CERINTS EST ER ENS ESC

En ajoutant éventuellement à X et à Y des cycles intersections complètes globales, nous pouvons supposer que tous les cycles en question sont positifs. Comme la spécialisation des cycles préserve

les dimensions et les inclusions des cycles | nous disons qu’un cycle Z est contenu dans un cycle Z, si toute composante de Z est contenue dans une composante de Z, (cf. Chap. IV,$5)], une spécialisation A’ sur (X, Y)>(X', Y'), avec référence à # de toute composante A de X.Y est contenue dans le cycle X'.Y'; or il est clair que A’ figure dans X’.Y' avec un coefficient au moins égal à celui de A dans X.Y,; la même inégalité est vraie a fortiori pour les coefficients de A et A' dans X.Y et X’.Y'en vertu de la condition (C) JR à Y.Ona

donc les inégalités

NOTE UX Ve TN NE XV) de l'égalité

COR EE) ) CREER) CNE) nous déduisons ainsi que l’on a

DCR A:

Remarquons que nous n’avons utilisé la condition (C) que pour le cycle Y

(et aussi pour Ÿ, mais ça s'en déduit immédiatement ); notre résultat est donc encore valable pour la définition donnée en remarque au paragraphe 1.

La condition (C) sera automatiquement vérifiée si X.Y possède au plus une composante singulière A; soit en effet X—X,.Q en A;

en toute autre composante A, de X.Y, soit X,.Q—X+ nn P ) )

les Z, étant des variétés contenant AÀ,; soit C,; un Re de dimension convenable de l’espace, passant par Z,), et de direction générique sur les données; alors C,; ne contient n1 À, ni aucune AÀ,, distincte de À,,; il suffit alors de remplacer X, par X, —Ù RAC @, À pour que la condition (C) soit vérifiée par X et X, en toute composante de X.Y. Remarquons que, dans la plupart des applications, le cycle général X.Y ne contiendra aucune composante singulière. Par conséquent :

Tnéorème 2 (« théorème de spécialisation »). — Soi Æ un corps de définition de Q, X et Y deux cycles de Q tels que, en toutes les

composantes (supposées d’excès relatif nul) de leur intersection X et Y soient des intersections complètes, et qu’au plus une de ces composantes soit singulière [ou plus généralement que la condition (C) soit satisfaite par X ou Y]; soi (X', Y') une spécialisation de (X, Y) sur k telle que X!.Y' soit défini; alors X'.Y' est l’unique spécialisation de X.Y sur(X, Y)—(X, Y') avec référence à k.

4. GROUPES D'HOLOTOMIE. — Soit À une sous-variété de Q; dans le groupe gradué | des cycles portés par Q nous avons, dans la première partie de ce Chapitre, identifié deux cycles qui ne différent que par des variétés ne contenant pas À; nous avons utilisé implicitement le fait que cette relation d'équivalence est compatible avec la structure de groupe gradué de F, et nous avons opéré dans le groupe gradué quotient l',. Nous appellerons ce groupe |”, le groupe des cycles locaux relatifs à A, et ses éléments des cycles locaux (relatifs à A). Lorsque BC A, F, est un groupe quotient de [”;.

Nous dirons qu’un cycle local X° * est une intersection complète s’il

existe un cycle X de la classe X et un cycle X7 de l’espace tels que X—X,.Q. Nous avons surtout considéré jusqu'ici des intersections complètes; celles-ci forment un sous-groupe stable H du groupe gradué l',; le raisonnement du paragraphe À montre que H est univoquement déterminé par la donnée de l’anneau des quotients Qo(A ); deux cycles locaux dont ia différence est une intersection complète sont dits holotomiques. Nous allons maintenant nous intéresser au

groupe quotient H(Q, A )— e que nous appellerons le groupe d’holo-

iomie de Q en À; sa structure ne dépend que de celle de l’anneau Qa(A); c’est donc un envartant birationnel birégulier. C’est un groupe gradué, somme directe des sous-groupes H;(Q, A) (dimA,<i,<w); H1(Q, A) et H,(Q, À) sont triviaux. Si BCA, on voit aisément que H(Q, A) est un groupe quotient de H(Q, B). Nous pourons aussi considérer le groupe global d’holotonie H(Q) de Q; c’est le quotient de | par le sous-groupe des intersections complètes; H(Q, A) est un quotient de H(Q) quelle que soit la sous-variété A de Q:

