LES JUGEMENTS MATHEMATIQUES

qu'offre la ligne menée, le caractère d'angles droits qu'offrent les angles à la base, etc. Mener la ligne et réaliser de fait ces conséquences, c'est tout un : il n'y a plus qu'à analyser pour les voir s'épanouir une à une.

L'idée même de joindre le sommet du triangle isocèle par une droite au milieu de la base n'est nullement ce que M. Boutroux appelle une fantaisie1 de l'imagination « créatrice »,Jiice que M. Poincaré appelle une « hypothèse arbitraire ». Cette idée se présentera nécessairement à tous les esprits, en vertu d'un raisonnement bien simple sur les proportions et les mesures. Il suffit de regarder un triangle isocèle pour en mesurer, par un raisonnement rapide, les divers éléments et pour s'apercevoir qu'une ligne abaissée sur la base peut le partager en deux triangles symétriques et visiblement égaux. L'idée du milieu de la base, étant la plus simple, la, première, doit se présenter en premier lieu, en vertu d'un raisonnement rapide, il y a une raison pour choisir tout d'abord le milieu ; il n'y en a pas pour choisir un point quelconque plus qu'un autre. Là encore, pas le moindre jeu arbitraire de l'imagination. Un enfant qui s'amuse à tracer un triangle isocèle partagera ensuite son triangle en deux, par amour naturel de la symétrie. Or, la symétrie n'est qu'une identité de rapports ou de raisons, et cette identité est l'objet d'une déduction presque immédiate.

Les constructions mêmes de la géométrie sont déduites des principes antérieurement posés sur la nature de l'espace, sur la possibilité d'y mener des lignes en tous sens, sur les rapports nécessaires qui relient ces lignes, etc. Le géomètre ne construit rien sans raison; il ne fait aucune hypothèse sans

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raison ; il déduit ses hypothèses mêmes de principes non hypothétiques. Les définitions de la géométrie sont déjà des théorèmes ayant pour principes les propriétés essentielles de l'espace et la possibilité d'y tracer toutes les lignes, à commencer par les plus simples et les plus élémentaires, lignes droites, angle, triangle, carré, cercle, etc. Une définition doit être démontrée possible et nécessaire ; elle est donc déduite.

O u an cl on définit la droite « le chemin le plus court d'un point à un autre », Kant remarque qu'on fait la synthèse de la forme et de la quantité. Oui; mais, selon nous, c'est la forme seule qui devrait entrer dans une définition vraiment primitive : ou, si la définition proprement dite de la droite est impossible, dans la caractérisation primitive. La droite a pour qualité essentielle d'être l'intervalle le plussimp/e entre deux limites, d'une simplicité telle que deux points suffisent à déterminer la ligne dans toute son étendue, fût-elle prolongée àl'infini. C'est cette simplicité qui nous semble la vraie caractéristique de la droite et qui en fait la ligne élémentaire ou vraiment première. Et cette simplicité, à son tour, résulte d'une identité ou d'une constance qui, selon la définition célèbre d'Euclide, consiste en ce que la ligne droite tout entière est, dans sa forme et sa situation, toujours identiquement placée par rapport aux points qu'on peut prendre sur elle. Prenez deux points quelconques, la ligne entière ne change pas de forme ni de .situation par rapport à ces points ; elle conserve les mêmes relations d'ordre, dans l'espace, la même loi spatiale. On a prétendu trouver dans cette belle définition d'Euclide un cercle vicieux. Nullement. Elle exprime ce que nous disions tout à l'heure : l'identité fondamentale et la

simplicité constante d'une ligne que deux de ses points déterminent en soniniinitude. Quant à V unicité de la ligne droite, qui fait que, par deux points, on n'en peut faire passer qu'une, elle vient précisément de ce que la droite est la seule ligne qui, au point de vue qualitatif, présente le maximum de simplicité, n'ayant besoin, encore une fois, que de deux points pour être entièrement déterminée à l'infini l.

