V. par exemple Principes L. I, S. 1, Scholic p

Les expressions a d'angle de contact infiniment plus petit ou infiniment plus grand que les angles de contact contenus entre la tangente et la

entre les différentes parties des matiiématiques. Elles partent toutes du sens commun, conçu de la façon la plus modeste, comme l'ensemble des idées familières que l'expérience met en jeu. Ces idées ne sont ni complétées, ni modiliées par les opérations mathématiques. Elles restent des idées du bon sens immédiatement applicables. Mais elles reçoivent une forme spéciale, sont traduites dans un langage nouveau, qui permet de les désigner sans erreur et de les mesurer commodément. L'analyse des infiniment petits n'est qu'un chapitre de ce système de signes, et comme la partie la plus neuve d'une langue répond le mieux aux besoins les plus récents, on conçoit que la méthode des fluxions doit s'appliquer de préférence à la résolution des problèmes nouveaux : quadratures, centres de gravité, problèmes direct et inverse des tangentes. Mais les autres modes de calcul restent utiles chacun dans leur sphère. Le relativisme qui caractérise la méthode de Newton n'est donc qu'une conséqnence de sa tendance au nominalisme. Du moment qu'une notation heureuse est le point essentiel de toute méthode, et qu'une notation, si parfaite soit-elle, ne peut s'appliquer qu'à un certain nombre de choses, il devient évident et nécessaire que les notations se superposent sans se détruire pour former un système complet. L'esprit du physisien et l'esprit du mathématicien collaborent ainsi à la même besogne. S'élever d'impressions vagues et stériles à un ensemble de symboles qui permettent des combinaisons exactes, partir des doniiées de bon sens pour édifier un langage commode, c'est l'œuvre essentielle du géomètre comme ce sera celle du physicien. A la fois physicien et géomètre, Newton, par son Calcul des Fluxions comme par ses Principes, ne prétend apporter aux problèmes de son temps que la contribution d'un langage nouveau.

Issue comme l'Algèbre et comme l'Arithmétique des données du bon sens, la méthode infinitésimale est en droit d'employer les procédés d'induction dont se sert le bon sens. Parmi ces procédés les deux plus importants sont l'analogie et l'interpolation.

Newton admet que l'analogie aussi bien que rinterpolation

corde des cercles », sont, comme le fait voir le langage très clair de ce lemme, de pures abréviations destinées à désigner des idées communes.

LA PORTÉt: DU CALCUL DES FLUXIONS 109

sont légitimes dans de larp:es limites. C'est à rexporioncc de nous taire voir jusqu'où on peutlesétendre sans danger. D*abord l'analogie est d'une application constante lorsqu'on veut développer une fonction en série. Newton, qui ne pouvait prévoir les formules générales de Mac-Laurin et de Leibniz, ne connaissait pas d'autre moyen pour arriver aux développements en série que la division et l'extraction des racines. Ces opérations iîonl toujours pénibles et quelquefois inextricables. 11 arrivegénéralement que les premiers termes d'une division peuvent s'écrire sans difficulté, mais sitôt qu'on veut pousser l'approximation un peu loin, les opérations, théoriquement possibles, cessent pratiquement d'être efîectuables. Dans ces cas l'analogie va nous guider. Si les premiers termes d'une série laissent entrevoir une loi de succession régulière, si l'on s'aperçoit qu ils sont des fonctions simples du rang qu'ils occupent, il est tout naturel de supposer que la régularité ne va pas se démentir. On écrira les termes éloignés en les construisant en fonction de n sur le modèle des termes les plus proches, et il restera à vérifier si l'expression trouvée répond bien au développement qu'on désire. C'est cette voie que Newton a suivie pour démontrer dans des cas généraux sa formule du binôme. Ce qui est évident pour le cas d'un exposant entier et positif peut tout au moins suggérer des analogies pour le cas dos exposants négatifs, fractionnaires ou incommensurables. C'est cette voie encore qu'il recommande lorsqu'il s'agit de vérifier la validité d'un développement. Au lieu de substituer aux fluxions de la variable des valeurs infinitésimales, nous sommes obligés de les remplacer par des nombres petits, mais finis, et nous devons voir si ces nombres finis vérifient approximativement la formule. Nous calculons donc notre série numérique, jusqu'à un terme derangcortvenable, pour une suite décroissante de valeurs de a;, €t nous examinons si la somme obtenue satisfait de mieux en mieux aux identités posées. Cette vérification ne pouvant jamais se faire que d'une manière approximative, c'est l'analogie, elle encore, qui nous autorise à estimer qu'à la limite elle se ferait exactement ^ En d'autres termes, les séries infinitésimales gar-

