Nombre

78. — Lorsque je passe d'un sujet à un autre, ou d'un moment à un autre, j'accomplis une série d'actes de la conscience ou de la pensée qui répondent chacun à un sujet, quel qu'il soit,

1. Plotin emploie une expression bien remarquable lorsqu'il dit {Ennead, III, 7 II) que le temps dérive de l'inquiétude de l'àme du monde (Suvotfxcç oôx 7]<jvxoç). — Saint Augustin, dans son examen théologique et psychologique du concept de temps où il se montre si subtil et si ingénieux, fait apparaître le temps au moment de la création ; il peut par conséquent laisser sans réponse la question de savoir ce que Dieu faisait avant la création. Confessiones, XI, 13.

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ou répondent à un moment, de quelque façon qu'il soit rempli, que les sujets où les moments soient homogènes ou hétérogènes, simples ou composés. De tels actes peuvent être regardés comme identiques, abstraction faite de leur contenu ou de leur objet. Là se trouve la possibilité du concept de nombre.

Mais là aussi a lieu pas à pas l'épuration des différences qualitatives. Préalablement, chaque acte de la conscience ou de la pensée a une qualité déterminée par son contenu et par sa place dans la série de temps. 11 est plus facilede faire abstraction du contenu que du caractère particulier que l'acte de la pensée prend par la place qu'il occupe dans la série successive des actes de la pensée. Ce caractère peut être désigné comme une qualité de numéro d'ordre. Une différence, résultant de causes psychologiques, se fait sentir entre le septième et le huitième acte de la pensée, par exemple, quand je parcours une série de sujets. Je suis autrement disposé pour le premier que pour le second, que cette différence soit due à la fatigue ou à n'importe quelle cause. Et quand deux membres doivent être comparés, la différence est d'autant plus grande que leur distance dans la série est plus grande aussi.

La forme primitive du concept de nombre est le numéro d'ordre que le sujet particulier prend comme objet d'un acte de pensée qui suit ou précède d'autres actes de la pensée concernant la même suite de sujets. La condition de ce nombre ordinal ou de cette qualité de nombre est que les sujets n'apparaissent pas d'une façon absolument continue, mais soient séparés par le temps ou par la qualité ou par l'un et l'autre. Une série de différences à variations identiques peut alors se constituer (65). — Elle sera formée plus facilement si les sujets apparaissent successivement que s'ils apparaissent simultanément. Dans ce dernier cas, nous devons prendre l'initiative de la formation de cette série tandis qu'au contraire la succession même contient une incitation à rattacher le suivant au précédent.

Le concept de nombre propre, non plus le concept de nombre ordinal, suppose qu'on ait découvert que par beaucoup de voies différentes on arrive à la même place dans la série des numéros. Je puis, par exemple, arriver au numéro huit, en partant de

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n'importe quel autre numéro d'ordre, quelque grande que soit la distance et de quelque côté qu'il se trouve. Il n'y a que cette différence, qu'il y a besoin de plus ou moins d'actes et que le sens peut être différent. Ces actes sont de même espèce que ceux qui conduisent du numéro 1 au numéro 8. Par suite, le concept 8 peut être défini de plusieurs manières différentes, non seulement comme 7 + 1, mais aussi, entr'autres, comme 100 — 92. Il apparaît donc clairement que les divers actes de la pensée ne sont en vérité que des répétitions d'un seul et même acte, qu'ils sont mutuellement identiques, indépendants de la place qu'ils occupent dans lasérie de variations identiques, aussi bien que de la nature du sujet. Le concept dénombre peut avoir maintenant son caractère purement formel ; l'élément qualité en est dégagé.

Helmholtz et Kronecker, dans leur théorie psychologicogénétique du concept de nombre, prennent leur point de départ dans le nombre ordinal comme étant le signe qui indique laplace de l'élément particulier en tant que membre d'une série. Ils cherchent à montrer comment le concept de nombre a évolué peu à peu vers sa pure forme *. Georg Cantor a protesté là contre. Pour lui, le concept de nombre est un concept général qui s'applique aux différentes quantités (quels que soient là nature et l'ordre des éléments dans ces quantités). Le nombre ordinal, dans le sens que Helmholtz et Kronecker donnent à ce mot, est pour Cantor « le dernier et le moins important pour la théorie scientifique des nombres; » ce sontdes marques qui indiquent l'ordre (notæ ordinales), non véritablement des nombres (non des numeri ordinarii 2). lime semble que Cantor ne voit pas que lorsque nous avons une représentation du développement d'un concept et que ce développement est arrivé à un certain degré d'achèvement, le point de départ peut paraître « sans importance » et sembler dérivé. Une représentation génétique suit un autre ordre qu'une représentation systéma-

1. Helmholtz : Zahlen und Messen, erkenntnis-theoretisch betrachtet. — Kronecker : Ueber den Zahlbegriff. Ces deux mémoires se trouvent dans le livre d'or publié en l'honneur de E. Zeller, 1887.