Maintenant, pour passer de la qualité et de la forme à la quantité, il y a entre deux points une ligne quantitativement \\x\$> petite que toutes les autres, et c'est la droite ; mais le chemin plus ou moins court à effectuer dans le temps et même dans l'espace n'exprime qu'une conséquence. Le plus petit et le plus grand sont une question de mesure et de quantité, que nous ajoutons (non pas a priori, mais n posteriori) à la question de figure et de qualité, mais qui ne devrait pas entrer dans la définition ou caractérisation première 2. Cette propriété nouvelle de plus courte ou de plus petite, qui appartient à la ligne droite, résulte analytiquement de sa forme simple et de la positio?i réciproque de ses points, par rapport auxquels la position de la ligne entière reste invariable. La quantité dérive ici de la qualité, de la figure dans l'espace. Il est possible que nous ne puissions pas déduire, par voie de raisonnement exprès, la petitesse muxima de la forme droite ; (encore a-t-on fait cette déduction) ; il n'en reste pas moins vrai que cette petitesse est incluse dans la forme, si bien qu'un coup d'œil fait saisir à la

1. Cette unicité est vainement niée par Riemann, qui. donnant le nom de droites à des courbes, peut naturellement en placer plusieurs entre deux extrémités.

2. Une vraie définition est d'ailleurs impossible ici, par cela même que la droite est la ligne simple.

fois la direction -et, comme conséquence, la petitesse maxima de la ligne qui joint les deux points, par rapport à toute autre ligne imaginée pour les joindre. En d'autres termes, à la considération primitive de la forme et de la position, ajoutez une considération nouvelle, celle du mouvement dans V espace et dans le temps, la qualité de ligne la plus élémentaire et la plus simple entraînera la quantité de langueur la plus courte. Ne sait-on pas qu'un mouvement curviligne est un changement continuel de direction suivant une ligne qui n'est nullement déterminée par les deux seuls points de départ et d'arrivée ? Une ligne courbe est le lieu géométrique de certains points jouissant tous d'une certaine propriété par rapport à un ou plusieurs autres points ; ainsi deux points quelconques de la circonférence jouissent de la propriété d'être également distants d'un troisième point, le centre. Gomment leur assimilerait-on le rapport intime des points dans la ligne droite, qui fait, pour revenir encore à Euclide, que deux quelconques d'entre eux sont toujours dans la même position que n'importe quels autres points par rapport à la ligne tout entière.

Telles sont les raisons logiques de la prétendue synthèse a priori, comme aussi du prétendu « choix arbitraire de la droite » comme mesure. La droite est la première et nécessaire dimension de l'espace : elle est la longueur, — non pas une longueur, mais la longueur même, la longueur dans sa pureté, la seule que nous puissions concevoir comme vraie longueur, la seule à laquelle nous rapportions toutes 1rs autres, la seule qui puisse, en prenant certaines directions différentes, devenir largeur et profondeur, exprimant ainsi les trois seules dimensions de

l'espace concevables pour nous. Or, on ne peut, en géométrie, prendre pour point de départ théorique ou pratique le complexe etle changeant, par exemple une courbe, au lieu du simple et de {'identique ; de là le triomphe logique de la droite en géométrie. De là aussi la vraie raison pour laquelle elle sert de mesure et de mesure commode. On ne mesure pas le simple avec le complexe, mais le complexe avec Je simple ; on ne mesure pas l'élément avec le tout, mais le tout avec l'élément ; la ligne déterminée par deux points peut seule être l'élément. Les vrais géomètres ne font rien, n'afïirment rien, ne supposent rien sans des raisons plus ou moins explicites ; leurs postulats mêmes se déduisent de la représentation de l'espace telle qu'elle existe en nous et qui est la condition de la représentation des corps. Quels pauvres géomètres seraient des géomètres utilitaires, tout comme des sculpteurs utilitaires seraient de pauvres sculpteurs !

