INTRODUCTION

I. Les querelles d’école ont fleuri de tout temps et dans toutes les branches des Mathématiques. Comme il s’agit ici de Géométrie algébrique, le lecteur croira peut-être qu'il est fait allusion à la querelle entre l’école italienne et les algébristes modernes; il n’en est rien. Toute une lignée de chercheurs en effet, depuis Dedekind et Weber jusqu’à C. Chevalley, A. Weil, O. Zariski et leurs élèves, a montré qu'il était possible d'appliquer à la Géométrie algébrique les méthodes de l’Algèbre abstraite. On s’est également aperçu que maints résultats obtenus par « des éclairs d’intuition d’Italiens privilégiés » se pouvaient démontrer par les méthodes rigoureuses de l’Algèbre; ainsi s’est tempérée peu à peu la méfiance éprouvée par les algébristes vis-à-vis des méthodes italiennes; et le temps n’est peut-

(:) La seconde Partie de ce Mémoire, consacrée aux applications géométriques des notions algébriques exposées ici, paraîtra dans un prochain numéro de ce Journal. L'introduction et la bibliographie publiées ici sont communes aux deux Parties |

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être pas si éloigné où une méthode universelle de traduction permettra, sans en changer les idées générales, de faire rentrer toute démonstration « italienne » dans le cadre rigoureux de l’Algèbre. Ce temps verra probablement une floraison de Mémoires «d’exploitation » assez analogue à la surproduction contemporaine des hypéraxiomatiseurs en mal de généralisations.

Il y a dix ans se créait outre Atlantique, sous l’impulsion de deux Français et d’un transfuge de l’École italienne, un centre de Géométrie algébrique auquel sont dus les plus importants résultats contemporains dans cette branche. Mais, comme il est coutumier dans un groupe de mathématiciens en effervescence de production, deux tendances opposées se firent jour; il s’agissait de déterminer quelles portions de l’Algèbre moderne étaient nécessaires au développement de la Géométrie algébrique. La querelle est récente, mais il n’est que de lire l’Introduction des Foundations of Algebraic Geometry de A. Weil et l’analyse qu’en fait O. Zariski dans le Bulletin de la Société mathématique américaine pour voir qu’elle est assez animée.

Le lecteur s’apercevra bien vite que l’auteur de ce travail a pris parti dans cette querelle, et qu’il a trouvé prématuré, ou peut-être au-dessus de ses forces, de s’interdire maint recours à l’arsenal varié et séduisant de l’Algèbre commutative. Il a donc indifféremment utilisé, selon les nécessités, et la technique des spécialisations de A. Weil, et la technique analytique des anneaux locaux de C. Chevalley. Il est vrai que quelques remarques dans les deux derniers Chapitres de ce travail, les seuls consacrés à la théorie des intersections excédentaires et singulières, les quatre premiers développant les préliminaires algébriques et géométriques nécessaires, montreront au lecteur qu’une partie de cette théorie aurait pu être développée en s'en tenant strictement aux méthodes de A. Weil. Si nous n'avons pas suivi cette voie, c’est d’une part afin de laisser la porte ouverte à une généralisation vers les variétés algébroïides, généralisation qu’une simple comparaison entre ce travail et le Mémoire des Intersections de C. Chevalley laisse prévoir facile. C’est d’autre part et surtout que nous pensons que la Géométrie algébrique moderne est encore en état de gestation, qu’il est prématuré d’en

entreprendre la systémalisation simplificatrice, et qu'il sera utile au systématisateur futur d’avoir à sa disposition les résultats les plus variés et les plus complets possibles afin d’en opérer la synthèse.

Le travail qui va suivre est donc de nature très algébrique. Il trouve sa place dans une « maison pleine à la fois d’anneaux, d’idéaux et de valuations, et aussi de spécialisations, d'extensions de spécialisations, et de corps linéairement disjoints », en somme dans une réunion de la maison de Chevalley-Zariski et de la maison de Weil. Si donc, à en croire Zariski, le géomètre classique appellera «a plague on both these houses », ce travail sera une des premières victimes de sa malédiction.

