Ibid

Uas motuum vel incremcntorum velocitates nominando Fluxiones , et quantitates genitas nominando Fluentes, incidi paulatim annis 1665 et 1666 in Methodum Fluxionum qua hic usus sum in Quad. Curv ». — « Fluxiones sunt quam proxime utFluentium Augmenta œqualibus temporis particulis quam minimis genita ».

récentes émises par les modernes *. On va voir quelle simplification Newton a introduite dans la science en mesurant indirectement la croissance à l'aide d'unités mécaniques, et non, comme on peut essayer de le faire, d'une manière directe au moyen de l'algèbre.

Si nous considérons les valeurs successives que prend une fonction quand la variable augmente, on peut se demander comment la fonction se comporte quand la variable croît indéfiniment (on suppose que la fonction demeure définie). On peut aussi, au lieu de faire croître la variable indéfiniment, la faire tendre uniformément vers une limite finie. Dans les deux cas, la question se pose d'évaluer la croissance ou la décroissance de la fonction. La notion intéressante développée de nos jours, c'est qu'il est possible de se faire une idée de cette croissance ou de cette décroissance en la comparant à des types canoniques de fonctions croissantes ou décroissantes. Supposons par exemple qu'il s'agisse d'une fonction régulière, dont le développement en série deTaylor soit connu dans le voisinage d'un point, on saura que son type de décroissance, lorsque x tend vers la valeur zéro, est le même que celui de la variable ou d'une puissance positive de la variable. Si l'on étudie une fonction entière dans le voisinage du point à l'infini, il pourra arriver que son type de croissance soit le même que celui de l'exponentielle, ou que celui d'une transcendante croissant plus vite que l'exponentielle. D'une façon générale il sera possible d'instituer une « échelle de croissances » ou un tableau de fonctions types, dans lequel viendront se placer, directement ou par interpolation, toutes les fonctions qui se rencontrent dans le calcul. Dans cette conception, la comparaison des grandeurs au point de vue de la croissance relative peut se faire d'une manière purement algébrique. C'est un problème de classification, entièrement indépendant delà notion de vitesse.

Newton n'a pas le moindre pressentiment d'une classification de ce genre, et Ton peut ajouter qu'au point de vue pratique cette lacune a eu des effets heureux. Si les premiers efforts de la science s'étaient portés sur une comparaison théorique des fonctions, il est extrêmement vraisemblable que vu le petit

1. V. Borel, Mémoire sur les Séries Divergentes, Ann. de TÉcole Normale Sup. 1899.

nombre de fonctions connues à cette époque, on n*eût obtenu aucun résultat. Au heu de cela, une variété immense de problèmes mécaniques se présentaient comme pratiquement donnés et nécessairement résolubles. Dans ce domaine laccroissement des distances, la limite des vitesses, le rapport des espaces, etc., soulevaient des problèmes de mesure qui obligeaient à faire choix d'un mouvement canonique, type régulier de changement, auquel les autres puissent se comparer. Or ce type normal de croissance nous est offert parla nature môme. C'est la croissance uniforme et illimitée du temps pendant lequel le mouvement s'effectue C'est à ce type que nous rapporterons les autres, et nous sommes assurés que celte comparaison est possible, puisque tout ce qui ne varie pas uniformément s'écoule dans le temps, qui lui varie uniformément. Nous avons là une véritable règle, qui peut servir à l'évaluation de changements même irréguUsrs. Transportons cette notion de temps dans le calcul des Fluxions. La croissance uniforme et continue pourra se comparer à la fluxion du temps, pris non> pas formellement, mais métaphoriquement. La croissance irrégulière ou non-uniforme se comparera aux vitesses variées qu'on rencontre dans les problèmes mécaniques ^ De toute façon, la comparaison des fluxions prend un sens simple et concret, que l'algèbre proprement dite ne pouvait suggérer tout d'abord. Le calcul infinitésimal, du moment qu'il s'inspire d'analogies mécaniques, ne peut-il être accusé de manquer de rigueur ? Les lois du mouvement ne nous sont connues que par des expériences approchées, et si ces lois doivent nous guider dans la solution des problèmes abstraits, ces problèmes eux aussi ne seront résolus que d'une manière approchée. La vitesse est accessible à nos sens d'une manière assez grossière. C'est une

1. Cf. Méih. Flux. p. 54. « Cum autem hic Tempus tantum considerandum veniat, tanquam expositum etmensuralum œquabili motu locali. et, praeterea , cum solae quanUlates ejusdem generis inviccm comparari valeant, ut et velocitates quibus augentur aut minunlur; idcirco in iis qua; sequuntur, Tempus formaliter non considero, sed suppono quod una ex proposilis quanUtatibiis homogenea cum aliis crescat sequabili fluxu. ad quem OcCterfc, tanquam ad Tempus, referantur, quaî ideo per analogiam haud inconcinne dici potest Tempus, Quotles igitur vox Tempus in sequentibus invenictur (eam autem sspiuscule usurpavi perspicuitatis et distinctionis causa), hoc verbum sumendumest non quasi Tempus inlellexissem in sua formali significatione, sed tanquam significansquantitatem illam a Tempore divcrsam, cujus aequabili Incremento vel Fluxu Tempus exponitur et mensuratur ».

