CHAPITRE PREMIER L ARITHMÉTIQUE ET L'ALGÈBRE

- Descaries avait cru fermemcMilà la nécessité (Vune méthode unique. Pour lui c'était une marque suffisante de la faiblesse <ies sciences de son temps, que la diversité de leurs procédés.

La logique pure, l'analyse des anciens, l'algèbre des mo- <iernes, sont trois branches de la science véritable, mais aucune <rolles isolement ne j)eut la suppléer. La logique nous frappe par sa rigueur, l'algèbre par son étendue, l'analyse par sa fécondité. Réunissons en \\x\ faisceau unique les ressources <iont disposent ces trois sciences. Alors seulement nous parviendrons fi TAlgèbre parfaite, qui est aussi la vraie logique. Mais si l'unité de méthode n'est pas acquise avant l'emploi du calcul, il n'est géométrie qui ne soit trompeuse ni déduction qui ne devienne illusoire. C'est précisément parce que Descartes voit dans la géométrie analytique le seul type de science parvenue à Tunité, qu'il prétend y trouver le modèle de toute pensée déductive.

Knlre la mort de Descartes et le moment où Newton publie son Arithmétique universelle, les mathématiques ont progressé dans des voies multiples. L'algèbre n'est plus cultivée seule. L'étude des nombres a été reprise par Newton, telle à peu près que Fermât l'avait laissée, pendant que Leibniz fait voir, par ses travau.x sur les séries infinies, que les développements numériques peuvent seuls mener h l'analyse des courbes. De la sorte l'idée cartésienne que l'algèbre applicpiée à la géométri(\ où, comme nous disons depuis, la géomélrie analytique, est la méthode unique de démonstration, reçoit un démenti. L'arith-

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2 LA PHILOSOPUIK DK NEWTON

métiqiio, que Doscartcs avait rclcp:u6c» au ransç d'applicaliou particulièn^ est de nouveau rendue indépendante de l'algèbre, et, à certains éj^ards, plus utile quelle.

Il est des notions, comme celle du nombre entier, que l'algèbre n'arrive ni à discuter, ni même à exprimer. Bien ]>lus, iî est vraistMublable que les proirrcs tle rariflimclique, parliculièrement en ce qui concerne la tliéorit» des nond)res premiers, loin de nous mener uniformément à laljUfèbn», nous conduiront de plus en plus à faire \m dé[)art (Mitre nos notions, les unes proprement al^ébriqu(»s, se ramenant aux symboh^s des opérations, b^s autres dcî nature vraiment arilbmélicpie, et nécessitant un mode d<î raisonnenuMit distinct du mécanisme littéral. Newton a pressenti celte distinction, ci on sait comme les récents proirres de la tliér)rie des nombres ont conlirmé sur ce ]ioinl les vues de Newton ^

Aussi hwn ce cpie nous venons de dire de l'Arillimétique p(Mils'appli<pier avee autant d'(\\aclitude à louUvsles brandies des matliématiipies. Là où Desearles, épris d'unilé, et séduit par Tatlrail de ses prr)f)res découvertes, voulait tout réduin» à l'alirèbr*». Newton, plus prudent, et plus instruit peut-éln» de l'évolution raf)i<le dos méthocbîs, se contente de voir des procédés connexes et qui convergent indépcMidammenl. H ne lui déplaît j)as d'avoir à sa disposition, dans les <*as dilHciles, ])lus d'un moyiMi. et si l'algèbre, par la docilité de son mécanisme, est généralemeiil celui ipii s'inditpie (lavantaire, l aritlimétique, surtout pour le raisonniMUcMit concret, est souvent plus ]h*oiVunb' el parfois seule utib». Dans bien lU^^i cas (n'i l'algèbre mène pénibb'ini'nt au but, Tliomme d'intuition verra d'un <'oup d'o'il la solution ariibméti([ue-. VA comme souvent l'algèbre elle aussi a l)(\soin d intuition, on peut dire ipie « rArilbmé- (i(jue es! iudispiMisable à rAlgèbn», el ipi*' leur réunion seule forme la scienet^ ct)mplèt'' <lu calcul».

I. Vi»y. ptH" i'x«'iujili' Ic.^ I.ei-'ms sur In Thro, ic tit\s Kitscinh/rs iU^ M. liinih* l(i>[i'l. (>ri iinil riittiii'lirr (''jLrali'rinM)! h l'AiillniiiMiiiiic pun' la phipart <ios traviiux >nr h"> imliittis de pui>>ati('(.> r\ <!•* iutnihn' lrari>liiii.