LA GÉOMÉTRIE ET LE MOUVEMENT, FAUSSETÉ DE l'eMPIRISME GÉOMÉTRIQUE

Le combat contre la pensée, au profit de l'action, de la pratique et du mouvement, a pénétré jusque dans la géométrie, où la pensée triomphait jadis sans conteste. Selon Maxwell, la géométrie serait dérivée de la théorie du mouvement. A l'en croire, la géométrie n'étudierait vraiment que le processus au moyen duquel des figures sont tracées dans l'espace. Une ligne, dit-il, n'est pas un trait sur le tableau, qui puisse être appelé aussi bien BA que

AB; elle est, au contraire, « la voie » d'un mouvement de A vers B. — Cette dernière réflexion met à nu deux choses : une confusion et un cercle vicieux. La confusion consiste à prendre la manière psycho-physiologique dont nous concevons, nous, une ligne pour la ligne géométrique elle-même. Quant au cercle vicieux, il enserre toute la théorie de Maxwell. En effet, pour exécuter un mouvement, il faut d'abord une « voie » possible dans l'espace , avec point de départ et point d'arrivée, et cette voie est précisément la ligne ; celle-ci est donc indépendante du mouvement réel et reste la même en sa forme, en sa situation, en sa qualité, en sa quantité, qu'on la parcoure de A à B ou de B à A. Le géomètre n'a pas à s'occuper du bout par lequel on commence. Ses théorèmes font abstraction de tous ces détails étrangers. Les procédés au moyen desquels les lignes sont tirées dans l'espace n'entrent pas plus dans les théorèmes que les échafaudages dans l'édifice une fois construit.

Cela ne veut pas dire qu'on ne puisse, qu'on ne doive étudier géométriquement les mouvements qui engendrent les figures. Nous n'ignorons pas que, de purement statique qu'elle était chez les anciens, la géométrie est devenue encore, chez les modernes, dynamique ou cinétique. Sous ce dernier rapport, une courbe plane peut être décrite par le mouvement d'un point, et l'équation algébrique nous apprend ce qu'est le tracé de la courbe à chaque moment. C'est alors l'histoire et la genèse de la courbe au point de rue cinématique. En s'élevant à cette géométrie nouvelle. Descartes a retrouvé et géométriquement analysé, sous des formes abstraites, le procédé concret par lequel nous imagi-

LA GÉOMÉTRIE ET LE MOUVEMENT lj$

nons et traçons les figures. Nous finissons, après éducation, par embrasser un cercle d'un coup d'oeil ; niais, à l'origine, nous ne nous sommes représenté le cercle qu'en le traçant avec notre œil, en parcourant la circonférence tout entière pour en faire le tour et en mesurant de l'œil l'égalité des rayons. Tant que nous n'avons pas agi et mu, nous ne pouvons penser la courbe, ne l'ayant pas réalisée. Une idée étant une action, une idée de circonférence est, comme nous l'avons maintes fois répété, une action motrice traçant imaginativement une circonférence. L'enfant et Descartes, comme deux extrêmes, se touchent : tous deux apprennent en faisant. On peut donc et on doit étudier scientifiquement les rapports du mouvement aux figures, c'est-à-dire à toutes les lignes et conditions spatiales sans lesquelles il serait impossible.

Les modernes ont généralisé encore la méthode. La géométrie du mouvement est devenue la géométrie de la transformation, la notion de transformation étant considérée comme une généralisation de l'idée cle mouvement. On regarde telle surface comme engendrée par une courbe qui se déplace en se déformant. La conception cinématique de la théorie des surfaces a été précisée par l'emploi du trièdre. L'étude de la surface est alors ramenée à celle du mouvement d'un certain trièdre, et ce sont les propriétés de ce mouvement qui, dans cette forme cle géométrie, définissent les éléments géométriques essentiels.

La géométrie cinétique nous montre ainsi comment peuvent se révéler les propriétés géométriques dans l'acte même du mouvement. Il s'ensuit que la cinématique peut engendrer une géométrie.

Oui, mais c'est qu'elle la renfermait déjà dans son sein ; c'est qu'elle impliquait d'avance toutes les propriétés des lignes ou surfaces, dont elle ne nous fournit que la mmeutique. Le mouvement est un changement de rapports qui a pour condition tout un ensemble de rapports iixes, dont les plus essentiels se révèlent à nous dans le mouvement même. Sans ces rapports, qui sont constants, le changement dans l'espace ou mouvement serait impossible. Il y a donc une logique de r ordre, de la forme et de la quantité qui domine la cinématique même, quoique cette logique puisse, pour nous, se dégager de la mécanique appliquée au tracé des lignes, des surfaces et des volumes.