1. Comp. Lecl. Oplic. Prop. XIV, Cor. H, Lemme VI. p. lil. « Nam raliolîum similitudincs quœ quantilalibuscommensurabilibus conveniunl indefiriite. eo nomine conveniunt etiam iiicommcnsurabilibus similiter affcctis,

dent une signification précise lorsqu'aux infiniment petits qui y figurent on substitue des quantités très petites. Mais les expressions qui en résultent, au lieu de converger rapidement, ne tendent que d'une manière assez lente vers leur limite *. I^ convergence croît d'autant plus vile que les c différences » sont plus près d'être des « fluxions ». On peut donc admettre qu'un résultat approché, lorsqu'on se contente de quelques termes finis, deviendra précis lorsqu'à la limite on aura une série de termes infinitésimaux.

Enfin l'analogie se retrouve encore dans une autre partie de la méthode. Il arrive que le langage différentiel rapproche des notions que la géométrie sépare. Cela tient à ce que l'analogie des formules est parfois plus grande que celle des figures. Ainsi l'hyperbole équilatère et le cercle sont pour le géomètre deux courbes entièrement distinctes. Au contraire, l'expression différentielle de l'arc du cercle et de l'arc d'hyperbole, la quadrature des aires interceptés par les deux courbes, le développement en série de leurs ordonnées, montrent des analogies profondes que la géométrie ne pouvait dévoilera 11 suffit de changer un signe dans l'ordonnée du cercle pour obtenir celle de l'hyperbole, et il s'en suit que ces deux courbes se ramènent à un type fondamental unique. Dans la Table des Quadratures elles seront représentées par une seule quadrature canonique et Tanalogie qui excite entre elles suffira pour déduire des propriétés de l'une, par des opérations toujoui-s parallèles, les propriétés de l'autre. Ici encore l'analogie est dictée par la comparaison des formules, elle aura besoin d'être vérifiée a posteriori. En tous cas elle permet de réduire l'un à l'autre des problèmes en apparence distincts,

queniadmodum ex Euclidis dcfinilionc similium ralionum ostcndi polest Sed facilius deprehendilur iniaginando quantilalcs, quas vocant incommensurabiles, posse numorari piT parles indeHnile parvas, cl sic ad naturam commensurabilium. praeserlim quoad rationum habitudines, quodam modo rediici w.

1 . Cf. Melfi. Flux. p. l')^. « Denique, licet species, qua? perspicuitatis gralia fuenint hacleniis supposita* inlinile parvaî .suppouaiUur quaiitumvis magfiae, taniem qiiolieiis erit adhuc verus, qiianqiiam non adeo celeriter ad verani radicem convergat ; qiiod palet ex rcrum analogiâ. »

2. Met h. Flux. p. 150. « Hic observare potes quod. licct area circularis cuni hyperboliea conferri nequeat, gcometrice rem considerando, tamen ambas deteximus eodeni calculo arilhmetico. »