-. ■■ Parmi i»'* pnihliMin's il ri\ «•>! ipii'lqu«>-iiMs «pu- jai i-.snliis sans le •^iTuiiis (if raliri'hri- : i-t j'ai \oiiIii fain* cnmpnMHliv p.n- Ui «pu* fi'Hr (pa'>lina «pii paratl ilillitilc an pn-niici' ruup d'ipil. na ponilant {la^ Nmjuni's l)i>nin «i'îjli^i'ljit» puni' rirr ii^nInc. ■• — >Arilfi. (.iiir„ p. :.*.»l . — Li* .-s ci lalions sont laiU's il apri's la tradncliou Not'l liramlt-iix. Paii>. t^ni.

LARITUMETIQUE ET L'ALGEBRE 3

Quelle est donc la différence essentielle qui sépare l'Algèbre de rArithmctique, et nous autorise à faire de cette dernière une science originale ?

Si tous les problèmes étaient susceptibles de mise en é(iuation, c*est-à-dire si, désignant l'inconnue par une lettre analogue àcellcsqui marquent les quantités connues, il nous était toujours loisible de la faire entrer dans nos formules à seule lin de l'en dégager ensuite, l'Algèbre, par sa généralité, aurait place partout. Mais les choses se passent autrement. Comme Newton l'observe, il est tout un ordre de questions, et ce sont les questions arithmétiques, où il n'y a qu'une marche possible, celle qui va du connu à l'inconnu. En vain nous supposerions connu le nombre à découvrir ; nous pourrons bien poser les identités auxquelles il doit satisfaire, mais la discussion de ces identités n'avancera pas le problème. Je suppose qu'on me demande de déterminer, s'il est possible, un entier x tel que <ix soit congru à h suivant le module n ; je pourrai bien poser la relation qui exprime l'ensemble des données

ax — 6 = 0 (mod. ri.)

Mais tandis que Téquation algébrique

ax — 6 ^= 0.

fournit tout de suite la formule de résolution

ici le cas est différent ; l'existence d'une solution est incertaine, et, s'il en existe une *, il n'y a pas de formule qui la détermine : c'est seulement par voie synthétique que le nombre x peut se trouver, et encore sa recherche complète nécessite-t-elle une série d'essais.

Ainsi le signe distinctif des questions d'Algèbre, c'est quelles peuvent toujours, sinon se résoudre, du moins se mettre en équation, tandis que l'Arithmétique, réduite à lemploi de la seule synthèse, estquelcjuefois parfaitement topique, mais parfois aussi pleinement impuissante. Il est donc juste de dire,

1. n suffit que a soit premier avec n. On sait qu'il y o aIor> une infinité de solutions.

4 LA piiilosophiiî: de newton

comme le pensait Descartes, que l'application de Talgèhre est plus vaste que celle de rarithmélique, mais en même temps il faut reconnaître que Talfifèbpe laisse en dehors d'elle toutes les questions, cependant fort nombreuses, qui sont rebelles à la mise en éciuation.

L'illusion de Descartes en faveur de Taljifèbre s'explique aisément. A vrai dire, sa grande invention, Tartifice qui lui a permis d'étendre à l'infini le domaine du calcul, c'est l'emploi général qu'il fait de la méthode des coefficients indéterminés, Descarles le premier a bien vu qu'il suffit de donner un nom aux quantités encore inconnues (indéterminées) et d'exprimer algébriquement les relations qui les unissent aux données, pour obtenir, par l'identification des termes semblables, toutes les équations (jui résument le problème. Gomme les équations ol)fenues sont généralement simples, Descartos avait pu croire qu'une algèbre rigoureuse pourrait toujours en tirer la solution. Nous verrons plus tard comment Newton, n^venant à ces équations composées que Descartos avait abordées à peine, fit voir ipit; bien souvent leur résolution pratique est impossible, et inventa pour y remédier les méthodes d'approximation qui l)ortent son nom. On pouvait dire dès lors qu'il n'y a pas de question algébrique qui ne soit résoluble, au moins d'une façon aussi approchée qu'on le désire ; en arithmélique au contraire nous ne pouvons apj)rocher de la solution sans l'obtenir tout entière. Souvent nous manquons de ressources, et là où l'algèbn* fournit pour le moins des équations exact(\s, il arrive quf rariliimétique ne puisse absolument rien donn(»r. C'est là le secret des difficultés que rarithméti(|ue, même de nos jours, a rencontrées dans l'étude des nombres premiers ; c'est aussi l'explicalion des raj)i(les [)rogrès de l'algèbre dans les matières qui y semblaient les plus rebelles. C'est sans contredit à D(»scarles et à .sa méthode des coefficients indéterminés qu'il faut raj)porter W mérite de ces ])rogrès. « Que ne doit pas la (îéométrie à son ingénieux artifice des indéterminées ? » dit le mathémalicii'U Heaudeux dans son discours préliminaire à l'Arilhmélique de Newton. On comprend que, séduit par la puissance <lc celte méthode, grâce à laqur^lhî (^ on résout des prol)lème> très difficiles, dont on eiH vainemiMit cherché la solution par Tarltiuiiélique seule », Descartes ait songé ày ramener

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loules les mathématiques. Nous venons de voir que Xewton, moins ébloui des cas où l'algèbre réussit que soucieux de ceux où elle échoue, s'occupe d'abord de lui adjoindre l'arithmétique proprement dite. II nous faut montrer comment, de ces deux sciences connexes, il fait son Arithmétique universelle.