Qu'un Josué nouveau arrête non seulement le soleil, mais les étoiles et les mouvements de l'univers entier, qu'il fixe à jamais le monde tel qu'il est dans l'immutabilité, tous les rapports géométriques possibles n'en subsisteront pas moins. Bien plus, le mouvement géométrique subsistera, je veux dire le déplacement idéal des figures, leur superposition idéale, leur succession idéale, sans que le temps intervienne et prenne place parmi les considérations de la pensée. Tout attribuer au mouvement, en géométrie, c'est oublier que le mouvement lui-même n'est rien sans règle et que c'est cette règle qui importe. Par exemple, la règle du mouvement de mon compas, pour décrire un cercle, c'est l'égalité des rayons; donc c'est cette égalité, non le mouvement par lequel je la réalise qui définit la circonférence.

Les géomètres grecs se sont gardés d'introduire des considérations de mouvement, de temps, de nombre, de quantité même dans la géométrie proprement dite et statique; ils s'en sont tenus aux cou-

LKS JUGEMENTS MATHEMATIQUES i;>

sidérations de forme, comme s'y tiendrait un Phidias qui, en admirant la belle simplicité et la symétrie (Tune forme féminine, se moquerait du temps et du mouvement. Si les Grecs revenaient au monde, ils distingueraient dans la géométrie dynamique des modernes, 1° ce qui rentre dans la géométrie proprement dite, 2° ce qui n'est que géométrie appliquée au mouvement, ou mouvement appliqué à la géométrie.

Leibniz avait raison de dire que la géométrie relève du seul principe de contradiction appliqué à la représentation spatiale, tandis que la mécanique contient des éléments qui échappent à Y « imagination », c'est-à-dire à la représentation spatiale. Ces éléments sont la masse et, par suite, la force vive. Chasles, qui protestait contre l'intrusion exagérée de l'arithmétique et de l'algèbre en géométrie, admirait à bon droit la définition de la géométrie qu'on trouve dans Boèce : « C'est la science de la grandeur immobile, la description contemplative des formes, par laquelle on a l'habitude de rendre claires les limites de chaque objet. » Disciplina magnitudink immobilis, formarumque descriptio contemplatma, perquam uniuscujusque r<ji termini declarari soient.

Dans les « déplacements » , la géométrie a pour but de découvrir les « invariants ». Toute catégorie de transformations et de déplacements qui possède des invariants forme un groupe, au sens de Sophus Lie, et, inversement, tout groupe possède un certain nombre d'invariants qui le caractérisent. La géométrie a donc bien pour objet propre des rapports invariables dans l'espace, qui rendent euxmêmes les variations possibles. On objecte que la géométrie postule la possibilité de mouvoir et

transporter les figures dans l'espace sans que les invariants subissent de modification, sans que les lignes, les angles, etc., soient altérés. Mais ce transport, nécessaire à la superposition, est luimême une conséquence des définitions et axiomes, ainsi que de la nature de l'espace supposé absolument vide. A vrai dire, on ne transporte rien, on ne meut rien : on déduit de la nature de l'espace la possibilité de deux figures identiques en deux lieux différents, et on les compare en leurs éléments identiques.

Sans doute l'étude des déplacements et de leurs groupes est utile, elle est même nécessaire; il faut tout étudier, il faut prendre les problèmes par tous les bouts et, quand on a résolu un problème, en poser un autre ou poser le même sous une autre forme, dans d'autres relations : tout s'implique, tout est dans tout. Malgré cela, la figure est la figure, le mouvement est le mouvement, et la figure est, en elle-même, indépendante du mouvement, lequel, au contraire, dépend de la figure et de l'espace.