dont l'affinité géométrique ne saute pas aux yeux tout d'abord *. L'interpolation, plus encore que l'analogie, est un procédé essentiel à la méthode de Newton. Newton lui-même dit en plusieurs endroits*, que le problème do l'inlerpolalion est <r peut-être le plus beau de tous ceux dont il désirait la solution ». Il faut savoir qu'aux yeux de Newton la création dos nombres fractionnaires et des nombres incommensurables est déjà la solution d'un problème d'interpolation. Sitôt que l'esprit humain s'est aperçu qu'il fallait mesurer des grandeurs plus petites que l'unité, il a remarqué que l'intervalle des nombres entiers devait être subdivisé par adjonction de nombres nouveaux servant de passage. Cette idée d'interpolation se représente lorsqu'on veut appliquer la méthode dos fluxions à des courbes complexes. Théoriquement il est possible d'employer l'équation de la courbe, d'en tirer l'expression de lordonnée et de procéder h des sommations directes. Mais les séries sur lesquelles il faudraitopérerseraientincommodeset compliquées. Même en faisant appel à l'analogie, nous n'arrivons pas toujours à un développement maniable. C'est ici qu'intervient l'idée de l'interpolation. Pour Newton, une courbe transcendante compliquée peut toujours s intercalerentre deux courbes algébriques plus simples. De même qu'il existe un passage continu d'un nombre entier à un autre, et ({ue les différents termes de ce passage nous sont approximativement connus parles nonibres simples qui les enferment, on peut dire qu'une courbe quelconque peut se situer entre deux courbes plus simples. La connaissance exacte de ces dernières fournira uncî idée i\c la courbe donnée. Si par exemple nous voulons calculer l'aire d'une courbe non algébrique, il nous est toujours [>ossil)le de déterminer deux ou plusieurs courbes algébriques, voire méin»» des courbes paraboliques, rencontrant la première ou la touchant en des points déterminés. Supposons (jue nous ayons écrit l'équation de ces courbes. Leurs ordonnées étant diroclomont exprimées par un polynôme du 'ù,'' degré, le calcul des aires devient immédiat. Or l'aire de la courbe donnée est conjin'ise entre les valeurs^ exlrémes qu'on obtient pour les courbes

1. C'est l'analogie des formules qui suggère à Newton sa tliéoric d«' la transfornialion des figures iV. Principes, L. I, S. 4, Lemme XXII, p. U9). i. V. par exemple Deiwième Lettre à Oldenb. 24 octobre 1C7G, p. :U1.

dl2 LA PIIILOSOPIIlt: DE NEWTON

intermédiaires. Plus le degré des courbes de comparaison s'élève, c'est-à-dire plus elles sont près de coïncider avec la première, plus l'approximation est parfaite.

De là les règles données par Newton, aussi bien dans la Melhodus DifTerentialis^ que dans les Principes^ pour obtenir l'expression parabolique la plus propre à donner une mesure des aires. Ces règles font pressentir le « calcul des différences » tel qu il allait élre créé par Leibniz. Mais ce que Tinterpolation newtoniennea d'original, c'est qu'elle se donne comme un procédé de bon sens. Newton ne recherche pas si une courbe transcendante est vraiment la limite de courbes algébriques •d'ordre croissant. 11 suffit que la continuité existe pour que le bon sens [)ermettc d'affirmer que deux courbes ayant un grand nombre de points communs possèdent en tous leurs points des propriétés peu différentes. On sait ce qu'il faut penser de cette règle et les limitations qu'elle doit subir. Mais en pratique l'interpolation newtonienne réussit. Les problèmes transcendants <iue l'on rencontre ont toujours une allure quasi-algébrique. En déterminant un grand nombre de points et faisant passer par ces points une courbe quarrable', nous faisons, l'expérience le montre, une approximation légitime. C'est que la continuité, dont nous avons Tinstinct, se vérifie dans la langue précise du calcul. L'analogie et l'interpolation, que cet instinct de conti- Tiuité inspire, se trouvent réussir en Analyse pour les mômes raisons qu'en Algèbre et en Arithmétique.

Ce qu'on appelle d'ordinaire le bon sens n'a pas une valeur absolue. C est au fond une croyance vague en la continuité des phénomènes naturels, et cette croyance a besoin d'être consolidée par (les vérifications incessantes. Dès qu'on admet avec Newton que toute méthode mathématique emprunte son point de départ aux faits, se laisse guider par des analogies et progresse par une suite d'inductions, il devient évident que la certitude mathématique se rapproche de la certitude expérimen-