La première chose qui frappe à la lecture de l'ouvrage de Newton, est Tabsence voulue d'esprit systématique. Nous entendons par là que nulle part Newton n'a le souci de tout ramener à une « longue chaîne de raisons » permettant de déduire sans lacune de quelques théorèmes primitifs la suite des propositions secondaires. On sait le prix qu'attachait Descartes à cet enchaînement synthétique de toutes les vérités. Dans les Règles pour la direction de l'Esprit, comme plus tard dans les Méditations, il insiste sur ce point qu'une proposition n'est acquise que du moment où nous en voyons le lien avec loules celles qui la précèdent. Un théorème, même important, n'a nulle valeur, s il demeure isolé. Sa force réside en ce qu'il repose sur tous ceux qui viennent avant lui; c'est pourquoi la nouveauté qu'il apporte ne peut apparaître en pleine lumière si on ne la voit pas au jour des déductions déjà assurées.

Une telle conception était naturelle chez un métaphysicien doctrinaire, qui voyait d'emblée la science dans toute son unité, et attachait peut-être plus de prix à la place (lu'occupe une notion daris le système de nos connaissances qu'à la notion elle-même. A coup sûr, pour la stricte raison, il n'y a pas de science là où manque la cohésion, c'est-à-dire là où l'esprit ne peut passer d'un terme à l'autre sans secours extérieur.

l^e souci de la déduction linéaire n'est pas poussé à ce point chez Newlon. Ce n'est pas à dire que lui aussi ne tienne à construire des ensembles corrects, et à rattacher toutes les propositions les unes aux autres. Mais, débarrassé d'arrière-pensées métaphysiques, préoccupé bien davantage d'aboutir à des règles pratiques, il s'efforce de justifier ses formules par l'exemple plutôt que par la logique, d'habituer l'esprit à [exercice d'artifices multiples, plutôt que de lui faire voir au fond de toutes les méthodes un seul et même procédé. S'il n'y avait là qu'une négligence, un moyen commode d'abréger les choses, on pourrait se permettre de voir chez Newton un certain défaut de rigueur. Mais c'est volontairement que Newton omet un

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fixer la direction. Au lieu de cela, disons avec Ncvvlon que les notions mathémali(iues nous sont suggérées (làgc en âge par les besoins de la pratique, qu'elles sont seulement une précision de plus introduite dans le langage vulgaire, et qu'il ci> doit surgir de nouvelles le jour où se posent des problèmes, nouveaux; nous ferons des mathématiques une scionce appliquée, mais en môme temps nous en assurerons l'évolution et le progrès. 11 convenait à l'esprit concret de Newton de ne pas opposer le calcul du savant aux connaissances de l'homme ordinaire. Entre les abstractions de l'algèbre et les impressions de la vie quotidienne, il n'y a pas cet abîme profond qui séparait pour DescarteB l'idée innée de l'idée empirique. Les unes et les autres se tiennent, et la science, même abstraite, n'est comme le diront plus tard les positivistes qu'un « simple prolongement de la raison publique ».

L'idéal de l'Algèbre et de l'Arithmétique n'est plus alors de partird'emblée du minimum de définitions nécessaires, et de les développer sans lacune comme sans défaillance ; il ne faut point construire laborieusement un édifice qui n'abrite rien de réel. 11 convient bien plutôt, et c'est ce que fait Newton, de partir des données du bon sens et de faire ressortir l'aspect par où elles donnent prise en calcul. Le jour où d'autres données surgiront, le centre de gravité des mathématitiues se déplacera. Pour le moment l'astronomie, la physique, la mécanique, ou encore l'économie politique, peuvent fournir des exemples aussi précis que la géométrie. La notion du mouvement, celle de la vitesse, comme aussi celle de la valeur, sont des idées empiriques à coup sur et pourtant mathématiques par quelque coté. Newton, qui les examine toutes, leur emprunte à toutes des exemples, (juil s'efforce de varier autant que possible. Sou but est avant tout d'apprendre au lecteur à préciser l'expérience par le langage, et c'est là une définition toute nouvelle de l'algèbre comme de l'arithméticiue.

