CHAPITRE PREMIER

Les mathématiques.

Les mathématiques ont toujours occupé, aux yeux des philosophes, une place privilégiée parmi les sciences. Platon en situait l'objet dans une région intermédiaire entre le monde des phénomènes sensibles et celui des réalités intelligibles. D'une part, les objets mathématiques, et en particulier les figures de la géométrie, s'adressent à l'imagination, comme les choses sensibles ; d'autre part, les vérités mathématiques, comme les idées et les rapports des idées, présentent un caractère de fixité immuable et éternel. C'est pourquoi l'étude des mathématiques est une excellente préparation à la philosophie, qui est la science des idées. Tout en laissant encore à l'esprit le secours de l'intuition sensible, elle l'accoutume à la vérité stable. Durant toute l'antiquité les mathématiques, comme leur nom l'indique, furent la science par excellence. La physique, moins sûre de son objet et de sa méthode, se séparait difficilement delà spéculation philosophique, et se prêtait mal à la forme purement scientifique.

Pour Platon donc, et pour ceux qui l'ont suivi, les mathématiques ont des caractères qui les distinguent de l'étude des phénomènes. Elles participent, dans une

LES MATHÉMATIQUES l/j3

certaine mesure, de la nature de la science conçue comme portant sur ce qui est, sur la réalité absolue non soumise au changement ni au mouvement. Il est vrai qu'elles partent de définitions et d'hypothèses. Mais, les principes une fois posés, elles se développent a priori par une suite de démonstrations nécessaires, comme la dialectique des idées.

Cette conception offre un mélange d'éléments métaphysiques et d'éléments positifs. Elle implique que l'objet de la science est la réalité telle qu'elle est en soi ; mais, en même temps, elle voit dans la démonstration le caractère essentiel de la science. Une longue évolution, qui aboutit à la doctrine de Comte, a fait disparaître de la science les éléments métaphysiques, tandis que les autres subsistaient. Loin de dire avec Platon ou avec ses successeurs qu'il n'y a pas de science du phénomène, ou de ce qui passe, Comte pense au contraire que la science a pour unique objet la réalité phénoménale, en tant que soumise à des lois. Elle n'a pas à rechercher les causes ni les substances : il lui suffit de déterminer des relations invariables.

Si les mathématiques ont été longtemps les seules sciences proprement dites, et si elles sont aujourd'hui encore les plus avancées de toutes, c'est que les phénomènes géométriques et mécaniques sont en elfet les plus simples de tous, et les plus naturellement liés entre eux. La période où ils ont été étudiés par l'observation a donc pu être très courte, si courte même qu'il n'y a pas d'absurdité a soutenir qu'elle n'a jamais existé, et que, dans ce cas, la connaissance rationnelle n'a pas étc prJcudée par la constatation empirique des faits, ]\iais la diilcrence entre les mathématiques et les autres

sciences n'en reste pas moins une différence de degré, non de nature. Les mathématiques ont une avance sur les autres sciences ; elles ne sont pas sur un autre terrain. En un mot, les mathématiques sont, comme toutes les autres, des sciences naturelles.

Cet effort pour présenter l'ensemble des sciences comme homogène, c'est-à-dire pour éviter que les mathématiques d'un côté, et les sciences de la nature de l'autre, ne forment deux classes distinctes, avait déjà été tenté avant Comte. Il s'imposait, pour ainsi dire, aux philosophes modernes, depuis que Descartes avait cherché une méthode universelle pour la science conçue comme une. Comte, qui a très bien vu le défaut de la conception cartésienne, où l'ascendant des sciences mathématiques se fait encore trop sentir, n'a cependant pas nié que sa propre conception ne procédât de celle de Descartes. L'idée de l'homogénéité des sciences se retrouve aussi, sous une autre forme, chez Leibniz, et même chez Kant. La Critique de la Raison pure ne montre-t-elle pas que les mathématiques d'une part, et la physique de l'autre, reposent également sur des principes synthétiques a priori ? Dans les Prolégomènes à toute métaphysique juture, de même que le chapitre correspondant à Y Esthétique transcendentale est intitulé « Comment les mathématiques pures a priori sont-elles possibles P » , le chapitre correspondant à la Logique transcendentale porte pour titre « Gomment la physique pure a priori est-elle possible? » Sur un autre plan, la théorie de Comte est parallèle à celle de Kant. Ici comme là, les mathématiques aussi bien que la physique reposent sur des principes synthétiques, — supérieurs à l'expérience, dit ivant, — provenant de

l'expérience, dit Comte. Celui-ci ne connaissait pas, il est vrai, la théorie de Kant, et l'eût-il connue, il ne l'aurait pas acceptée. Mais l'analogie des tendances n'en subsiste pas moins sous la diversité des doctrines.

L'antécédent immédiat de la théorie de Comte se trouve chez d'Alembert. « Nous distribuerons, avait dit l'auteur du Discours préliminaire, la science de la nature en physique et mathématiques. »

Toute science a son origine dans un art correspondant. Les mathématiques sont nées de l'art de mesurer les grandeurs. Cet art, en effet, serait bien rudimentaire, si nous ne pratiquions que la mesure directe. Parmi les grandeurs qui nous intéressent, il en est fort peu que nous puissions mesurer ainsi. Par suite, l'esprit humain a dû chercher à déterminer les grandeurs indirectement.

Pour connaître des grandeurs qui ne comportent point une mesure directe, il faut évidemment les rattacher à d'autres qui soient susceptibles d'être déterminées immédiatement, et d'après lesquelles on parvient à découvrir les premières, au moyen des relations qui existent entre les unes et les autres. « Tel est l'objet précis de la science mathématique dans son ensemble1. » On voit aussitôt qu'il est extrêmement vaste. S'il faut insérer un grand nombre d'intermédiaires entre les quantités que l'on désire connaître et celles que l'on