Le lecteur aura déjà compris tout ce que je dois à Claude Chevalley, André Weil et Oscar Zariski. Sans les contacts que j’ai eu le bonheur d’avoir avec eux, en France et en Amérique, ce travail n’aurait jamais vu le jour. Et, malgré les divergences qui les séparent, qu’ils soient unis 1Cci dans la ferveur de ma reconnaissance.

Je tiens également à remercier M. A. Châtelet qui a bien voulu me faire l'honneur de présider mon jury, M. P. Dubreil qui a apporté à à son rôle de rapporteur toute sa compétence el toute sa conscience, et M. Henri Cartan dont les conseils et l'exemple ont été pour moi, comme pour tant d’autres de ma génération, le guide le plus précieux sur les chemins, souvent étroits et bordés de précipices, de la Mathématique axiomalique.

Il. L'objet principal de ce travail est de généraliser aux composantes excédentaires et singulières des intersections de variétés algébriques la théorie des multiplicités d’intersection due à C. Chevalley et à A. Weil, et relative aux composantes proprés. Pour atteindre partiellement ce but, trois Chapitres préliminaires (I, Il, et IV) nous ont été nécessaires.

Le Chapitre I commence par un rappel de faits bien connus relaufs aux anneaux et algèbres commutatifs. Il contient surtout une théorie généralisant celle des polynomes de Hilbert, et qui sera notre outil principal; cette généralisation comprend trois étapes : les idéaux homogènes d’un anneau de polynomes sur un anneau d’Artin, les idéaux primaires pour l'idéal maximal d’un anneau local, les idéaux

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primaires quelconques d’un anneau noethérien. Outre les théorèmes exprimant que la longueur de certains anneaux où modules dépendant d’un entier r est un polynome en x pour n assez.grand, sont démontrés des théorèmes montrant que, à partir d’un certain n, cerlains transporteurs (ou idéaux quotients) sont exactement ce que l’on peut croire à première vue. Nous constatons ainsi Pexistence d’une régularité, assez inattendue si l’on étudie quelques exemples d’idéaux.

Dans les anneaux locaux, qui sont l’objet du Chapitre IT, le degré et le coefficient dominant de ces polynomes en n définissent les notions de dimension et de multiplicité; ces définitions coïncident avec celles de C. Chevalley lorsque ces dernières ont un sens; et notre définition de la multiplicité d'un idéal primaire pour l’idéal maximal s’applique à tous les cas. Nous avons souvent supposé que nous nous trouvions dans le cas d’égales caractéristiques et sur un corps de base infini, hypothèses qui se trouvent vérifiées dans les questions géométriques, mais dont il serait utile de se passer d’un point de vue d’Algèbre pure. Le paragraphe 5 de ce Chapitre, montre essentiellement que les irrégularités observées pour les petites valeurs de n sont dues à la présence de composantes immergées de certains idéaux, et que, dans de nombreux cas simples, la multiplicité d’un idéal primaire coïncide avec sa longueur, ce qui explique le succès, au moins partiel, de théories du genre de celle de Van der Waerden où les multiplicités d’intersection sont définies par des longueurs d’idéaux. Notre paragraphe 4 contient une généralisation de la notion, due à C. Chevalley, d’anneau local géométrique, et permet de simplifier, tout en la généralisant, la démonstration de son « theorem of transition » qui permet le passage des variétés algébriques aux variétés algébroïdes. Le paragraphe 5 traite des produits kronéckériens d’anneaux locaux complets, utiles dans l’étude des variétés produits. Le paragraphe 6 enfin met sous une forme maniable dans les applications géométriques un des résultats principaux du Chapitre II.

