L'ARITHMÉTIQUE ET L'ALGÈBRE

lement simples, sans qu'on puisse établir de différence entre celles qui représentent les quantités cherchées et celles qui représentent des inconnues auxiliaires. Bien plus, toutes les équations qui correspondent à des problèmes physiques, sont nécessairement homogènes par rapport à l'ensemble des quantités qu'elles renferment. Il s'en suit qu'un môme système d'équations, qui sert à déterminer les quantités x, y, z lorsque les paramètres a, b, c sont supposés connus, pourra aussi bien servir à déterminer les inconnues a, 6, c au cas où x, y, z seraient considérés comme donnés. 11 n'y a donc entre les inconnues d'une part, les quantités connues de l'autre, aucune difîércnce intrinsèque. L'équation nous renseigne seulement sur les rapports de toutes les quantités. « De là vient la maxime des géomètres, qu'il ne faut mettre aucune différence entre les connues et les inconnues. Maxime très vraie, puisque, si, dans une môme question, on regardait successivement chacune des quantités comme l'inconnue, on arriverait toujours à la même équation* ».

Il ne faut donc pas considérer les inconnues comme pouvant se classer absolument par ordre de complexité croissante. Nous ne pouvons juger que de leurs rapports, et la mise en équation consistera seulement à énumérer l'ensemble de ces rapports. Il y a là, chez Newton, une idée qui ressemble à Yénumération cartésienne; mais au lieu de porter sur les idées, cette énumération devra porter sur les noms. Nommer avec précision les différents termes du problème, c'est le résoudre plus qu'à moitié^; un heureux choix des notations faille secret des solutions les plus difficiles. Et ceci se comprend, si Ion accepte la comparaison que Newton fait sans cesse entre l'algèbre et le langage. L'algèbre n'est qu'un système de signes destiné à faciliter, mais non à guider la pensée. Souvent, en géométrie par exemple, la nature des objets qu'on étudie s'exprime presque sans effort au moyen du calcul. En Physique, en Mécanique, dans les autres sciences exactes, il n'en est plus de même. « Le discours par lequel l'état d'une

i. Arilh Univ., p. 117.

2. llid. « Un problème quelconque ne consiste que dans l'art de classer ses quantités en connues et inconnues, de manière à arriver le plus facilement possible à l'équation. \>

question est exprimé ne paraît pas pouvoir être traduit en langage algébrique ; mais on l'y disposera facilement en opérant quelques changements, et surtout en s'attachant plus au sens des paroles qu'aux paroles elles-mômes* ». C'est-à-dire que la traduction des faits dans cet idiome spécial qu*on nomme algèbre nécessite toujours un certain déchet : ils ne peuvent pas tons se rendre fidèlement, parce qu'ils ne sont pas toujours exclusivement mesurables. Mais il suffît qu'ils soient susceptibles de dénomination, c'ost-à-dire qu'en gardant leur individualité ils puissent se désigner par des symboles, pour qu'on puisse essayer de leur appliquer la langue du calcul. Cette langue ne modifiera pas lidée que nous en avons ; elle pourra seulement nous aider, d'abord à les retenir, ensuite à voir leurs relations avec ce qui les entoure. Fondée sur un nominalisme parfait, l'algèbre va nous permettre de poser des relations exactes, que le sens commun reprendra pour les interpréter.