2. Cantor: Mitteilungen zur Lehrevom Transfiniten. (Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Krilik. Neue Folge, vol. 91, 1887), p. 86.

Hôffding. — Pensée.

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tique. Le concept de nombre comme concept général a eu un long développement historique que la théorie de la connaissance peut avoir un grand intérêt à résumer dans une vue d'ensemble, ainsi que l'ont fait Helmholtz et Kronecker.

C'est la signification positive de la répétition qui sépare la théorie du nombre et la mathématique en général, de la logique. Comme Leibniz l'a démontré A + A = A ou, comme Boole l'a exprimé, X 2 = X, est une équation fondamentale de la pure logique. Ni le contenu, ni l'étendue d'un concept ne peut être changé par la répétition. Un cheval est un cheval quel que soit le nombre des chevaux donnés. Mais mathématiquement A -}- A= 2 A (ou A < A2). Le concept de nombre naît d'une synthèse de différences identiques, c'est-à-dire de différences qui sont l'objet d'un même acte de la pensée qui se répète, ou d'une synthèse de différentes identités, c'est-à-dire de sujets qui ne sont différents que parce qu'ils sont l'objet d'actes de la pensée ayant lieu à des moments différents. La répétition suppose à la fois l'identité et la différence. La logique s'en tient à ce que la répétition suppose l'identité. Mais la mathématique admet que même les sujets identiques peuvent être l'objet de différents actes de la pensée. Deux concepts ne peuvent être unis par une synthèse pour former un nouveau concept (combinaison de concepts) que lorsqu'ils sont différents. Mais au moyen d'une synthèse, deux nombres peuvent fournir un troisième nombre, qu'ils soient identiques ou différents parce que, dans les deux cas, ce sont proprement des actes de la pensée qui sont résumés. La logique est impuissante à l'égard des différences absolues. (Voir 62 et 69.) Mais la mathématique commence parla pensée que même des identités (AAA...) peuvent donner lieu à différents actes de la pensée (différents par le moment où ils s'accomplissent) et que même à des différences (ABC...), on peut appliquer des actes de pensée identiques, différents seulement par le moment où ils se passent. En adoptant ce point de vue, la mathématique devient une science plus concrète que la logique.

Le processus par lequel se forme le concept de nombre se poursuit dans l'histoire de la théorie des nombres. On a déjà vu ci-dessus qu'on pouvait compter dans deux sens, de 1 à 8

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ou de 100 à 92. Grâce à ces deux sens dans la numération, la série des nombres peut embrasser à la fois les nombres positifs et les nombres négatifs ; ils se continuent mutuellement. Entre les nombres aussi, dans la série des nombres, on peut continuer de numéroter et de compter au moyen de fractions et de valeurs de nombres approximatives auxquelles conduit l'effort fait pour déterminer le rapport irrationnel. Si la formation de nombre va dans une autre direction que la double direction désignée par les séries de nombres positifs et de nombres négatifs, si elle se dirige de côté au lieu d'aller en avant ou en arrière, la série des nombres imaginaires est formée, symbolisée par une ligne verticale tombant sur la ligne habituelle de la série de nombre. On atteint une continuité de plus en plus grande dans les séries, avec des différentielles de différents ordres, aussi bien qu'au delà des séries une fois formées, avec des nombres croissant indéfiniment. Le concept de l'infini a sa base en ceci, que la même règle et la même loi peuvent s'appliquer également, si courte que puisse être la distance entre les membres d'une série ou si longue qu'elle soit au contraire. Ainsi que Leibniz 1 l'a dit : « La considération de l'infini vient de celle de la similitude ou de la même raison. »

La possibilité même de former de pareilles séries, qui, en raison de leur loi constitutive, peuvent être continuées indéfiniment a un grand intérêt comme étant caractéristique de la pensée humaine. Elle nous montre le continuel rapport d'opposition de l'identité ou de la différence dans la forme et dans le domaine où il peut être déterminé de la façon la plus tranchée. Par là une expansion libre, mais pourtant conforme à la loi, point par point, devient possible. Cette possibilité est purement formelle par cela qu'il est toujours question de savoir s'il y a des sujets qui puissent répondre aux divers membres des séries. Mais elle a sa valeur en elle-même comme satisfaction d'un besoin intellectuel qui repose au fond de la nature humaine, besoin qui se satisfait dans le pur monde des formes et qui, aussi bien, conduit à travailler dans le monde des valeurs et des sujets réels. Et la satisfaction de ce besoin donne un puis-