Le Chapitre IIT n’est nullement indispensable au déroulement logique de ce travail. Il donne quelques applications géométriques, assez élémentaires, des théories algébriques des Chapitres I et II : multiplicité d’un point sur une hypersurface, certains cas où l’on peut définir les multiplicités d’intersection par des longueurs d’idéaux

avec, comme application, le théorème de Bezout dans le plan, et la notion de degré d’une variété. Le paragraphe 5 montre a priori que les définitions des multiplicités d’intersection dues à C. Chevalley et À. Weil sont équivalentes; ceci est fait en interprétant, dans une terminologie plus classique, certains passages du traité de A. Weil.

Le Chapitre IV donne les préliminaires géométriques nécessaires pour les Chapitres suivants. Il y est d’abord montré que certains phénomènes algébriques et géométriques sont «ceux qui se passent sur un sous-ensemble algébrique de la variété représentative des données » : bases non séparantes, éléments non primitifs, projections d'indice > 1, composantes excédentaires. La plus grande partie du Chapitre est consacrée aux spécialisations de cycles de dimension arbitraire : la solution donnée satisfait aux conditions posées par A. Weil dans le Chapitre IX, n° 6 de son Traité, et permet de mettre le principe de conservation du nombre sous la forme plus générale d’un principe de spécialisation des cycles. La fin du Chapitre donne une démonstration algébrique d’un théorème de F. Severi permettant d'exprimer tout cycle de l’espace projectif comme intersection de diviseurs.

Le Chapitre V traite des composantes excédentaires d’intersection, c’est-à-dire de dimension strictement supérieure à u+e—n,u ete étant les dimensions des variétés intersectées et n celle de l’espace ambiant. Après quelques préliminaires sur des questions de dimensions, nous définissons de façon algébrique la multiplicité d’une composante excédentaire, et donnons, au moyen de cylindres génériques passant par les variétés intersectées, une interprétation géométrique de ces multiplicités qui montre que notre définition coïncide avec une définition suggérée par F. Severi. Ces résultats sont ensuite appliqués à la multiplicité d’une sous-variété; nous y traitons aussi des cônes des tangentes et de l’espace tangent de Zariski. Nous montrons ensuite que nos multiplicités d’intersection satisfont à la formule des variétés produits et à celle de projection, et sont des invariants par transformation birationnelle birégulière; par contre la formule d’associativité n’est valable que sous des conditions fort restrictives; quant au principe de spécialisation des cycles 1l était absurde a priori de compter sur sa généralisation.

Le Chapitre VI traite des composantes singulières : on se place une

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fois pour toutes sur une variété ambiante A et l’on cherche à généra- 1 liser aux composantes d’intersection M qui sont singulières sur À la théorie des multiplicités des composantes simples. Nous ne donnons de définition que dans le cas.particulier suivant, qui englobe d’ailleurs celui des composantes simples : les variétés ou cycles intersectés X et Ÿ sont, au voisinage de M, des sous-multiples d’intersections complètes de À avec des variétés de l’espace ayant la dimension qu'il faut. Ceci nous amène à introduire des multiplicités d’intersection fractionnaires. Les propriétés fondamentales se généralisent toutes : formule ‘ des variétés produits, associativité, invariance birationnelle, formule de projection, principe de spécialisation. Nous introduisons enfin les groupes d’holotomie, groupes quotients (locaux ou globaux) des groupes des cycles de À par les sous-groupes des cycles intersections complètes (locales ou globales); nous en donnons quelques propriétés élémentaires, et en calculons quelques-uns.

III. Nous allons maintenant énumérer divers problèmes qui se posent à propos de ce travail; certains de ces problèmes nous ont été suggérés oralement par A. Weil et C. Chevalley.

1. Étudier si le théorème 5 (Chap. IT) est encore valable avec un corps = fini.

Supprimer la restriction d’équidimensionalité de F(4) dans le

théorème 11 (Chap. IT).