Homogénéité de l'espace géométrique

Tout autre est l'homogénéité spatiaJe actuellement si discutée entre géomètres. En réalité, il ne s'agit même plus de l'espace, c'est-à-dire de ce réceptacle de la matière, objet des investigations du philosophe, mais des figures géométriques qu'on y trace, au moins par la pensée. Dans ce domaine nouveau, la question de l'homogénéité revient à se demaoïder si la droite, le plsm ou une figure quelconque peuvent être majorés ou minorés sans que la forme de ces éléments géomé-

(*) Fouillée. La pensée et les nouvelles écoles anti-intellectualistes, p. 233. Paris. Alcan. 1911.

triques soit modifiée. Pai exemple, le simple fait de prolonger dans l'espace une ligne droite en apparence, n'aura-t-il pas pour résultat nécessaire de la transformer en ligne courbe ? Un plan suffiseimment agrandi ne prendrait-il pas la forme d'une surface sphérique ?

Ici, homogénéité devient donc synonyme d'indépendance de la forme à l'égajrd de la grandeur.

Si donc, comme le soutient la géométrie riemannienne <( deux droites d'un plan se rencontrent en deux points opposés )) ou suivemt la géométrie lobatchefskienne, « si elles se rencontrent, ou sont asymptotes l'une de l'autre, ou divergent indéfiniment à partir d'une perpendiculaire commune », c'est dans la nature spéciale de ces lignes qu'il faut placer la raiscai de leurs propriétés, nullement dans l'espace métaphysique qui n'exerce aucune influence sur le mode d'extension de ces droites.

« De nos jours, écrit Milhaud, les travaux dont il est question ont avant tout un ceiractère mathématique qui fait tout leur intérêt et limite en même temps leur signification... Ont-ils démontré l'existence d'un espace nouveau ? C'est à peine si la question a besoin d'être posée. Les déductions mathématiques n'ont par elles-mêmes aucune signification objective; elles n'en peuvent acquérir que lorsqu'on établit une correspondance entre les symboles et certaines réalités déterminées dont l'introduction est un acte arbitraire de l'esprit faisant en cela tout autre chose que des mathématiques. C'est là une vérité dont on n'est jamais assez pénétré (^) . »

Plus catégorique encore est le langage de M. Ribot. « A la vérité, dit-il, quelques néo-géomètres ont soutenu « qu'il reste « incerteiin si l'espace peut avoir ou ne pas avoir les mêmes

(^) Milhaud, La géométrie non euclidienne. (Revue philosophique, 1888, p. 621.)

« propriétés à travers tout l'univers... et qu'il est possible que u dans la marche rapide du système solaire à travers l'espace, « nous puissions graduellement passer à des régions dams les- « quelles l'espace n'a pas les propriétés que nous lui connais- (( sons » ; mais cette thèse qui, au fond, réalise une entité, ne paraît pas avoir rallié beaucoup de partisans (^) . »

L'espace et partant l'homogénéité dont traitent les néogéomètres se preiment donc sous une acception toute spéciale. Poiu- avoir méconnu ce feùt, plusieurs philosophes ont adressé à la métagéométrie des reproches immérités qui leur ont valu en retour des répliques décisives.

« Des espaces distincts, dit de Broglie, espaces idéaux qui se refusent à recevoir des lignes et des figures idéales, qui se comportent à l'égard de ces figures comme s'ils étaient pleins et elles solides, qu'est-ce que cela signifie (^) ? »

Ce langage ne laisse planer aucun doute sur la pensée de son auteur. Aux yeux du philosophe français, les géométries non euclidiennes ne se comprennent que dans un espace absolu et différencié.

M. Lechalas, dont la compétence en la matière est universellement reconnue, releva la critique de son compatriote. Après l'avoir caractérisée de « critique à côté » il ajoute : « un espace n'étant pour nous que la substemtialisation verbale des relations spatiales compatibles entre elles, dire qu'une figure ne peut entrer dans un espace, c'est dire qu'elle constitue un système de relations incompatible avec un système plus général, décoré du nom d'espace (^) . »

Certes, pareille mise au point ferme la voie à toute nouvelle réplique.

(1) RiBOT, L'éoolation des idées générales, p. 178, Paris. Alcan, 1909.

(2) De Broglie, La géométrie non euclidienne. (Annales de philosophie chrétienne, avril et juillet 1890, pp. 5 et 340.)

(3) Lechalas, Etude sur l'espace et le temps, p. 87, Paris, Alcan, I9I0.

Mais s'il faut savoir gré à ces auteurs (^) d'avoir dissipé l'équivoque, qui trop longtemps déjà a enveloppé la notion d'espauce dans les études de métatgéométrie, il est juste aussi de reconnaître que le langage couréint de la science nouvelle excuse en peurtie les méprises et justifie les appréhensions du philosophe (^) .

La distinction des points de vue établie, que penser maintenant de l'homogénéité des espaces géométriques ?

Seule la géométrie cleissique ou euclidienne jouit de ce privilège. Elle seule peut majorer ou minorer, dans im espace à trois dimensions, une figure quelconque sans en modifier la forme. En elle seule, en un mot, la forme de tous les éléments géométriques est indépendante de la grandeur ou des dimensions.

Nulle paît, cette caractéristique de l'espace euclidien n'a été expHDsée d'une msinière plus saisissante que dans les définitions génétiques de Delboeuf .

« Le plan, dit -il, est une surface homogène; la droite est ime ligne homogène : c'est-à-dire qu'une portion de plan majorée engendre le même plan, qu'une portion de droite majorée reproduit la droite...

« L'espace, le plan et la droite sont des déterminations qui s'engendrent d'une façon homogène. Qu'on prenne un solide, une surface, une ligne au moment où ils naissent (donc aussi petits que l'on veut) , et que l'on continue leur mode de génération, le solide deviendra l'espace infini ; la surface, le plan infini; la ligne, la droite infinie (^) . »

(1) Voir aussi même opinion chez Carra DE VAUX, Philosophie positive de la meta géométrie. (Annales de philosophie chrétienne, 1898-1899, pp. 396-409.)

(2) Cf. SOREL, Discussion sar la géométrie non euclidienne. (Revue philosophique, 1891, pp. 428-430.)

(3) DeLBŒUF, Prolégomènes philosophiques de la géométrie, pp. 94 et suiv. A vrai dire, ces définitions ne sont pas génétiques ; car quelque petits

Article VIII.

Les dimensions de l'espace.