Voy. J. ïannery, Arithmétique

L'ARITHMETIQUE ET LALGKBRE il

rendaient plus clair, plus distinct, tranchant davantage sur le reste de nos idées, ils rendaient plus difllcile le problème des rapports de ce nombre entier aux autres nombres, nombres fractionnaires et nombres irrationnels, visiblement suggérés par rexpérience.

On respecte bien davantage Thomogénéité de notre esprit en reconnaissant, comme le fait Newton, qu'il y a partout un lien étroit entre l'idée de nombre et l'idée de mesure^, a On entend par nombre moins une collection de plusieurs unités qu'un rapport abstrait d'une quantité quelconque à une autre de même espèce, qu'on regarde comme l'unité ». C'est donc le besoin de la mesure qui a créé le nombre. Si le nombre entier nous semble et est en effet le plus simple de tous, c'est qu'il est le plus commode pour donner une première idée de la grandeur des choses. Lorsqu'il s'agit de dénombrer les t(>tes d'un troupeau ou les habitants d'une ville, il suffit pleinement adonner une mesure exacte ; s'il nous faut estimer la longueur d'une route, la profondeur d'un fleuve, il nous donnera encore une approximation première. Dans l'un et l'autre cas il fonctionne de même, non comme un instrument conventionnel, mais comme un simple procédé de comparaison entre les choses.

Cependant, dira-t-on, n'y a-t-il pas une large part d'arbitraire dans les opérations fondamentales ? Les propriétés de l'addition, de la multiplication, donnent au nombre sa véritable valeur, et sans cette génération des nombres les uns par les autres il serait impossible d'arriver à un système d'évaluations correctes. Or dans l'addition, dans la multiplication, n'est-ce pas la convention qui fait tout ? La nature ne nous présente ni somme, ni produit. Ce sont là des définitions abstraites dont l'origine ne peut être empirique. Il faut les ex])liqucr a priori.

Personne plus que Newton n'attache d'importance aux opérations arithmétiques. 11 compte comme une des quatre parties du travail algébrique le fait de se fami.ariser avec les opérations fondamentales ^ 11 est donc loin de méconnaître la fécondité des définitions premières, qui servent de base à ces opé-

\. Ariih. Univ., p. 2 2. Ibid.

lubie. c( II faut bien que dans les équations il y ait des racines impossibles, sans quoi, dans les problèmes, certains cas impossibles se trouveraient possibles* ».

Pourquoi Newton n'a-t-il pas, comme on devait le faire plus tard, cherché à créer une nouvelle classe de nombres, les nombres complexes, pour rendre réalisables des opérations impossibles autrement r 11 lui suffisait d'un symbole nouveau applique aux racines «fausses », et permettani l'extension naturelle des règles ordinaires du calcul, pour aboutir au nombre imaginaire, comme il avait rencontré déjà le nombre fractionnaire et le nombre irrationnel. Une telle généralisation nous semble aujourd hui aisée. De simples considérations de symétrie nous persuadent qu'une équation donnée doit avoir, dans tous les cas, le même nombre de racines. Mais c'est là une vue synthétique que ne pouvait avoir l'algèbre à ses débuts. Chez Newlon particulièrement, pour qui l'algèbre marche de pair .avoc la géométrie, toute généralisation du calcul doit avoir son fondement dans une mesure concrète. On comprend aisément (ju'il faille des nombres nouveaux pour mesurer des longueurs qui ne sont pas commensurables avec l'unité parce que •de pareilles longueurs se présentent effectivement dans la nature. Mais rien dans la nature ne répond à une grandeur imaginaire. 11 est donc vrai de dire avec Newton que si le calcul nous 4imène à des racines qui ne sont pas réelles, c'est un signe que le problème étudié ne peut avoir d'interprétation concrète. Il ne fîuidrait pas conclure de là ([ue l'emploi si fécond des imaginaires ne puisse, par une voie détournée, amener à des solutions positives. 11 est seulement fort naturel que ces voies détournées n'aient été utilisées qu'assez tard, après les progrès de l'analyse à la fin du xvni'' siècle. Newton, à l'exemple de ses contemporains, envisage les racines imaginaires comme un simple moyen de reconnaître, lorsque la géométrie ne nous apprend rien, si un problème est possible ■ou impossible, car « une figure a des limites qu'une équation ne reconnaît pas. »

Quolli^ que soit la nature des nombres dont nous nous servons, lïous (h'vons, en dernière analyse les faire entrer dans nos