De Quad, Curv. p

« l'ostquam vero fluentcs ex fluxionibus collectae sunt, si de veritate conclusionis dubitatur, Fluxiones Fluentium invenlarum vicissim coiligendae sunt , et cum fluxionibus sub initio propositis comparanda*. Nam, si proderuntiequales, conclusio recte se habel, sin minu.s, corrigenda; sunt fluentes sic, ut earum Fluxiones Fluxionibus sub initio proposilis a^quentur. Nam, et fluens pro libitu assumi potcst, et assumplio corrigi, ponendo fluxionem (luentis assumptae œqualem fluxioni proposila;, et terminos homologos inter secomparando. Et his principiis via ad majora struitur. »

Ce procédé de vérification peut même mener plus loin. Si, après avoir substitué la quantité trouvée, nous constatons qu'elle ne satisfait pas exactement à l'équation, nous avons au moins une première idée de l'erreur commise et souvent le calcul nous suggère l'addition d'un terme correctif. Ce terme correctif pourra être suffisant dans certains cas. Alors le problème doit être considéré comme complètement résolu. Mais si, malgré la correction, nous n'arrivons pas à une identité, de nouvelles vérifications nous amèneront à introduire des corrections nouvelles, et ainsi de suite jusqu'à la limite où nous obliendrons, sous forme de série, une solution rigoureuse.

La vérification n'est donc pas une opération stérile. Non seulement elle s'impose toujours, puisque rien ne garantit d'avance la convergence des développements, mais encore elle suggère naturellement un système d'approximations successives propre à mènera des déterminations exactes ^

On a là un exemple frappant de la façon dont l'esprit empirique a pu aider au progrès des mathématiques. Newton part de cette idée que la méthode des fluxions est un fil directeur, un instrument de découverte, permettant surtout de pressentir les solutions. Une solution n'est véritablement acquise que lorsque les expressions suggérées par le calcul ont été vérifiées par un calcul inverse. Le calcul inverse à son tour peut aider au redressement du calcul primitif, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne une expression définitive. 11 est donc juste de dire, en un certain sens, que les séries dont Newton fait usage, comme les séries célèbres que Mac Laurin et Taylor allaient formuler bientôt, manquaient à cette époque de fondement théorique. Les conditions de leur convergence n'étaient pas démontrées. Mais si Newton, malgré cette lacune, a pu étendre sa méthode des fluxions à une multitude de problèmes nouveaux, il faut en rapporter certainement le mérite à sa prudence d'esprit. Soucieux non seulement de découvrir des développements neufs et élégants, mais encore des solutions valables aux problèmes que pose la nature, il complétait toutes

i. Comp. avec les méthodes d'approximations usitées dans la théorie des équations différentielles. V. p. ex. Picard, Traité d'Analyse, T. U

et ni.

ses analyses par des vérificalions et des contre-épreuves. Il a créé ce qu'on pourrait appeler l'empirisme mathématique.

Si nous cherchons à résumer ce que les découvertes de Newton ont ajouté aux résultats de ses prédécesseurs, nous verrons que son originalité réside dans les trois points suivants.

D'abord il a compris que les différents problèmes dont se préoccupait le monde savant avaient une origine commune et devaient se résoudre par une méthode commune. Les questions de quadrature ou de rectification, le problème des tangentes ou celui des normales, reposent tous sur une même notion, celle d'infiniment petit ou de moment. Si l'Algèbre spécieuse de Wallis n'arrivait pas plus que celle de Descartes à traiter d'une manière uniforme tous ces problèmes, c'est qu'elle ne possédait aucune notation commode pour désigner les moments. La première invention de Newton est celle d'une notation différentielle.

En second lieu, Newton a saisi le lien de réciprocité rigoureuse qui rattache le calcul intégral au calcul différentiel. Bien qu'avant lui on eût donné des exemples du « problème inverse des tangentes », Newton le premier a fait voir que Fluenles et Fluxions se déterminent les unes les autres. L'Algèbre généralisée de Barrow permettait, dans certains cas, de trouver les fluxions ou les incréments en partant de fonctions données. On savait aussi remonter des fluxions aux nombres dans quelques circonstances très particulières. Newton, en partant du développement du binôme, et en tirant de là ses développements généraux en série, fit voir qu'un algorithme simple permet, dans tous les cas, avec une approximation aussi grande qu'on le veut, de passer des accroissements aux nombres ou des nombres aux accroissements.

Enfin la méthode de Newton avait un caractère pratique. Les artifices inventés pardeSluse, par Iludde, par Wallis, réussissaient dans certains cas et échouaient dans d'autres. Newton a soin d'appliquer aux différentes catégories de problèmes des méthodes proportionnées à leur difficulté. Les expressions dont il est fait usage sont toujours vérifiées à posteriori, et la convergence de ces expressions contrôlée par une sommation directe.

L'esprit pratique de Newton va même plus loin. Afin d'éviter aux calculateurs le soin de refaire sans cesse les mômes opérations, il propose de consigner dans une table les résultats numériques les plus importants afin qu'on puisse s'y référer systématiquement : c'est l'idée du Catalogue des Quadratures. Par là Newton ne dépassait pas seulement la méthode des mathématicens contemporains, il jetait les premières bases de la Théorie des Fonctions et traçait sa voie à TAnalyse moderne.