Newton a l'idée très exacte que les formules tirées de sa méthode, étant calquées sur les problèmes mécaniques, ne peuvent donner qu'une détermination relative. Elles impliquent une certaine part d'arbitraire, que les conditions initiales peuvent seules lever. Le calcul infînitésimal renseigne bien sur la correspondance de grandeurs variant ensemble {contemporaneœ), mais le point de départ de cette correspondance doit être un couple de valeurs données par une mesure absolue. Ce qu'on peut demander à la méthode nouvelle est donc différent de ce que donne l'algèbre. Celle-ci fournit toujours l'expression complète d'une grandeur en fonction d'une autre, elle permet de tirer d'une relation implicite un nombre déterminé. Au contraire l'analyse infinitésimale ne permet de tirer d'une relation qu'une autre relation. Substituant aux relations infinitésimales des relations en termes finis, elle introduit une part d'arbitraire que les problèmes réels ne comportent pas. Comme un problème de mécanique céleste reste le même lorsqu'on le déplace dans l'espace et dans le temps, une équation <lifférentielle demeure satisfaite pour tout un ensemble de solutions. Ces deux espèces d'indétermination sont aux yeux de Newton solidaires l'une de l'autre. Le calcul infinitésimal et la dynamique proprement dite sont tous deux et pour la même raison des sciences rigoureuses, mais relatives.

Reste-t-il possible alors que la méthode de Newton, comme il arrive pour la méthode cartésienne ou la méthode de Leibniz, constitue aux yeux de son auteur un instrument parfait, universel, dont il reste à faciliter l'emploi, mais dont on ne saurait songer à étendre la portée ? Est-elle la réponse unique, définitive à toutes les questions d'ordre mathématique, ou peuton concevoir à côté d'elle d'autres procédés de calcul, valables dans certains domaines, et que l'analyse infinitésimale domine sans les détrôner ?

On sait que Descartes, bien qu'il se soit borné aux quantités finies, attribuait à son algèbre une portée absolue. Pour lui la géométrie des anciens, de même que l'algèbre des modernes, devenaient désormais sans emploi. Tous les problèmes devaient se résoudre de la manière la plus commode et la plus simple par sa méthode de constructions fondée sur la classification des courbes. Descartes croyait en effet qu'il n'était pas de ques-

lion, si composée soit-ellc, que remploi de l'énumération ne permît de ramènera un système d'équations, soit algébriques^ soit transcendantes. 11 pouvait donc dire dans son Discours de la Méthode qu'il connaissait le moyen de s'élever c à toutes les vérités que Tesprit humain saurait trouver K » Non seulement il était venu à bout de quelques questions qu'il avait jugées autrefois fort difficiles, mais il lui semblait aussi vers la fin qu'il pouvait déterminer, en celles môme qu'il ignorait, par quels moyens et jusqu'où il était capable de les résoudre. On comprend alors qu'il ait négligé de chercher dans la géométrie classique ou dans la théorie des indivisibles la solution d'aucune difficulté. 11 ne prévoyait la possibilité d'aucun problème où son algèbre pût être mise en défaut.

Leibniz, mieux instruit que Descartes de la géométrie infinitésimale, ne pouvait s'en tenir à l'algèbre comme méthode unique. Mais aussi métaphysicien que Descartes et aussi désireux de construire un système scientifique définitif, Leibniz fait de son propre calcul, c'est-à-dire de la méthode différentielle, l'instrument unique de l'esprit. Tout ce que Descartes pensait résoudre par l'emploi de l'algèbre ordinaire, Leibniz déclare le résoudre par l'algèbre Infinitésimale. Déjà sa Caractéristique Universelle nous a fait voir qu'il croyait posséder un algorithme général et parfait. La méthode des différentielles, qui se rattache par plus d'un point à son idée des Caractéristiques, se présente aussi comme répondant sans faute à toutes les questions que la nature peut poser. Fondée sur un principe de la raison, à la fois universel et nécessaire, celte méthode ne peut avoir de limite que celle résultant de la confusion de nos idées. La continuité de la nature - qui se vérifie en toutes choses, fait qu'on peut appliquer partout le calcul des grandeurs continues. Et comme le principe de continuité se suffit à lui-même, comme le nombre des principes ne doit pas être accru inutilement, et que rien ne laisse prévoir un temps ou d'autres règles mathématiques deviendront nécessaires, il est