11 est aisé de comprendre à présent comment vont s'introduire dans l'arillimétique les quelcpies notions qui servent de base aucalcul. C'est par opposition aux doctrines cartésiennes, mais c'est surtout par contraste avec une grande partie des mathématiques modernes, qu il est facile d'aj)])récier l'originalité du point de vue de Newton. Pour un esprit comme celui

L'ARITHMÉTIQUE ET L'AUiÈBRE 0

«le Descarlcs, il était nécessaire que les concepts de nombre, depuis le nombre entier jusqu'au nombre « sourd » ou irrationnel, faisant tous partie de cette « lumière naturelle » que Dieu a mise primitivement en nos âmes, apparussent comme des données abstraites, justifiées par leur seule évidence. L'idée du nombre cardinal ou de la quantité, l'idée du nombre ordinal ou deia succession, se trouvent de toutes pièces dans notre entendement, et si elles ne suffisent pas dans toutes les reclierches, ce sont d'autres abstractions, l'idée du nombre « rompu » ou fractionnaire, celle du nombre « sourd » ou incommensurable, qui viendront répondre aux besoins de l'esprit. De la sorte les notions arithmétiques se présentent comme des conventions logiques, des définitions nécessaires^ que nous avons le droit de poser parce qu'elles sont claires, et qui doivent réussir parce qu'elles sont distinctes. C'est déjà la tendance spinoziste, qui place au début de toute science quelques définitions absolues, d'apparence verbale, mais dont la nécessité éclate aux yeux de la pure raison.

Chez bon nombre de mathématiciens modernes une tendance analogue se fait jour, et bien qu'on n'y puisse retrouver la môme confiance métaphysique, on y distingue un ég«il souci de définir les mathématiques indépendamment de la réalité. En algèbre comme en géométrie, un effort considérable a été fait pour séparer l'ensemble des applications possibles et celui des axiomes nécessaires ; partout où une notion irréductible se rencontre, qu'il s'agisse par exemple de nombres imaginaires, de variables complexes, ou encore de transcendantes nouvelles, on a voulu tourner la difficulté à l'aide d une convention. Le nombre imaginaire n'est pas un objet à concevoir; c'est le résultat d'une pure convention, en vertu de laquelle j'associe deux nombres réels, en m'astreignant à observer entre eux un certain ordre. Les étendues h ?i dimensions ne sont pas une notion nouvelle par rapport à l'espace ordinaire-, elles aussi dérivent d'une simple convention, j)ar laqu(îlle j'étends aux systèmes de ?i variables indépendantes les propriétés qui me sont familières dans le cas de trois variables seulement. Quant aux transcendantes que l'analyse nous découvre, il nous est d'autant plus facile d y voir un effet de nos conventions qu'à côté d'expressions régulières, aisément

iO LA PHILOSOPHIE DE NEWTON

applicables aux cas réels, il nous est possible de construire des fonctions spéciales, jouissant de propriétés arbitraires, et vraisemblablement incompatibles avec tous les exemples que la pratique peut fournir. De la sorte toutes les notions mathématiques deviennent des définitions conventionnelles. Par là nous évitons le reproche de leur donner une origine innée, bien qu'en réalité nous conservions l'avantage, si cher aux Cartésiens, de leur laisser une certitude antérieure à toute expérience. Les mathématiques n'ont pas à rechercher Torigine des notions sur lesquelles elles travaillent. H leur suffit que les notions puissent se poser sans contradictions et s'adapter aux vérités admises. Ainsi elles se mettront à labri du scepticisme le plus hardi, car si rien n'est plus facile à révoquer en doute qu'une idée iimée, rien aussi n'est moins arbitraire qu une convention consciente.

Une pareille façon de présenter les choses aurait été admise par Newton dans un ouvrage d'enseignement. Là sans doute, ù condition qu'on veuille sacrifier tout à la rigueur didactique, il est permis de présenter les êtres mathématiques comme des créatures tout abstraites, issues de leur définition. Mais si nous voulons tirer de Talgèbre la réalité qu'elle contient, nous ne devons pas, dès le début, enlever aux notions les plus simples tout caractère empirique. Au contraire, l'étude rationnelle des nombres doit avoir pour but de nous apprendre à liro, sous un langage plus clair, le sens concret que les choses elles-m«'m<'S nous fournissent confusément. Voilà pourquoi Newton tire successivement, non de conventions abstraites, mais de l'expérience sensible, d^abord 1 idét» du nombre entier, puis celle du nombre négatif, du nombre incommensurable, du nombre imaginaire comme plus lard il y rattachera celle du nombre infiniment j>etil.

Le nombre entier ne nous est pas donné par la numération d'objets discontinus. L'idée de collection, sur laquelle on fonde généralement aujourd'hui celle du nombre entier ', ne semble à Newton qu'un cas particulier. En vérité, en parlant de cette idée, les Cartésiens avaient beau jeu pour faire du nombre le type des natures simples ou innées. Mais à mesure cpiils le