Allons plus loin. C'est précisément cette indépendance de lafigurepar rapport au mouvement qui est la base de la géométrie, loin que la géométrie ait le mouvement pour base. Bien plus, la géométrie établit des rapports indépendants des points particuliers de Y espace et du temps où ils peuvent se produire. Deux lignes égales sont la même ligne en deux endroits différents ; égalité, c'est identité après abstraction du lieu et du moment. Deux triangles égaux sont le même triangle en deux endroits, le même triangle répété deux fois. On a cependant prétendu que le nerf de la démonstration géométrique est la superposition, qui implique le mouvement dans l'es-

pace. — Qu'est-ce que l'égalité géométrique ? demandent à ce sujet M. Poincaré et ses partisans. « Deux ligures sont égales quand je puis les superposer. » -- Oui, mais la superposition n'est qu'une vérification de l'égalité préexistante, etcelle-ci consiste dans des identités de rapports indépendantes du procédé mécanique appelé superposition. On nous dit encore que superposer, c'est déplacer, ce qui suppose qu'on peut déplacer les objets sans les déformer, et, en conséquence, dit M. Bergson, que les objets sont des corps solides aux arêtes rigides. — Mais, si nous n'avions jamais connu que des fluides, serait-il donc impossible d'être géomètre et d'entrer dans l'école de Platon : pioùçeia-i-rw? S'il n'y avait pas de corps solides dans la nature, n'y auraitil plus de géométrie? Les figures qu'on superpose n'ont rien à voir avec la dureté des corps. Les distances AB, BC, CD, qui constituent un triangle, n'ont rien de commun avec la question de savoir entre quels corps concrets, solides ou fluides, se trouvent ces distances invariantes. En outre, le raisonnement de l'empirisme géométrique nous semble un cercle vicieux. Comment savons-nous que des corps sont solides, par exemple deux planches rectangulaires? C'est parce que nous jugeons qu'il y a des relations invariables dans l'espace entre leurs points, entre leurs lignes, entre leurs surfaces, relations indépendantes de leur position en tel lieu ou en tel autre. Nous interprétons géométriquement la dureté des corps. N'y eût-il que des liquides ou des gaz, n'y eût-il qu'un océan d'éther ballotté par une tempête éternelle, l'esprit concevrait encore des points, des intervalles entre ces points, des surfaces et des volumes. Un genre de vie éthéré ne changerait rien à nos théorèmes. Y a-t-il rien de plus fïuent et de

Fouillée. 12

plus fuyant que la durée? Nous y établissons pourtant des points de repère. Nous pouvons, grosso modo, mesurer le retour à intervalles sensiblement égaux de certains sons, de certaines douleurs internes. Dire que la géométrie dépend des solides durs revient à dire, croyons-nous, qu'elle dépend de la couleur des objets ou de leur son.

Quant à la superposition, dont M. Poincaré et tant d'autres font la base de la géométrie, c'est un procédé d'exposition ; ce n'est pas la vraie raison inhérente à une preuve. Cette raison estindépendante du mouvement et du transport dans l'espace ; elle consiste dans ces rapports d'ordre ou d'identité qui, nous l'avons vu, subsistent indépendamment de toute superposition etqui, seuls, rendent lu superposition possible connue conséquence. Considérez, par exemple, le théorème selon lequel, si un triangle a deux angles égaux, les deux côtés opposés sont égaux. Les modernes, comme grisés par l'idée de mouvement matériel, ont cru devoir imaginer ici une démonstration fondée sur le retournement de la figure. Prenons, disent-ils, un triangle ayant deux angles égaux et retournons-le à l'envers ; la figure n'a pas changé. Ou encore, on imagine deux triangles, dont le second est le premier retourné, puis on place le triangle retourné sur l'autre et on remarque que son sommet va tomber au point A, qui est le sommet du premier triangle. Selon nous, ce n'est là que le corollaire d'une rapide opération logique par laquelle on compare et identifie des conditions communes aux deux triangles, pour en déduire une conséquence également commune aux deux. C'est une méthode de substitution pur voie d'identités.