1 DUc. de la Méth. 111* Partie.

2. On sait que le principe de continuité se présente d'abord chez Leibniz comme un principe mathématique. Dans les lettres au 1*. Des Bosses, Leibniz explique que la forme la plus nette du principe de continuité est celle qui est suggérée par le passage insensible d'une figure à une autre : a Dalîs ordinatis, etiam qusesita sunt ordinata o.

naturel que Leibniz ait cru trouver dans son calcul des infinimont petits une méthode à laquelle l'avenir ne peut rien ajouter.

Newton, moins épris d'unité que Leibniz ou Descartes, ne croit pas suppléer par sa méthode aux méthodes antérieures. Il ne croit pas davantage qu'on puisse tirer de son calcul une réponse satisfaisante à tous les problèmes à venir. La méthode des fluxions est d'une application féconde, non pas dans tous les cas possibles, mais dans ceux-là seulement qui sont susceptibles d'interprétation mécanique.

Il ne faut pas pousser l'esprit systématique au point d'imposer l'emploi d'une méthode dans un ordre de recherches pour lequel elle n'est pas faite. Il n'est môme pas bon de préférer toujours un procédé facile et très général à une méthode moins simple ou plus restreinte qui pénètre plus au fond de la difticuUé. Ainsi Descartes s'est laissé duper par un besoin factice d unilé, lorsqu'il a négligé la géométrie pure pour traiter toutes choses par la voie algébrique. Newton déclare que la lecture d'Euclide, à laquelle il est revenu sur le tard, lui a appris au moins autant que la géométrie cartésienne ^ 11 est des questions 011 la méthode des anciens doit être employée de préférence à toute autre, et Newton lui-même, dans les Principes, au lieu de se servir uniformément de la géométrie intînitésimale, emploie très souvent les méthodes de Pappus, d'Euclide ou d'Archimèdc -. De mèrile la méthode cartésienne garde sa valeur après les découvertes de Newton. La construction graphique des grandeurs doit être faite chaque fois qu'on le peut môme lorsque la méthode des quadratures a fourni un résultat numérique exact, car la construction des lignes fait voir d'une manière instructive et élégante ce que le calcul donne .souvent comme un résultat brutaP. Enlin la méthode des indi-

1. V. I»('ni horion, Kléments de la Philosophie Newtonienne, Amsterdam ITôj.

2. Newlon n'abandoniu' la méthode des anciens que lorsqu'elle mène à des longueurs cl a uwq accumulation de démonstrations ad absurdum

.(L. 1, S. \, Scholie. p. 47).

3. MétU. Fluj-. p. 170. « Poslquam area curva» alicujus ita reperta est et constnicla. indaganda est demonstratio consiructionis, ut omisse, quatenu-s fieri polost, calculo algebraico, theoroma fiai concinnum et .(•!(*i?an>. <»<• piihlicum lumen sustineat ».

LA PORTEE DU CALGtiL DES FLUXIONS 95

visibles, que Newton croit avoir remplacée par un procédé plus rigoureux et plus maniable, ne perd pas pour cela toute valeur. Une fois qu'on a compris la notion de limite, il esl permis pour faire image et faciliter l'intuition d'employer le langage des indivisibles. A vrai dire Newton, dans les Principes inalhéviatiques de la philosophie nalxirelle^ où il cherche à laisser le moins de prise possible à la critique, s'abstient de parti pris de revenir aux idées de Barrow et de Cavalieri. Mais on voit par son Inlroduclion à la quadrature des courbes qu'il admet les indivisibles comme un moyen de découvrir des relations qu'on justifie ensuite par la Méthode des Fluxions '. Cette dernière méthode, loin de rendre inutiles toutes les autres, ne leur est supérieure que dans certains cas. Il n'existe pas un mécanisme unique auquel on puisse soumettre indistinctement tous les problèmes. Pas plus que l'Arithmétique ne dispara:t devant l'Algèbre, la Géométrie ne disparaît devant l'Analyse înlînitésimale.

On pourrait croire que le point de vue de Newton est le point de vue éclectique, Si Newton admet indifféremment la méthode de Barrow, celle de Fermât, celle de Descartes et la sienne propre, c'est, peut-il sembler, par simple manque d'esprit systématique. Il nous paraît beaucoup plus exact de voir <lans cette attitude un respect minutieux des faits. D'abord Newton ne dit nulle part qu'un problème donné puisse indistinctement s'aborder par une méthode quelconque. S'il admet la variété des méthodes, c'est pour réserver chacune d'elles h un ordre de problèmes spécial.

