Ibid

« Il y a une certaine borne que la vitesse d'un corps peut atteindre à la fin de sou mouvement, et qu'elle m saurait passer: c'est cette vitesse qui est la dernière vitesse du corps. 11 en est de même des limites et des proportions de toutes les grandeurs qui commence ni et cessent ».

toujours « certaines et définies », et cela suffît pour que ce soit un problème « très géométrique » d'en déterminer la valeur eff'ective. On ne pourrait ici surprendre les mathématiques en défaut que si elles tentaient de faire la mesure d'une grandeur illusoire, soit parce qu'elle est variable, soit parce qu'elle est infinie. Mais le calcul infinitésimal n'aborde que des mesures déterminées. S'il se sert d'infiniment petits, c'est toujours à titre auxiliaire et pour les rejeter une fois le calcul fini. Les rapports de ces infiniment petits sont des grandeurs non conventionnelles, mais concrètes, analogues à celles que suggère l'interprétation des mouvements réels. L'on ne peut en critiquer l'emploi sans rendre la mécanique impossible.

Dans l'Introduction au Traité de la quadrature des courbes, mieux encore que dans les Principes, Newton s'explique sur la nécessité d'introduire le temps, la vitesse et le mouvement dans le calcul infinitésimal. Si nous considérons une grandeur géométrique, par exemple l'aire d'une courbe, non comme un tout donné, mais comme la somme progressivement croissante d'éléments infiniment petits, nous pourrons cherchera la comparer à une aire analogue, engendrée elle aussi par déplacement de l'ordonnée parallèlement à elle-même. Les deux aires commencent par être égales, puisqu'elles sont nulles toutes deux. Comment comprendre qu'elles finissent par dilTérer d'une quantité finie, alors que les accroissements successifs sont toujours infiniment petits ?

C'est que la grandeur relative des courbes dépend non seulement des éléments qui s'ajoutent, mais de la vitesse avec laquelle ils s'ajoutent. La génération des figures par le mouvement, qui seule donne de ces figures une idée complète, peut seule aussi en suggérer la mesure, comme les anciens l'avaient fort bien compris. Pour eux, la mesure des rectangles suppose le déplacement d'une ordonnée invariable le long d'une base donnée *. La quadrature d'une aire quelconque, ou plus généralement la solution d'un problème touchant le continu, doit nécessairement suivre le même principe. Les quantités variables ne doivent pas être considérées comme un assemblage

i. Jnir. ad Quad. Curv. p. 204 :

(i Et ad hune modiim vclcres, duceiido roctas mobiles in longituOincm rectarum immobilium, penesim docuerunt Rectangulorum ».

d'éléments constants, mais comme le résultat d'un mouvement continu. Les lignes sont les trajectoires de certains -corps. Elles ne sont pas une somme d'arcs très petits, mais le lieu des positions d'un point mobile. Les surfaces ne sont pas le résultat d'une apposition de parties, mais d'un déplacement des lignes. Les solides proviennent du mouvement des surfaces, les angles de la rotation des côtés, comme les temps s'engendrent uniformément par un flux qui ne s'arrête pas *. Cette conception génétique des grandeurs, soit géométriques, soit algébriques, n'est pas une fiction de l'entendement. Elle se vérifie journellement sous nos yeux et l'on peut dire qu'elle 41 vraiment lieu dans la nature *. Tant que nous n'avons à comparer que des grandeurs invariables, sans chercher l'origine de leur différence, on peut faire abstraction de la manière dont ces quantités se forment, et se limiter à une algèbre d'où la notion de temps est exclue. Mais sitôt qu'il nous faut comparer non seulement deux nombres variables, mais leurs modes respectifs de croissance, l'image de la vitesse s'impose, et l'analogie du mouvement donne la solution. Les fluxions, que nous avons définies d'abord comme de pures différentielles, ou comme des limites de différences, sont en réalité de véritables vitesses, c'est-à-dire des limites de croissances. La croissance est une notion objective, susceptible de mesure. L'unité instantanée qui sert à cette mesure est ce que nous nommons fluxion ^.

En introduisant cette notion toute concrète de croissance, en définissant la croissance par des analogies mécaniques, et en adaptant la méthode des fluxions à la mesure de cette