Nous avons tenu à présenter la Méthode des Fluxions à ui> point de vue mathématique abstrait, pour permeltro de saisir sa tiliation exacte par rapport aux doctrines antérieures. Nous avons dit que le problème des tangentes, le problème des quadratures, et les autres diflicultés auxquelles se heurtait la géométrie du temps avaient amené les mathématiciens anglais et hollandais à inventer de nouveaux artifices, soit de calcul, soit de notation, et que Newton, généralisant ces recherches, avait donné une forme systématique à l'Analyse nouvelle. Mais ce serait méconnaître le sens véritable de la méthode de Newton que d'en limiter l'interprétation au domaine strictement mathématique. Wallis, Hudde, Fermât, et quelques autres précurseurs de Newton sont géomètres et rien que géomètres. Mais déjà Descartes avait réduit la géométrie au rôle d'auxiliaire de la physique et de la logique. Barrow, le maître de Newton, s'occupait autant d'optique que de mathématiques, et il est probable que Newton lui dut le goût précoce des recherches concrètes qui l'empêcha de se spécialiser dans les mathématiques pures.

Quoi qu il en soit, dès 1669, c'est-à-dire dès l'époque où Newton composa les premiers écrits mathématiques qui nous soient restés, il est certain que la physique, la mécanique et l'astronomie étaient devenues sa préoccupcition essentielle. Les premières expériences sur l'optique datent d(^ 1066, (^t Newton lui-même rapporte les premiers théorèmes de sa mécanique aux années 1665-1666*. Ceci explique ])Ourquoi dès

1. Bien que cette date soit facile à justifier au point de vue personnel de

celle époque les conceptions malliématiques de Newton sont empreintes d'allusions directes soit à la dynamique, *soil à la physique. Déjà dans VAyialysis per jEquationes Numéro Termtnoru77i Infinilas, Newton, bien qu'il annonce une doctrine purement algébrique, se sert d'idées et d'expressions empruntées aux sciences appliquées. A plus forte raison dans ses ouvra>i^es ultérieurs, la Méthode des Fluxions et la Quadrature des Cou7'bes, voit-on les problèmes dont s'occupe Newton revêtir une interprétation de plus en plus concrète et se rapprocher davantage des problèmes mécaniques. Si nous passons aux P7^i7icipes Mathématiques de la Philosophie Naturelle, qui contiennent la forme la plus mûre du calcul Newtonien, nous voyons que le langage abstrait a presque complètement disparu. Les quantités algébriques et géométriques sont remplacées par des vecteurs et des trajectoires. Les incréments ou h's décréments des lignes, les maxima ou les minima des fonctions, sont toujours interprétés mécaniquement. Le mot même de fluxi07i a disparu, il est régulièrement remplacé par celui de vitesse. Ainsi l'évolution du calcul des fluxions devait se ressentir non seulement de la géométrie infinitésimale, mais de la mécanique infinitésimale et de la physique infinitésimale. Issu des découvertes concrètes de Kepler et de Galilée, le calcul (les indivisibles n'est dirigé par Newton dans la voie algébrique que pour mieux revenir à ses origines, c'est-à-dire aux applications réelles.

La dilîérence do ton entre le langage des Principes et celui des premiers écrits de Newton est tout d'abord si frappante, qu'elle fait croire à un changement d'idées. Les grandeurs dont il est fait mention sont envisagées comme des variables mécanicjues. Une fonction n'est pas un ensemble de valeurs considérées indépendamment de leur genèse, et qui correspondent d'une manière tout abstraite aux valeurs d'une certaine variable. C'est une suite, ou mieux une succession de grandeurs qui sont engendrées d'une façon continue par un

Newton, on peut prétendre avec M. Rosenberger {Jsaac Sewlon und seine Physikalische Principien, chez Barth, Leipzig 1895, !!• Partie, ch. I) que les "historiens ont eu trop de tendance à ramener à cette date roriginc objec- Uve (ie la mécanique céleste. Cette découverte avait été préparée par des travaux antérieurs dont Newton n'avait pas encore pu prendre connaisfiancé.

mouvement donné, dans un temps donné. La fluxion d'une quantité quelconque, son incrément ou son décrément, n'est pas l'élément très petit qui s'ajoute d'une façon idéale à la grandeur donnée par le fait d'un accroissement virtuel de la variable. C'est l'augmentation réelle de la fonction quand la variable reçoit un déplacement réel. Partout les infiniment petits, comme aussi les infiniment grands, au lieu d'être assimilés à des nombres arbitraires qui s'ajoutent abstraitement aux nombres donnés, deviennent l'expression de mesures concrètes, correspondant à une réalité mécanique.

On peut juger de cette tendance par le lemme T' du Livre I. Il s'agit de définir l'idée de limite d'une façon générale, qu'elle s'applique aux grandeurs numériques, géométriques ou algébriques. Newton fait intervenir dans sa définition, d'une manière explicite, 1 idée de temps. Les grandeurs dont il s'occupe sont supposées varier dans le temps, même si elles se présensent in abstracto comme de simples paramètres indéterminés. La notion de temps est d'après lui indispensable pour conduire à celle de limite, quand môme il semble que cette dernière se conçoive clairement par la seule étendue. Le Lemme de Newton s'énonce alors ainsi : les quantités et les raisons des quantités qui tendent continuellement h devenir égales pendant un temps fini et qui, avant la fin de ce temps, approchent tellement de l'égalité que leur différence est plus petite qu'aucune différence donnée, deviennent à la fin égales. Bien que Newton essaye en quelques lignes de fournir une démonstration de ce LemmeS il est clair qu'il y a là une définition première plutôt qu'une conclusion démontrable. Le point important de cette définition, c'est qu'elle permet une vérification pratique. Comme les quantités tendant vers une limite doivent l'atteindre dans un temps fini, il devient évident que l'existence des limites relèvera plutôt de l'observation que du calcul. Là où nous admettons l'existence d'une limite, il faut qu'il existe une expérience réalisable, portant sur des grandeurs mécaniques^ et dont l'interprétation conduise à voir celte limite comme un fait. En d'autres termes, si le Calcul des Fluxions veut se fonder sur une base solide, il faut que les.