Ainsi l'algèbre sera applicable chaque fois qu'il s'agit d'obtenir rapidement une valeur numérique. Les constructions cartésiennes auront leur utilité quand des calculs extrêmement laborieux peuvent se remplacer par un tracé facile. Les fluxions devront intervenir partout où l'on peut faire les développements en série. Certains problèmes par leur nature môme s'accommodent mieux de certains modes de raisonnement. La géométrie pure, par exemple, admet fort aisément la méthode

1. Inlr. ad Quad Curv. p. 207. a Peragi tamen potesl analysis in figuris <iuibu5cunique. seu finitis seu inûnitc parvis, qua; Hguris evanescentibus iinguntur sirniles, ut et in figuris, quie pcr Methodum indivisibiliiiin pro infiDite parvis haberi soient, modo caule procédas ».

96 LA PHILOSOPHIi: DE NEWTON

synthétique, tandis que la tliéoric des nombres nécessite souvent des démonstrations par l'absurde. C'est un fait qu'il faut accepter comme tel et qu'il est difficile de s'expliquer. De môme lorsqu'il s'agit d'appliquer les développements en série à l'expression d'une irrationnelle, il arrive très généralement qu'il y a plusieurs développements possibles. Selon la manière dont on groupe les termes, selon l'ordre où s'effectuent les divisions, on aboutira à une série ou à une autre. Est-ce à dire que ces deux séries soient équivalentes et mènent aussi aisément à la solution ? Loin de là, il peut arriver que l'une converge très rapidement, et soit d'un usage parfaitement commode, tandis que l'autre, rigoureuse par elle-même, se trouve parfaitement inutilisable ^

Il n'y a donc pas de série qui soit, toujours et partout, la meilleure, ni de méthode toujours la môme qui permette de découvrir la série à choisir. Il intervient une sorte de tact, de sentiment de la difficulté, qui peuvent indiquer dans chaque cas donné, comment il faut conduire les développements. On peut dire, tout à fait pour les mômes raisons, qu'il n'y a pas de méthode unique adéquate à tous les problèmes d'intégration. Ce que nous gippelons problème d'intégration est un nom générique et confus qui s'applique à tout un ensemble de questions hétérogènes. La première classe de ces problèmes comprend les quadratures proprement dites, auxquelles la Méthode des fluxions s'applique parfaitement ^. Une classe toute différente se compose des problèmes relatifs aux équations différentielles et ici il faut compléter le calcul des fluxions par une méthode d'approximations successives dont Newton a donné la première esquisse. Ensuite viendraient des problèmes plus complexes, ceux qu'on envisagera sous le nom de problèmes aux différences finies : ils nécessitent à leur tour une méthode particulière, et en généralisant cette manière de voir, on peut dire que Newton con-

1. Post.Episl ad Oldenb. 24 oct. 1676, p. 346. « Quœlibet scries habet proprium iisum, et in siio génère optima est. Si datur tangens saUs parva, vel salis magna, non reciirrendutn erit ad sinum aliquein, ut inde.computelur arcns, et \ice versa. Séries dato congrueus est œquatio pro solvendo proprio problemate )).

2. Cf. Intr. ad Quad Curv. p. 207. a Ex Fluxionibus invenire fluenies problema difficilius est, et solutioiiis j)rinnis gradus œqiiipoUel quadratura^ curv arum ».

^oit une hiérarchie de problèmes et de méthodes, s'élevant progressivement de Tarithmétique à Talgc^bre, de Talgèbre au calcul iniînitésimal, de là à d'autres procédés encore, sans qu'on puisse dire jamais de Tune ou de Tautrc de ces méthodes qu'elle soit la dernière et la seule parfaite.

De cette façon la multiplicité des méthodes n'apparaît plus comme un signe d'éclectisme. On doit y reconnaître bien plutôt l'instinct profond de la réalité et des classements qu'on peut y établir. Si nous admettons l'usage de méthodes différentes, c'est que la multiplicité des problèmes est sans doute réductible, mais non comme le croyaient Leibniz et Descaries réductible à l'unité. La continuité même de la nature enseigne que les difficultés varient d'une manière continue. Il sera bon <le posséder, en face d'un certain ordre de problèmes, la méthode la plus propre non à résoudre tout problème quel qu'il soit, mais celui qui nous est posé. De la sorte les différentes méthodes que l'histoire des mathématiques a vu surgir peu à peu, loin de se supplanter l'une l'autre, se complètent en s'ajoutant. La véritable facilité, la véritable simplicité, ne peuvent résulter, comme le disaient Descartes et Leibniz, de la possession d'un instrument universel. Elles proviennent d'une adaptation exacte de nos recherches au genre de problème qui les sollicite ^