Quand je considère un triangle dont les angles

à la hase sont égaux, je déduis, sans aucun mouvement de superposition et encore moins de retournement à l'envers, que l'intervalle à l'extrémité duquel un des côtés formant un certain angle avec la base doit rencontrer l'autre côté est déterminé par l'angle que celui-ci forme lui-même avec la base. Les angles à la base étant égaux de part et d'autre, des conditions absolument identiques entraînent des conséquences identiques, Placez le triangle isocèle sous les yeux d'un enfant, sans retournement à l'envers, il mesurera directement du regard les deux angles à la base, il en admettra l'identité ; il comprendra que les deux côtés CA sont inclinés absolument de la même manière sur la base et que le point de rencontre doit être à égale distance pour les deux côtés, les conditions initiales étant identiques de tous points. L'égalité des côtés lui paraîtra se déduire de l'égalité des angles, dont elle est fonction, sans aucun besoin de mouvement ni de retournement. C'est cette égalité des angles qui est la vraie raison logique et explicative de l'égalité des côtés. Tout le reste est un appel à des conséquences ultérieures, étrangères, mécaniques et presque physiques, à des notions d'envers et d'endroit, de transport de gauche à droite, etc. Un nouveau Platon et même un nouveau Descartes dirait : — Je ne veux pas savoir s'il a jamais existé un. mouvement matériel dans l'univers, encore moins un animal ayant une gauche et une droite ; la figure est là, immobile et invariante pour l'éternité ; elle est là avec ses deux angles égaux qui entraînent logiquement les deux côtés égaux ; je n'ai pas besoin d'autre raison que l'éternelle identité des conséquences dans l'éternelle identité des principes.

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Examinez les autres théorèmes de géométrie où la superposition joue un rôle, vous verrez qu'elle est toujours un procédé dérivé, un corollaire, pour mettre en évidence des rapports d'identité et de symétrie qui la dominent et la justifient. Si deux triangles quelconques, qui ont un côté égal adjacent à deux angles égaux, sont égaux, c'est pour les mêmes raisons que tout à l'heure : l'inclinaison des deux côtés étant identique dans les deux triangles, le point de rencontre des côtés doit être également identique de part et d'autre, parce qu'il est uniquement fonction des deux angles. Toutes les promenades de triangles les uns sur les autres, toutes les embrassades de triangles sont de simples conséquences ; elles ne sont pas les raisons explicatives tirées de la constitution interne des figures, de l'ordre, de la symétrie et de la liaison de leurs parties, de l'identité de leurs rapports. Si deux triangles qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux sont égaux, c'est encore pour les mêmes raisons. Toutes les conditions initiales sont identiques ; comment voulez-vous que, entre les deux extrémités des deux côtés égaux et également inclinés l'un sur l'autre dans les deux triangles, se produise miraculeusement une distance différente, un troisième côté inégal? Son inégalité contredirait l'égalité de toutes les autres conditions dont il dépend. Je m'appuie, au fond, sur les lois communes de la déduction et de ce qu'on nomme l'induction : les mêmes antécédents entraînent les mêmes conséquents ; il n'y a ni changement de conséquence logique sans changement de principe, ni changement de résultat réel sans changement de conditions réelles. Nous sommes en plein dans le royaume de l'identité et de la raison suffisante : nous avons

LÀ GÉOMÉTRIE ET LE MOUVEMENT i <S i

affaire à la « caractéristique universelle », aux rapports logiques et ordinaux, non aux rapports mécaniques et physiques.

Bien plus, la superposition géométrique ellemême, qui a l'air d'être un mouvement, est au contraire, selon nous, une nouvelle affirmation de V indépendance de la fi (jure par rapport au mouvement ; elle ne semble faire appel au mouvement que pour X éliminer en réalité.