On voit que l'emploi de l'Algèbre ne repose pas seulement sur quelques préceptes. Les règles formelles du calcul peuvent bien nous aidera éviter l'erreur, mais l'essentiel de la science, la mise en équation, ne peut se faire mécaniquement : c'est un sentiment de nature spéciale qui nous fait pressentir le vrai, le calcul n'a d'autre rôle que de véritier ce pressentiment. Prenons l'exemple d'un problème géométrique. Un tel problème se ramène toujours h la construction d'une ou de plusieurs lignes d'où l'on déduira celle de la ligne cherchée. Algébriquement le fait se traduira par la détermination d'une ou de plusieurs quantités auxiliaires d'où l'inconnue pourra se tirer au moyen d'équations résolubles. En d'autres termes, dans tout problème où l'on n'aperçoit pas de rapport direct entre les données et les inconnues, il existe des variables intermédiaires dont les unes et les autres sont fonctions : connaissant les relations qui les lient à ces variables intermédiaires, on en déduira aisément leurs rapports réciproques. 11 faut donc admettre, pour la mise en équation, que les nombres assujettis aux conditions de l'énoncé sont fonctions implicites de quantités auxiliaires, qu'il s agit ih' déterminer. La difliculté con-

i. Arilh. Vniv. p. 9i.

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siste à faire celle détermination de façon que la relation fonctionnelle soit la plus simple possible, et par suite la mieux adaptée aux calculs d'élimination.

C'est donc le choix des variables auxiliaires qui est la grande tâche de l'analyste. Ce choix ne peut se faire tout d*abord d'une iaçon rationnelle, car si l'issue en était méthodiquement prévue, le problème serait résolu d'avance. 11 est inévitable qu'il s'inspire d'une part de sentiment, ou qu'il y entre, si l'on préfère, une part d'hypothèse. C'est un sentiment, nécessairement très général, de la continuité, c'est une habitude, le plus souvent instinctive, de l'allure des fonctions, qui doit nous guider. Les quantités qu'il est indiqué de prendre comme variables auxiliaires sont celles qui présenteront la route la plus facile pour arriver à la connaissance des autres, la route inverse étant en même temps la plus diiïicile^ Ce sont elles qu'il convient d'adjoindre au domaine des données primitives, jusqu'à ce que linconnue elle-même s'exprime rationnellement dans le nouveau domaine. Cette adjonction est chose d'estime. Il n'est pas nécessaire de connaître du premier coup d'œil par quelle marche le calcul algébrique nous conduira d'une quantité à l'autre ; il suffît de sentir en général que l'une peut être déduite de l'autre par un moyen quelconque.

S'il entre ainsi une part de divination et presque un élément d'art dans la science du calcul, que devient cette « longue chaîne de raisons » par laquelle Descaries espérait nous mener des vérités simples jusqu'aux plus composées ? Pourrons-nous dire que les vérités simples ne se trouvent qu'au début de la science, et qu'on peut apprécier la complexité d'un théorème en jugeant de son éloignement dans la série ? 11 faudrait dire alors que tous les théorèmes sont de même importance, puisque l'omission d'un seul rend caducs tous ceux qui le suivent. 11 faudrait dire aussi qu'il existe une seule voie pour les démontrer tous, celle qui va des propositions initiales, à travers

1. Arilh. Univ.. p. 118 : « C'est toujours par ces lignes que le calcul doit commencer, quoique dans le cours de l'opération on puisse en introduire d'autres. Le moyen le plus court d'arriver au but, est de mettre pour un moment de côté la question qu'on veut résoudre, et de s'imaginer qu'il ne s'agit uniquement que de choisir, parmi toutes les quantités qui doivent entrer dans le problème, celles qui» étant connues, mèneront plus facilement ù la connaissance des autres. »

ment dans l'étude de la mécanique concrète (cycloïde, chatnette, etc.).