D'ailleurs l'emploi de méthodes différentes dans des cas différents résulte d'une nécessité pratique. Lorsqu'on nous demande de résoudre un problème, on ne nous demande jamais de le résoudre absolument, mais avec une approximation que Ton assigne. C'est une idée constante chez Newton, que le degré d'exactitude d'une méthode doit être proportionné au but poursuivi. Les mathématiques n'ayant d'autre usage que la résolution des problèmes concrets, il convient de leur demander des résultats dont la précision s'accorde avec les données. S'agit-il par exemple de déterminer par le calcul la trajectoire d'un corps céleste ? Trois genres de formules pourront donner la solution. Les unes seront complètes et rigoureuses, elles représenteront dans tous ses détails latrajectoire de lastre. Les

1. Cf. Méili. Flux, p. 95. « Eo enim pacto, pro manibus habens plures methodos divcrsas, semper usurpare poteris faoiliorom, simul ac simpliciorem ».

Bloch. . , 7

autres ne donneront de son mouvement qu'une approximation première. D'autres enfin permettront de trouver, avec une approximation poussée jusqu'à un ordre arbitraire, les éléments de son orbite. L'évaluation grossière, par la première approximation, est celle dont se contentaient les Anciens. Elle s'accordait avec Tétat de leurs connaissances, et les avait menés à l'idée des trajectoires circulaires. La solution complète, celle qui tient compte de tout le détail des forces perturbatrices, est un idéal auquel on ne peut prétendre tant que le plus grand nombre de ces forces demeurera inconnu. Dans l'état actuel de la science, les mesures astronomiques ne dépassent pas un certain ordre de précision, et si l'on veut les confirmer théoriquement, les formules qu'on se propose d'établir devront être exactes jusqu'au mémo ordre.

Ainsi la résolution de tout problème suppose qu'on connaisse au préalable une limite supérieure de l'erreur permise. Comme les vérifications empiriques sont le seul gage que la solution est exacte, ce serait un travail inutile de chercher une approximation illimitée. La rigueur obtenue de la sorte serait illusoire puisque nous ne saurions en avoir confirmation. Il vaut mieux faciliter le calcul en se satisfaisant d'une formule approchée, mais dont l'écart tombe au-dessous des grandeurs réellement appréciables. Nous aurons alors à choisir notre méthode selon les U»rmes qu'on pourra négliger et les opérations qu'on pourra se dispenser de faire ^ Dans certains cas, ce sera l'Algèbre, dans d'autres, la Géométrie ordinaire, dans d'autres encore la Géomélrie infinitésimale qui mènera plus directement au but. Si l'on tient compte à la fois de la précision obtenue et du nombre des opérations par lesquelles on l'obtient, il y aura

1. On trouve, dîins les Principes mômes, de nombreux exemples d'un pareil choix. Un des plus lypiqaes est celui du Scholie delaProp. XXXL L. I. î5. 6, i).,liy. Il s'agit « de trouver, pour un temps donné, le lieu d'un corps qui se meut dans une trajectoire elliptique donnée», Newton commence à laid»* de la géométrie analyticiue, i)ar donner une solution rigoureuse correspondant i'i rinterseiii«>n d'une droite et d'une trochoïde. Puis il remarque que la dcsrription de celle courbe est difficile et qu'il vaut mieux em|)loyi»r une si)lution approchée. 11 se sert alors de l'Algèbre, et applique les approximations successives a la résolution de l'équation a^ -j- A=.in 'w = c. IJilin, pour satisfaire aux exigences astronomiques, il fait appel a une approximation uni(pie. (|ui donne une solution « aussi exacte qu'il est ui-cessaire pour lîi théorie de> planètes : car dans l'orbe de Mars même, dmit la plus grande équation du centre est de 10 degrés, l'erreur passerait à peine 1 seconde ».

toujours une de ces méthodes qui sera plus pratique que les autres.

