ONE CN REA SEXE VERT

et la formule des variétés produits s'applique à nos cycles intersections relatives.

Considérons le produit de l’espace affine par lui-même et sa diagonale A. Le cycle X,.Y, est la projection sur le premier facteur du cycle Z—(X, *< Y,).A de la diagonale. Donc le cycle

XIV (XN YD QG

est, localement, la projection du cycle Z.Q* (intersection prise sur A); comme AË est simple sur À, nous pouvons appliquer notre définition à ce cycle; il est donc égal à

EST) A CO SCATN: car QÂ—A.(Q x Ar);

X.Y est donc localement égal à la projection de (X, >< Y,).Q.

Soit (/ une variété en correspondance birationnelle avec Q, correspondance que nous supposons birégulière en À ; soient X', Y'et A'les cycles de Q’ correspondant régulièrement à X, Y et A. D’après le théorème de Severi (Chap. IV, th. 3) le cycle X, tel que Q.X, — X (en A) est intersection complète de diviseurs; par linéarité nous sommes ramenés au cas où ceux-ci sont positifs; soit X, — U,...U, et soit F;(X)— o l'équation du diviseur U;. Soit o l’anneau des quotients Qo(A) et j; l'élément de 9 induit par F;(X); les idéaux pre-

miers MIniImaux de Sd of: sont ceux des composantes X, de X

contenant, À, — et, d’après [I] (th. 7, p. 51), le coefficient de X,

dans X est égal à la multiplicité de l'idéal D. 0», /: dans l’anneau

dp, — Dax):

Si V est une composante du cycle Ÿ et si u est son idéal premier s et ; te re 0 dans o, les idéaux premiers minimaux pg de l'idéal Dre sont ceux =

des composantes Z3 de V.X, contenant A, — le coefficient de Zs : \ Ë RE TIE re Co dans V.X, étant égal à la multiplicité de l'idéal EG), dans

l’anneau (2) Ou) Mais l’anneau des quotients Qa(A') est pe

identique à #; en multipliant éventuellement les /; par des éléments inversibles de 0, on peut supposer qu'ils sont induits par des polynomes F'(X”), les X’ étant les coordonnées de l’espace affine de Q’; si U; est le diviseur d’équation F(X') —o, et si X' est le cycle U' ... U la première partie du raisonnement montre que, en A’, on a

et que les cycles X,.Y et X°.Y’ se correspondent sur Q et Q'. Nous avons ainsi prouvé l’invariance birationnelle des cycles intersections relatives.

Remarque. — Si seul l’un des cycles X ou Ÿ est intersection complète (fractionnaire) en À, on peut encore définir localement le cycle X.Y par X.Y —X,;.Y; on peut montrer dans certains cas (notamment si @ est normale en À et si X est un diviseur) que c’est indépendant de X;. On voit alors que les propriétés des produits et d’invariance birationnelle sont encore valables. 11 en est de même de la formule de projection et du théorème de spécialisation. Par contre la formule d’associativité ne se généralise pas, comme le montre l'exemple de l’hypercône quadratique de A* donné au Chapitre V.

Soit M une composante de X.Y contenant À, et soit X un cylindre passant par X, de direction générique sur un corps de définition des données, et de dimension 7 — w; nous supposerons les cycles X et Y

positifs. Le cycle X.Q est, en M, somme de X et d’un cycle Z positif;

Z— 0 caractérise les composantes simples M. Ainsi la multiplicité relative r de M dans X.Y est au plus égale à sa multiplicité absolue a (Chap. V), avec égalité pour les composantes simples.

Voici maintenant quelques exemples :

1° Soit ( un cône du second degré de sommet M, X et Y deux génératrices de Q; les cycles 2X et 2Y sont intersections complètes de Q avec les plans tangents F, et T, le long de X et Y ; on a donc

NON MT OA D NUE 2M; donc HRNCCU

2° Si l’on pose m—m(M; Q), les nombres mr et a sont en général distincts. Prenons pour Y la section du cône Q par une sphère S tangente àXenM;ona

D NME Pie SX SE M, d’où F2:

par contre, X étant la tangente de rebroussement de YŸ, on a a—3 eta<{ mr.

2, La roRMULE DE pRogecTIoN. — Soit X un cycle du produit Q % Q/ de deux variétés et soit Z la projection algébrique de X sur le premier facteur; soit YŸ un cycle de Q et M une composante d’excès relatif nul de Z,Y; supposons que Ÿ soit une intersection complète en M : M 0:Y,. Soient M;, ..:.-M, les composantes de X, (V< 4") se projetant en M; nous supposerons qu'aucune d’entre elles n’est à l'infini (ce qui est le cas si Q/ est une variété projective). En M < Q’, et en toute composante M;, Ÿ > Q/ est intersection complète :

Ve Ooee OÙ CRT)

d’après la formule des variétés produits. Par définition on a, en M; X.(Y XQ)—(Y, x Pr').X.

Si nous appliquons la formule de projection relative à l’espace 1l vient

(M; 2.Y,)=Ÿ [M : M}.ë(M;; RU Pr),

io(M; 2.Y)=Y [M : M].ioso.(M;; X.(Y x Q')).

1=1 De cette formule locale nous déduisons le théorème global suivant:

Tutorème 1. — Soient X un cycle du produit Q >< Q! et Y un cycle de Q tels qu’en toute composante M de Y ,prX, Ÿ et prX sotent intersechons complètes, et tels qu’en toute composante de X,(Y >< Q") X soit intersection complète ; alors Y >< {/ est intersection complète en toutes ces

composantes et l ’on a VPLX = pre D).

3. LE THÉORÈME DE SPÉCIALISATION. — Soit À un corps de définition de Q; nous supposerons d’abord que X et Y sont globalement des intersections complètes : X = X,.Q, Y — Y,.Q. Soit (X', Y') une spécialisation de (X, Y} sur # (Chap. IV); nous la prolongeons en une spécialisation (X;, Y')de(X,, Y,). De X=X,.Qet Y—Y,.0 nous déduisons X’=— X,.Q et Y'— Y,.0Q (Chap. IV, prop. 2). Donc le cycle intersection relative X’.Y’'— X°.Q.Y" est une spécialisation de X VX QU surCX VX MiPavec/relérence 47 L’unicité du prolongement se démontre comme au Chapitre IV.

Passons maintenant à un cas un peu plus général. Supposons que, en toutes composantes de X,Y, X et YŸ soient des intersections complètes, X = X,.Q et Y = Ÿ,.0, avec les mémes cycles X, et Y, en chacune de ces composantes [condition (C)]; on a alors globalement X,.0—X+X et Y,. 0—Y Y, X et Ÿ ne contenant aucune composante de X,Y. Soit (X', Y’) une spécialisation de (X, Y}) sur #, telle que X’.Y' soit globalement défini; nous la prolongeons en une spécialisation (X,, Y,)—(X', Y’); celle-ci se prolonge, et de façon unique, en une spécialisation