mot, le nombre de variables a été assimilé à un nombre de dimensions réelles.
Il y a là, d'évidence, une véritable transposition dont la
(1) H. PoiNC.\RÉ, La science et l'hypoihèae, p. 56. Paris, Flammarion, 1903.
légitimité est pour le moins très discutable, surtout si l'on veut y trouver autre chose qu'un artifice de calcul, un moyen de rendre les formules plus maniables et plus fécondes.
Ainsi que le dit Wundt, ces fictions peuvent être sans doute très utiles pour le développement des mathématiques supérieures, mais on ne doit jamais oublier qu'il y aurait grand danger à vouloir les appliquer à la réalité. Les lointaines analogies qu'elles présentent avec la géométrie ne nous autorisent nullement à en faire de vraies représentations géométriques. Elles n'ont à cet égard aucune valeur (^) .
Mansion abonde dans le même sens : « Les espaces à plus de trois dimensions dont s'occupent les mathématiciens, dit-il, n'ont rien de fantastique ni d'hypothétique. Ce sont des groupes de quatre, cinq, ou d'un plus grand nombre de variables auxquels ils appliquent une terminologie calquée sur celle de la géométrie à trois dimensions... Les profanes seuls s'imaginent que les mathématiciens attachent une représentation géométrique aux espaces à plus de trois dimensions (^) . ))
Tel est aussi le jugement de M. Russell : « Les quantités algébriques employées dans ces formules, écrit cet auteur, ne sont que des désignations de points, et non, comme dans la géométrie métrique, des grandeurs spatiales (^) . »
Ces observations et ces critiques nous paraissent fondées. En somme, malgré les efforts tentés jusqu'ici pour la légitimer, l'hypothèse de la quatrième dimension semble n'être pas encore sortie du domaine des pures hypothèses.
(1) Wundt. Logik, ««• 484-487. Stuttgart, Inke, 1903.
(2) Mansion. Sur la portée philosophique des géométrie» non euclidiennes (Annales de la Société scientifique de Bruxelles. 17« année, }'" partie.
pp. 13-17).
(3) Russell. Les axiomes propres à Euclide sont-ils empiriques? (Kevue de Métaphysique et de Morale, 1898. p. 653). -An Essay on ihe Foundations of Geometry Cambridge. 1897.
Qu'elle rende aux mathématiciens des services signalés, nul ne le contestera. Nésmmoins, si grandes que soient son utilité et sa fécondité, on ne saurait y voir une preuve vaJable, ni de sa correspondance actuelle avec la réalité, ni même de sa possibilité métaphysique.
Certains phénomènes d'optique, de magnétisme, de spiritisme, certains faits d'ordre chimique invoqués en sa faveur par les tenants de la quatrième dimension peuvent bien trouver dams cette hypothèse une explication plus facile et plus satisfaisante que dans l'hypothèse contraire, mais combien de théories physiques, aujourd'hui complètement et définitivement abandonnées, ne se sont pas prév2Ju de pareils avantages !
INDEX ONOMASTIQUE
Abraham. 307. 398.
Albert de Saxe. 206. 355.
Andrade. 23. 266, 414.
Anspach. 23. 30. 266.
Appell. 256.
Aristote. passim.
Arrhénius, 326. 360, 361.
Augustin (Saint). 13.
Balmès, 182. 184. 186. 187. 189. 25b.
Basset. 23. 266.
Baumann. 117, 118, 119.
Bender, 63.
Bergson. 72. 100. 142 à 164, 263, 286. Berkeley. 127, 128.
Berthelot. 297. 299.
Beurier. 337.
Blassmann, 65, 141.
Bonaventure (Saint) , 349.
Boucher. 82. 204. 205, 347. 377. 413.
Boutroux, 125.
Bùchner, 360.
Burlens, 263.
Burley, 263.
Calinon, 413.
Cantor, 347.
Carra de Vaux, 377, 415. 426.
Chapuis, 256.
Charlier. 365. 372.
Chartier. 206.
Clarke. 21. 22. 42. 45.
Couturat. 338. 339. 344. 347.
De Backer. 174. 175. 263.
De Broglie, 180. 181. 231. 380. 425.
De Cyon. 23. 80.
Delage. Mach. 80.
Delage. E.. 309. 311, 322.
Deiaporte, 421.
Delbet. 30, 302.
Delbœuf, 408. 426.
De Lugo. 262. 349.
Démocrite. 20. 21.
De San, 27. 230. 235. 262.
Descartes, 7. 48. 49, 52. 182. 183.
De TiUy. 412.
Djuvara. 325.
Donat. 175.
Du Bois. Raymond. 13.
Duhamel. 256.
Duhem. 20, 21, 228, 229, 270. 271.
Dunan. 43. 64. 78, 79, 92 à 1 16. 120.
Duns Scot. 261. 355.
Einstein. 307. 311. 312. 313. 316,
En gel. 66.