Demandons-nous, à titre d'exemple, pourquoi les méthodes de résolution numérique des équations * se sont substituées dans certains cas aux méthodes algébriques. Apportent-elles des procédés nouveaux, inconnus de l'algèbre ordinaire ? On sait fort bien qu'elles se contentent de prendre les opérations fonilamentales de l'algèbre et de les appliquer indéfiniment. Mais l'avantage qu'elles procurent par là, c'est qu'elles permettent d'extraire, par des approximations répétées, avec une (exactitude fixée à l'avance, des nombres que Talgèbre ordinaire n'aurait pu dégager. De même l'usage des fractions continues, des progressions illimitées, permet d'obtenir par la succession infinie d'additions ou de divisions, des quantités qu'on ne peut déterminer autrement avec la précision voulue. De même encore le développement en série est l'équivalent d'une division ou dune extraction de racine poussée aussi loin qu'on le veut. Le sens des quadratures est analogue. Elles aussi sont des opérations simples reproduites un nombre infini de fois. Chacune de ces méthodes s'applique de préférence à un ordre de problèmes déterminé, parce qu'elle donne plus aisément que les autres l'approximation exigée par ces problèmes. A prendre les choses à la rigueur, il n'existe en mathématique qu'une seule méthode, Taddition des nombres entiers. La seule addition, rendue de plus en plus complexe pour s'adapter aux difficultés nouvelles, suffit à créer des types de méthodes appropriées à ces difficultés.

En ce sens on peut accorder à Descartes qu'il y a un élément commun à toutes les méthodes mathématiques. Mais cela n'empêche qu'en pratique une méthode donnée ne s'applique qu'à un groupe de phénomènes. Sitôt que la complication du groupe dépasse un certain degré, sans que lapproximation exigée pour la solution diminue, il sera nécessaire d'utiliser une méthode nouvelle. Cette méthode ne différera pas essentiellement des précédentes, elle continuera d'employer les opérations élémentaires du calcul. Mais elle multipliera ces opérations de façon à atteindre l'approximation désirée. Chaque l'ois

L On sait «jue Newton lui-môme est l'auteur d'une de ces méthodes.

100 LA PHILOSOPHŒ DK NEWTON

qu'il s'est pr*^scnté un problème réfractaire à un certain genre de métliode, l'artifice employé pour le résoudre n'a pas consisté à modifier le problème pour le plier à la méthode. On a toujours modifié la méthode en lui permettant d'effectuer un nombre illimité de fois les opérations qu'auparavant elle ne pouvait effectuer qu'en nombre fini. Ainsi il est vrai de dire que la nature des opérations essentielles ne change pas lorsqu'on s'élève de l'Arithmétique à l'Algèbre, de l'Algèbre à l'Analyse, de l'Analyse aux méthodes supérieures que la science nous réserve. L'addition des nombres entiers se retrouve partout. Mais de celte opération si simple on en a déduit d'autres en la répétant indéfiniment, de celles-ci, d'autres encore par le même procédé et ainsi de suite. La nature des opérations reste simple, leur nombre seul devient de plus en plus complexe, et le passage dune méthode à la méthode supérieure se marque par la multiplicité croissante des opérations, entraînant la précision croissante des mesures. Ne pouvant, par exemple, mesurer toutes les longueurs en nombres entiers, nous avons dû faire appel aux nombres fractionnaires et aux nombres irrationnels, qui sont l'équivalent de suites illimitées de nombres entiers. Ne pouvant calculer par une même formule toutes les irrationnelles d'un type donné, nous les développons en séries entières, c'est-à-dire en une suite infinie de termes aisément calculables. Ne pouvant mesurer directement les aires, nous les avons décomposées en une somme infinie de termes élémentaires connus. Partout la pratique nous a obligés i\ une résolution de plus en plus parfaite des problèmes par une accumulation constante des efforts. Résoudre par des calculs simples, mais très nombreux, ce qui est insoluble par une seule opération, si compliquée soit-elle, voilà le principe qui esta la base des mathématiques. Nous gagnons de la sorte en puissance ce que nous perdons en brièveté. Le mathématicien, sur ce point, ressemble au physicien. Ce dernier lui aussi a constamment le choix entre différentes méthodes et celle pour laquelle il doit se décider lui est suggérée par la pratique. S'il s'agit d'évaluer une longueur avec une approximation donnée, il sera inutile pour le physicien de procéder au réglage des appareils avec plus de précision (juela mesure n'en comporte. Faut-il au contraire une exactitude supérieure à celle dont on

s'est contenté jusqu'ici, c'est en répétiint avec des corrections successives le réglage précédent qu'on peut y parvenir. On voit que le souci des questions physiques n'abandonne jamais Tesprit de Newton. En mathématique comme en physique, i^ croit impossible d'appliquer, partout une méthode uniforme. Cela tient à ce que, dans l'un eti'autre cas, le résultat h obtenir n'est pas toujours requis avec la môme exactitude. La suite illimitée des opérations qui donneraient théoriquement le nombre exact s'arrêtera, suivant les cas, à un terme de rang plus ou moins éloigné ^ et le choix de la méthode dépend étroitement du degré de précision dont on peut se satisfaire.