La distinction que nous venons de faire était déjà connue des anciens. Pour eux aussi tous les problèmes étaient ou géométriques ou mécaniques. Mais ils n'admettaient dans la géométrie que les problèmes relevant de la ligne droite ou du cercle, rejetant au rang des questions mécaniques toutes celles qui impliquent le tracé d'une courbe de degré supérieur (à l'exception peut-être des coniques, qui finirent par être reçues dans la géométrie proprement dite). Une telle façon de voir s'explique en un temps où l'algèbre n'existait pas, et où la notion de degré, très confusément entrevue, ne permettait pas encore un classement général des courbes. Il faut laisser à Fermât et surtout à Descartes, le mérite d'avoir compris le parallélisme fondamental entre les équations de degré successif et les courbes de plus en plus complexes. Descartes explique très clairement que la construction d'une courbe d'ordre n et la résolution d'une équation de même ordre sont deux problèmes étjuivalents, et, avec une assurance que les progrès de l'Algèbre ont partiellement démentie, il ajoute que les unes et les autres peuvent se construire par des combinaisons d'ordre inférieur à n. En tous cas, il classait les problèmes comme il classait les courbes par ordre de complexité croissante en môme temps que le degré. Pour lui une équation d'ordre n est par définition moins simple qu'une équation d'ordre 7i — l, le degré algébrique étant l'exacte mesure de la difficulté logique. Enfin Descartes, bien qu'il ne le dise pas expressément, laisse entendre que les problèmes algébriques, même les plus compliqués, sont plus simples que ceux dont le degré est infini : ce sont ces derniers qu'il appelle mécaniques et que nous nommons tran» scendants^

1. Cf. Le début de l'ouvrage de Newton, Enumeratio linearum Tertii Ordiiiis, Londres. 1706.

La distinction des courbes et des nombres algébriques et transcendants se trouve aussi faite avec une grande netteté dans les Principes mathématiques de la Philosophie naturelley L. I. S. 6, lemmc, XXVUl, p. 116. Ce lemme a pour objet de démontrer que « les parties quelconques de toute figure ovale, déterminées par les coordonnées ou par d'autres droites tirées à volonté, ne peuvent jamais être trouvées par aucune équation d'un nombre fmi de termes et de dimensions. »

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Cette classification si élégante et si conforme à l'idée cartésienne de la simplicité semble à Newton théoriquement parfaite. Mais en pratique elle fait trop souvent sacrifier à une simplicité apparente, exprimable par le degré, la simplicité réelle qui ne l'est pas.

Si le seul fait de posséder l'équation d'un problème suffisait à satisfaire notre curiosité, il est clair que nous pourrions juger de la simplicité de ce problème par le degré de l'équation à laquelle il conduit. Mais, nous le savons, le but de l'algèbre est différent : elle doit nous permettre de lire dans Téquation les propriétés concrètes de l'objet. L'équation, prise en ellemême, n*est qu'une formule plus précise de ce que nous sentions à l'avance . Pour nous apprendre une vérité nouvelle, il faut qu'elle présente à notre intuition un ensemble de rapports que l'imperfection du langage ordinaire n'aurait pu exprimer. Donc on ne peut la séparer de la figure qui lui correspond, celle-ci « n'est point une équation, c'est une peinture soit c( géométrique, soit mécanique par laquelle on exprime des « idées pour les rendre faciles à concevoir. » ^ Il suit de là immédiatement qu'une équation, pour être simple, doit représenter une figure simple. A cet égard il est juste de dire qu'une équation de degré supérieur sera généralement parlant moins simple qu'une autre de degré plus petit. ^Liis cette règle n'a rien d'absolu. Le degré, qui est assurément la mesure exacte de la complexité algébrique, n'a par contre rien de commun avec la complexité géométrique. Une fonction comme le sinus, qui est dune complication inextricable pour l'algèbre, représente une courbe, la sinusoïde, qui est une des plus simples de la géométrie. On peut même, en suivant Newton, faire un pas de plus. Si la simplicité algébrique était le critérium unique, on ne sait pas pourquoi on se limiterait à classer les équations d'après le degré. A l'intérieur même de chaque degré, il faudrait classer les équations d'après la simplicité de leur forme extérieure. C'est un des problèmes difficiles de l'analyse que la réduction de l'équation générale d'ordre n à un certain nombre de types canoniques. En ce qui concerne le 3® degré, Newton a complètement résolu le problème dans son Enurne-