Epicure. 20.
Euler. 22, 30, 258, 259.
Fabre, 307. 317.
Farges. 123. 152. 157. 160. 230. 386. Fechner, 24.
Fénelon. 22. 44.
Fichte. 65. 142.
Flammarion, 23, 30, 266.
Fouillée. 12, 151. 153. 160, 161.413.
Franzelin, 349.
Gassendi. 21, 28, 29.
Gauss, 24.
Geissler, 347.
Gilbert de la Porrée, 261.
Goujon, 77, 295.
Giedt, 217, 230, 264.
Guillaume, 314, 324, 416.
Guillaume d'Ockam, 354.
Gutberlet, 347, 348, 366, 368, 373.
Guyau, 206.
Haas. 377.
Haeckel, 360.
Halley, 360.
Hannequin. 400.
Hegel. 65, 136, 137, 138, 140, 203.
Helmholtz, 24.
Hertz, 398.
Hônigswald, 325.
Hugon, 218, 230, 235.
Hume. 128. 131. 132. 133, 135.
Janssens, 87, 337, 341.
Jean de Bassols, 355.
Jean de Buridan, 261, 355.
Jean de Saint-Thomas, 235, 264, 276,
Jean le Chanoine, 261.
Jouffret, 47.
Kant, 12,61, 63, 67, 73, 74 à 79, 84,
Kleinpeter, 79, 83.
Klimke, 367.
Kuno Fischer, 64.
Lahousse, 75, 230, 262.
Lamé, 3%.
Lange, 66.
Langevin, 397. 398. 399. 400.
Lasswitz, 375.
Lechalas. 176. 325, 344, 413, 415,
Legendre, 13.
Lehmen. 175. 178. 179. 190.
Leibniz, 22, 46, 121 à 126. 267. 302.
Lepidi. 175, 184.
Le Roy. 208. 337.
Lessius. 45. 173. 349.
Leucippe, 20.
Liberatore. 217. 230.
Locke. 23. 28. 29. 37. 38. 40.51.
Lodge. 23. Lorentz. 312. 399.
Lotze, 66.
Lucrèce, 20.
Luguet, 127.
Mach. 32. 45. 257. 301.
Malebranche, 44.
Mansion. 240. 411. 413. 431.
Marguet. 328. 376.
Maurus (Sylvester). 345.
Maxwell. 398.
Mercier. 90. 159. 169. 347.
Meyerson. 422.
Milhaud. 424.
Moch, 257.
Moigno. 337.
Moreux. 328.
Morus, 268.
Muller. 24, 27. 34. 41, 266.
Neumann. 23. 30. 32. 253. 265.
Newton. 21. 258. 395.
Nordmann. 309. 314. 320. 327.
Olbers, 367.
Olivier. 197.
Painlevé. 23. 266.
Palaggi. 201. 203. 204. 210.
Pallavicinus, 349.
Palmieri. 191. 192.
Pascal. 366.
Perrin. 399.
Pesch, 174, 230. 262.
Petzoldt. 257.
Planks. 65, 141.
INDEX ONOMASTIQUE
Platon. 21. 383.
Poincaré, 13. 66. 81. 82. 83. 99.
Poinsot. 23. 265.
Rawitz, 81.
Remer. 175. 176, 264. 277. 347.
Renouvier. 64. 85. 86. 87, 88, 90, 91,
Rey, 244. 324.
Ribot. 70. 83. 301. 417, 424.
Richard de Middleton, 355, 388.
Riemann. 24.
Ri|ialda, 349.
Rivaux. 21. 235.
Royer-Collard, 22.
Ruiz. 349.
Russell. 306.
Sanseverino. 218.
Schelling. 65. 142.
Schneid. 230. 235, 264. 277.
Schneider, 24.
Seeland. 195. 196. 197, 198, 199.
Seeliger, 373. 376.
Simplicius. 261.
Sorel, 426.
Spencer, 13. 48, 70, 73, 165, 166,
Spinosa. 21, 48, 50, 52. 55, 292, 357
Stuart Mil!, 203, 204. 209.
Suarez. 173. 175, 227. 262. 349.
Taine, 69. 204. 209.
Tannery. 377.
Tataret, 263.
Tempier. 355.
Tiberghien. 47.
Trendelenburg, 66.
Thomas d'Aquin, passim.
Tschitserin. 55. 56. 57. 58, 59.
Ueberweg, 66.
Vacherot, 193. 194, 195.
Van Biéma. 126.
Vasquez, 262, 349.
Valentia. 349.
Vera, 139.
Véronnet. 343.
Von Max Isserlin, 81, 83.
Walter Smith. 306.
Warrain. 301. 413. 419, 420,
Weber, 24. 69.
Wiessner. 21.
Willems. 190. 263.
Wundt. 70. 77. 81, 374, 375. 431.
Zôllner. 23, 428.
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