Après avoir fait voir que le Calcul des Fluxions ne peut supplanter d'une manière absolue aucune autre méthode, il convient d'insister pourtant sur ce qu'il apporte de nouveau par rapport à la géométrie d'une part, par rapport à l'algèbre de l'autre. Nous comprendrons alors pourquoi Newton appelle son calcul un calcul général, bien qu'en même temps il se refuse à l'appeler un calcul universel*.

La géométrie, comme l'avait remarqué Descartes, est trop astreinte à la considération des figures^. H en résulte qu'une quantité infinitésimale, ne peut devenir accessibio à la géométrie que si elle prend la forme d'un élément ligure, attaché h une courbe ou à une surface. Ainsi la géométrie infinitésimale peut faire usage de la notion de vitesse, parce que la dérivée qui représente cette vitesse peut se construire simplement au moyen des tangentes. De même le rayon de courbure, ou rayon du cercle osculateur, est un élément inlinitésimal susceptible de figuration, dont la géométrie peut donner une idée. Mais

i. Cf. Anal, per j€quat. In fin. « Istos tcrminos semper omitto, quos nuUi deinceps usui fore prsevideo ».

2. Lettre à Leibniz, il juin 1676. « Non tamen omnino universalis evadit ». Cf. Principes^ L. U^ S. 3, Lemme Scholie : « En expliquant dans une lettre à D. J. Collins le 10 déc. 1672 la méthode des tangentes que je soupçonne être la même que celle de Slusius qui ne m'avait pas encore été communiquée, j'ajoutai : cela est plutùt un corollaire particulier d'une méthode générale qui s'étend, sans calcul embarrassant, non seulement ù mener des tangentes à des courbes quelconques, mais aussi à résoudre d^autres espèces de problèmes très difficiles touchant les courbures, les quadratures. les rectiticaUons, les centres de gravité des courbes, etc. ». ■ 3. Deuxième lettre à Oldenburg 24 oct. 1676, p. 342. Kgo quidem liaud quicqiiam générale in his obtinere potui, antequam abstraherem a contemplatione Figurarum, et rem totam ad simplicem consideralionem solarum ordinatim applicatarum reducerem ».

des notions comme celle d'accélération, et surtout celle des fluxions ou accélérations d'ordre supérieur, ne correspondent pas toujours à des particularités visibles de la figure. Assurément, par des constructions appropriées, on peut leur rendre un sens géométrique, et môme une interprétation cinématique. Mais ces constructions sont très indirectes, compliquées, malaisées à obtenir. Dans la Méthode des Fluxions au contraire, les différentielles d'ordre supérieur se présentent tout naturellement, et l'ordre dans lequel on les rencontre lorsqu'il s'agit de développer en série la différentielle première, amènera Mac Laurin et Taylor à leurs développements célèbres. La notation de Newton permet donc déjà, ce que la géométrie ne saurait faire, d'aborder l'étude complète du contact des courbes. Kn employant une caractéristique commode pour désigner les fluxions successives, Newton résout un problème général, dont la géométrie n'avait pu soupçonner qu'un aspect, la construction des tangentes à une courbe donnée *.

Mais le problème inverse des tangentes, mieux encore que le problème direct, fait toucher du doigt la généralité que le calcul infinitésimal possède par rapport à la géométrie. L'élément infiniment petit qu'il s'agit de sommer, le moment ou le terme élémentaire qui seul est donné, varie aux yeux du géomètre d'un problème à l'autre. C'est un arc dans les problèmes de rectification, une aire dans les problèmes de quadrature, un volume dans les problèmes solides, un angle dans Tévaluation dos distances angulaires. Chaque fois le géomètre est obligé d'avoir recours à une intuition particulière, et s'il avait à faire la sommation d'éléments non figurés ni représentables, aucun principe ne pourrait le guider dans la construction des limites. Au lieu de cela, le point de vue analytique est d'une généralité parfaite. L'élément très petit qu'il s'agit d'intégrer pourra tou-

1. Ce problème môme, Descartes ne le résout que dans le cas où le point de contact est situe à distance finie. Les constructions deviennent caduques quand le point seloigne i\ l'infini. Au lieu de cela, le méthode générale de Newton s'applique aussi bien au tracé des asymptotes qu'à celui dt'S tangentes proprement dites. « A l'égard des asymptotes, on peut les regarder comme des tangentes et leurs extrémités (si on peut s'exprimer ainsi) comme des points de contact. Imaginons donc que le point d'attouchement d'une tangente s'éloigne à l'infini, cette tangente deviendra asynjplote, et les constructions des problèmes précédents se changeront dans les constructions de problèmes où l'asvmptote est donnée ». — (Principes, L. 1, S. 3. Prop. XXVII. Scholie).

jours se désigner pcir le m(^mc symbole, ds par exemples soit qu'il s'agisse de quantités linéaires ou superticielles, soit qu'on opère dans l'espace ordinaire ou dans un espace à plus de trois dimensions^. Les symboles du calcul infinilésimal sont indiiïérents aux réalités qu'ils désignent tandis que ceux de la géométrie ne sont jamais applicables qu'à certaines figures. C'est une raison suffisante pour reconnaître dans l'analyse infinitésimale un procédé beaucoup plus général que la géométrie classique.

