I. Cours, I

Lévt-Buhl. — Aug. Comte.

sait mesurer immédiatement, les opérations peuvent devenir très compliquées.

En principe, selon Comte, il n'y a pas de question, quelle qu'elle soit, qui ne puisse finalement être conçue comme consistant à déterminer des quantités les unes par les autres, et par conséquent qui ne relève des mathématiques. On dira sans doute qu'il faut tenir compte, non seulement de la quantité, mais aussi de la qualité des phénomènes. Cette objection, décisive aux yeux d'Aristote, qui ne concevait pas qu'on pût légitimement p.eraoaX).£iv eiç (Dlo ylvoç, ne vaut plus pour les modernes. Ils ont vu, depuis Descartes, appliquer l'analyse aux phénomènes géométriques, mécaniques, et physiques. Ce que l'on a su faire pour ces phénomènes, il n'y a pas d'absurdité à le concevoir comme possible pour les autres. Toute relation entre des phénomènes quelconques doit pouvoir se représenter par une équation, sauf la difficulté de trouver cette équation et de la résoudre1. En fait, nous sommes vite arrêtés par la complexité des données. Dans l'état présent de l'esprit humain, il n'y a que deux grandes catégories de phénomènes dont on connaisse constamment les équations : ce sont la géométrie et la mécanique.

Cela posé, l'ensemble de la science mathématique se divise en deux parties : la mathématique abstraite et la mathématique concrète. Celle-ci étudie les lois des phénomènes géométriques et mécaniques. L'autre est constituée par le calcul, qui, si l'on prend ce mot dans sa plus vaste extension, embrasse depuis les opérations numériques les plus simples jusqu'aux plus sublimes

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combinaisons de l'analyse transcendante. Il est purement (( instrumental. » Ce n'est, au fond, autre chose qu'une « immense extension admirable de la logique naturelle à un certain ordre de déductions. »

Cette partie de la science mathématique est indépendante de la nature des objets examinés, et porte seulement sur les relations numériques qu'ils présentent. Par suite, il peut arriver que les mêmes relations existent dans un grand nombre de phénomènes différents. Malgré leur extrême diversité, ces phénomènes seront considérés par le mathématicien comme offrant une question analytique unique, qui peut être résolue une fois pour toutes. « Ainsi, par exemple, la même loi qui règne entre l'espace et le temps, quand on examine la chute verticale d'un corps dans le vide , se retrouve pour d'autres phénomènes qui n'offrent aucune analogie avec le premier ni entre eux ; car elle exprime aussi la relation entre l'aire d'un corps sphérique et la longueur de son diamètre ; elle détermine également le décroissement de l'intensité de la lumière ou de la chaleur à raison de la distance des objets éclairés et échauffés, etc. 1 » Nous n'avons pas de méthode générale qui serve indifféremment à établir les équations de phénomènes naturels quelconques : il nous faut des méthodes spéciales pour les diverses classes de phénomènes, géométriques, optiques, mécaniques, etc. Mais, quels que soient ces phénomènes, une fois l'équation posée, la méthode pour la résoudre est uniforme. En ce sens, la mathématique abstraite est réellement un « organon. »

La géométrie et la mécanique, au contraire, doivent

i. Cours, I, na.

l48 LA PHILOSOPHIE d' AUGUSTE COMTE

être regardées comme de véritables sciences naturelles, fondées, ainsi que les autres, sur l'observation. Mais, ajoute Comte, ces deux sciences présentent ceci de particulier, que, dans l'état présent de l'esprit humain, elles sont déjà, et seront toujours davantage, employées comme méthode beaucoup plus que comme doctrine directe. De sorte qu'en fait les mathématiques sont « instrumentales », non seulement par leur partie abstraite, mais aussi par leur partie relativement concrète. Elles servent tout entières d' « outil » aux sciences plus compliquées, telles que l'astronomie et la physique. Elles sont donc bien la vraie « logique des modernes. »

Dans l'étude philosophique de la mathématique abstraite, Comte passe successivement du calcul arithmétique au calcul algébrique, et de celui-ci à l'analyse transcendante ou calcul différentiel et intégral. Après avoir exposé la façon de présenter ce calcul d'après Leibniz et d'après Newton, il se range à celle de Lagrange, qui lui paraît la plus satisfaisante. A la fin de sa vie, il est vrai, il avait beaucoup rabattu de son admira- K tion pour l'auteur de laMécanique analytique. Sans entrer ici dans le détail des questions, nous nous bornerons à indiquer une considération, qui paraît capitale à Comte r sur la portée de la mathématique abstraite. Qu'il s'agisse de l'analyse ordinaire, ou surtout de l'analyse transcendante, Comte fait ressortir à lafois l'extrême imperfection de nos connaissances, et l'extraordinaire fécondité de leurs applications. Nous ne pouvons résoudre qu'une^ bien faible partie des questions qui se présentent à nous dans ces sciences. Cependant, « de même que, dans l'analyse ordinaire, on est parvenu à utiliser à un degré immense un très petit nombre de connaissances fonda-

mentales sur la résolution des équations, de même, si peu avancés que les géomètres soient jusqu'ici dans la science des intégrations, ils n'en ont pas moins tiré, de notions abstraites aussi peu multipliées, la solution d'une multitude de questions de première importance, en géométrie, en mécanique, en thermologie, etc.' » C'est que la moindre connaissance abstraite se trouve naturellement correspondre à une foule de recherches concrètes. La plus puissante extension des moyens intellectuels dont l'homme dispose pour la connaissance de la nature consiste a s'élever à la considération d'idées <le plus en plus abstraites, et néanmoins positives. Abstraite sans être positive, notre connaissance est « fictive », ou « métaphysique. » Positive sans être abstraite, elle manque de généralité, et ne devient pas rationnelle. Mais quand elle peut, sans cesser d'être positive, atteindre à un haut degré d'abstraction, elle atteint, en même temps, la généralité, et, à la limite, l'unité, qui sont la fin de la science.

De là, l'importance de la belle découverte mathématique de Descartes, et aussi de l'invention du calcul différentiel et intégral, qui peut être considérée comme le complément de l'idée fondamentale de Descartes sur la représentation analytique générale des phénomènes naturels. C'est seulement, dit Comte, depuis l'invention de ce calcul, que la découverte de Descartes a été comprise et appliquée dans toute son étendue. Non seulement ce calcul procure une « admirable facilité » pour la recherche des lois naturelles de tous les phénomènes ; mais les formules différentielles peuvent, grâce