Si À est une sous-variété stmple de Q, toute variété V contenant À

Y est, ‘en À, intersection de Q avec un cylindre générique passant par V; H(Q, A)est donc trivial. |

Tout cycle local est holotomique à un cycle positif; si, en effet,

X=Y—7Z, Yo, ZSo, et si LES n, V,, nous ferons passer par V,

un cylindre générique de dimension convenable C, ; alors C,.Q XV: posons O2, 0% ains1:C.0 7, d'ou X 41C. 0 —Y 0; Ainsi H(Q, À) est un quotient du semi-groupe des cycles locaux positifs.

Proposrrion 1. — Sr Q est normale le long de À, tout diviseur local positif X, qui est intersection complète, est intersection complète de Q avec un diviseur À positif de l’espace.

Soit o l'anneau des quotients de À dans Q et soit XrNe un

diviseur local positif. Soient X—Q.(U,—U,), où U, et U, sont deux diviseurs positifs d'équations (Chap. IV,82) F,(X)=o et F,(X)=0o, — j, et f; les fonctions induites sur 9 par F,(X) et F,(X), — et p, l'idéal premier minimal de o correspondant à V,; comme o est intégralement fermé, of, et of, sont des produits de puissances symboliques des p, :

sh=|lr, =] ]r#t:

(4 x et l’on a

DU=Nrv, et (128 BED ANTA' EE

œ % d DS In, mt Oo:-Lidéal Ar sgal à Patet est on a donc r,—5,—n, 0; l'idéal:0/,/," est égal à | | p*, (4

donc entier; ainsi /,/,' appartient à © et, en le multipliant éven-

tuellement par un élément inversible de 0, nous voyons que (HE EE est un diviseur positif.

Remarques. — 1. Cette proposition { est à rapprocher du théorème (global) de Muhly : pour que @ soit normale il faut et il suffit que le système linéaire découpé sur Q par les hypersurfaces d'ordre 7 soit complet quel que soit ».

2. On peut avoir H(Q, A)—{O} sans que A soit simple sur £; il en est

ainsi si À est un point double ordinaire d’une courbe plane {2 : A=Q.(T—D) où T est une tangente à @ en A et D une droite générique passant par À. Si & est normale le long de A et si H(Q@, A) — {0 }, on voit aussitôt que le théorème d'unique factorisation s'applique aux Fe de ».

Remarquons que nous avons défini les muluiplicités d’iptersection relatives pour les cycles dont la classe est un élément périodique de H(Q, A). Nous allons, pour terminer, calculer quelques groupes d’holotomie.

Proposition 2. — Sur un cône Q de degré 2 ou 3 de l” espace A°, tout cycle est globalement holotomique à une somme de génér atrices.

Soit V une courbe tracée sur un cône du second degré {; par une génératrice D de Q@ nous traçons le conoïde U lieu des droites parallèles à un plan donné et s'appuyant sur D et V; V figure avec multiplicité 1 dans Q.U si l’on prend D et le plan génériques et indépendants sur les données; le reste de l’intersection se compose de multiples de D et des génératrices de Q parallèles au plan donné.

Si Q est du troisième degré, soient O son sommet, D une génératrice et C une section plane (génériques); par tout point P de la courbe donnée V on fait passer le plan contenant D; celui-ci coupe C en trois points, dont l’un a est sur D, et un second b sur la génératrice de P; soit E la droite joignant P au troisième c; on prendra pour U la surface lieu de la droite E. Le diviseur Q.U est somme de V (avec coefficient 1), d’un multiple de C (qui est intersection complète), d’un multiple de D, et de multiples des génératrices OP telles que b et c se trouvent confondus. Ces dernières correspondent

aux points P qui se trouvent sur les génératrices des points de contact des tangentes menées par @ à la cubique plane C.