En résumé, il semble que, malgré leurs belles découvertes, bien des géomètres contemporains, quand ils veulent philosopher sur la géométrie, se fassent illusion à eux-mêmes, méconnaissent leurs propres manières de procéder, les rabaissent à un empirisme terre à terre. Ils sont en réalité des logiciens et logisticiens subtils, condensant une masse de raisonnements dans une prétendue intuition sensible. Ils confondent leurs marches et contremarches avec les procédés réels des choses, leurs moyens de mesure et de contrôle avec les rapports d'identité ou de similitude qui existent entre les figures mathématiques. Ils ont beau traiter Euclide et les Grecs avec quelque dédain, les mathématiciens hellènes avaient, croyons-nous, un profond sentiment de la rigueur logique et mathématique ; moins mécaniciens et moins physiciens, ils étaient plus géomètres ; ils pensaient que, pour comprendre une figure, il faut la regarder elle-même dans les liens de ses éléments internes, et non regarder à côté . Ce n'est point le compas ou la corde tendue qui fait le cercle ; c'est la possibilité et la nécessité de cercle qui rend possible l'usage du compas ou de la corde. La circonférence n'est pas vraiment engendrée par le mouvement tournant d'une ligne ;

iS'2 LA PENSÉE

elle est un produit tout logique, tout ordinal, tout symétrique : étant donné un centre, je peux et dois concevoir une série de points à égale distance de ce centre et formant une courbe continue. La possibilité du cercle est un théorème et sa définition est une conséquence de ce théorème. Répétons-le donc, le cercle éternellement présent à une pensée, sans avoir été tracé dans le temps, serait encore le cercle ; il serait même le vrai cercle, constitué par des relations fixes et immuables de ses éléments, malgré la mobilité de tous les compas entre toutes les mains humaines. Est-ce à dire que la géométrie soit la science du repos? Non, elle ignore le repos comme le mouvement; elle ignore aussi le temps, qui n'apparaît que dans la cinématique ; elle est toute à l'espace et à ses déterminations possibles. Elle est prédynamique et aussi pré-statique, parce qu'elle est la logique de l'ordre régissant les coexistences dans l'espace. Elle est la première et la plus faible matérialisation de la pensée; elle ne mêle rien de contingent à ses lois nécessaires. Les « hypothèses » mêmes dont elle part sont des thèses imposées par la nature de la représentation spatiale et de son objet ; elles sont, encore une fois, déduites de la nature de l'espace ; elles ont en ellesmêmes un caractère de nécessité, quoique les esprits humains ne les aient pas tout de suite découvertes ni formulées dans leur ordre véritable. De ce que nous ne pouvons pas expliquer pourquoi il y a de l'espace et pourquoi, en fait, nous le concevons, il ne s'ensuit nullement que l'espace soit contingent et que notre conception soit elle-même contingente. Notre déterminisme mental est sous la dépendance du déterminisme des choses et, en dehors de ce double déterminisme, il n'y a rien

pour nous de positivement concevable ni de saisissable. Tout, clans les mathématiques, doit donc être déterminé nécessairement, raisonné et raisonnable. Le rôle de l'expérience, le rôle de la

volonté et de la convention, le rôle du nominatisme, tout cela y est nul ou devrait y être nul, si les géomètres étaient meilleurs logiciens, s'ils savaient mieux mettre en lumière les vraies raisons explicatives de tout ce qu'ils affirment, supposent, construisent, définissent et démontrent. Pas un mot no devrait sortir de leur bouche qui ne fût un arrêt théorique, non un « service » pratique \

1. Les physiciens qui ne sont pas géomètres vont plus loin encore que les géomètres empiristes. Le Dr Gustave Le Bon a dit que. pour rendre plus exacte les délinitions classiques de la géométrie, il faudrait dire : — « Point ». figure géométrique à trois dimensions, toutes assez petites i our pouvoir être négligées dans les calculs. Ligne droite : Figure géométrique à trois dimensions dont deux sont assez petites pour pouvoir être négligées dans les calculs, etc.. » Que penseront les géomètres de cette géométrie qui supprime l'idée du point, celle de la ligne droite, celle du plan, etc.1? M. Le Bon en conclut que par deux points, c'est-à-dire par deux petits volumes, on peut mener plusieurs parallèles à une droite. Si c'était là la géométrie, non-euclidienne, son établissement serait commode. Quant aux logiciens, ils n'admettront pas qu'une distance, résidu de l'abstraction, se ramène à un volume, pas plus que ne s'y ramène le point, autre limite de L'abstraction.