L'algèbre elle aussi, bien qu'elle soit plus générale que l'arithmétique, l'estmoinsquelaMéthode des Fluxions. L'arithmétique, comme on l'a vu précédemment, n'est pas un cas particulier de l'algèbre. Elle s'accorde avec elle mais ne se ramène pas à elle. Pareillement l'algèbre n'estpas un cas particulier du calcul infinitésimal. Elle garde ses règles propres à côté des procédés qui lui sont communs avec les méthodes difTérentielles. Néanmoins la portée de l'analyse est plus vaste que celle de l'algèbre, parce quelle s'applique à des problèmes plus compliqués. D'abord la généralité de l'algèbre se retrouve, avec des perfectionnements, dans la notation dilïérentielle. L'algèbre exprime par la même iormule tout un groupe de problèmes concrets, ayant des interprétations bien différentes : Téquation du premier degré peut répondre à un problème de partage, d'intérêts, à l'étude d'un mouvement uniforme, à la détermination d'une ligne droite, etc. En analyse on trouve une généralité plus grande encore. Une seule équation différentielle répond à une infinité d'espèces du môme problème et à une infinité de problèmes d'espèce différente. Les lois de la chute des corps, la recherche des pointsd'inflexion, la déterminationdumaximumdes vitesses, dépendent d'une môme équation différentielle. Plus tard on fera voir que la distribution de l'électricité, la propagation de la chaleur, la circulation des fluides, et beaucoup d'autres prol)lèmes physiques sont des aspects différents d'une môme équation. Peut-être n'y a-t-il pas de problème, dit Newton, qui ne

1. Notation de G. Jordan, Cours d'anaivse de IKcgIc Polytechnique, T. 1, ch. L

i. De Analys. per jEquat. Infin. « Notandum est quod unitas isla. qua* pro momenio ponitur, est superficies cum de solidis, et linea cum de £uperficiebus, et punctum cum de lineis agiiur ».

puisse s'exprimer par des équations différentielles convenables, et tous les problènies qu'on résout par l'algèbre sont-ils des cas particuliers de problèmes très vastes que l'analyse résout d'une façon générale*.

La méthode la plus étendue dont l'algèbre fasse usage est en effetla méthode cartésienne des coefficients indéterminés. Cette méthode se retrouve tout entière dans Tanalyse des infiniment petits. Lorsque nous voulons dégager d'une expression donnée le développement de plus en plus approché d'une grandeur^ nous substituons à la place de cette grandeur, non plus un polynôme mais une série à coefficients arbitraires. Les coefficients se déterminent de proche en proche par des équations de condition, et si le développement se limite de lui-même, nous retombons sur le cas de l'algèbre *.

Les conventions fondamentales de l'algèbre sont, elles aussi reprises et généralisées par le Calcul des Fluxions. La notion des quantités négatives va s'étendre par des définitions conve* nablesaux aires, aux longueurs, aux volumes. C'est une généralisation qui n'est pas arbitraire, mais que la pratique rend indispensable si Ton veut qu'une formule réponde à tous les cas de figure 3. Par l'analyse les opérations de l'algèbre sont étendues et généralisées d'abord parce qu'on les applique un nombre illimité de fois, ensuite parce qu'on y soumet les symboles nouveaux que l'algèbre ne connaît pas. A vrai dire les quantités dont l'algèbre s'occupe ne forment qu'un échelon dans la série des grandeurs symboliques. Entre les fluxions de la fonction pu ses différentielles, qui se suivent en série infinie, et les sommes ou intégrales qu'elle fournit et qu'on classe d'après le tableau des quadratures, se trouve la fluxion d'ordre zéro (identique à la somme d'ordre zéro) qui est la fonction ellemême. Ainsi l'algèbre est une région frontière, qui sépare le domaine des fonctions différentielles et celui des fonctions intégrales. On doit donc retrouver j)ar continuité les propriétés

1. De Anal, per /Equat, Infin. « Nec quicquam hujus modi scio, ad quod haec methodus, idque variis modis, sese non extendit,.. El quicquid vulgaris Analysis per -Equationes ex finito terminorum numéro constantes (quando id est possibile) perficit, haîc per .^îquationes Infinita& semper pcrficiat ».