Proposition 3. — Sort Q un cône de A° de sommet O et normal en O, et soit X un diviseur de Q composé de génératrices; st X est intersection complète en O, on a X = X,.Q où X, est cône de sommet O.

On peut supposer, en ajoutant éventuellement une intersection complète avec un cône de sommet O, que X est positif, et que l’on a

X—Q.X, où X, est un diviseur positif de A* (prop. 1). Soit F(X)—0

l'équation de Q, et G(X)—G{(X)-+...+ Gn(X)—0 celle du diviseur X,, G, étant une forme de degré s; l’anneau des quotients 0 de O sur Q admet une notion de degré. L'idéal og, où g est la fonction induite par GX) sur (, est, puisque 0 est intégralement fermé, produit de puissances symboliques d’idéaux premiers correspondant à des génératrices, c’est-à-dire d’idéaux homogènes; 0g est donc un idéal homogène et.contient les éléments 2, ..!, g,n3 ceci n’est possible que si tous les g,,; sont des multiples de £,; on a donc og — 98, et la proposition 3 est démontrée.

CoRoOLLAIRE 1. — S: Q est un cône du second degré de sommet O, le groupe d’holotomie H,(Q, O) est cyclique d'ordre 2.

En effet, une génératrice D n’est pas intersection complète, mais la somme de deux génératrices l’est; ainsi deux génératrices quelconques sont holotomiques.

COROLLAIRE 2. — Soit Q un cône elliptique de sommet O sur le corps des nombres comvlexes; le groupe H,(Q, O) est isomorphe au produit d’un groupe cyclique d'ordre 3 par le groupe des paramètres elliptiques uniformisant une base de Q.

Soit X un diviseur de Q composé de génératrices, ED ni D, ;

œ soit 4, le paramètre elliptique de D,; pour que X soit holotomique à zéro, il faut et 1l suffit que les points P,, où les D, rencontrent une

base de Q, soient sur une même courbe d'ordre D + » compte tenu

des multiplicités; ceci veut dire que :

D'ra= 0 mod. 3

> Nnylx=0 (modulo périodes).

Soit alors o la classe d’une génératrice d’inflexion D, (34,=0 modulo

périodes) et F le sous-groupe, cyclique d’ordre 3, engendré par celle-ci; soit E le groupe des classes de diviseurs composés de génératrices et de degré zéro; il est clair que H,(Q, O) est somme directe

de Eet de K. CAS FAP:

Les génératrices de Q dont la classe est périodique sont donc les génératrices d'inflexion (34= 0), les génératrices sextactiques (64= 0), et ainsi de suite. Remarquons que dans les deux cas étudiés les groupes H,(Q) et H(&, O)

sont isomorphes.

Proposition 4. — Si Q est une quadrique sans singularités de l’espace A°, H,(Q) est un groupe cyclique infinr.

Soient x el f tes classes, dans H,(Q), de deux génératrices de systèmes différents; on a « + 5 — o, donc deux génératrices de même système sont holotomiques. Toute courbe V de Q est holotomique à une combinaison linéaire de génératrices (mener, par un point de Q, le cône s'appuyant sur V}. Si S est une surface intersectant Q selon des génératrices, nous écrirons S.Q — X, + X,, où X; est une combinaison linéaire de génératrices de même système. Si D (resp. D’) est une génératrice générique du premier (resp. second) système, on a D.S=—D.X, (resp. D'.S—D'.X,); ceci montre que les cycles X, et X, ont même degré, égal à celui de S, donc qu’il n’y a d’autre relation entre « et $ que a+ B— 0.

SAP RE a De