Vuy. Arilh. L'nn\, II, T

L'ARITHMETIQUE ET L'ALGEBRE 17

équations et discuter ces équations. «Les équations sont ou les dernières conclusions auxquelles on arrive dans la résolution des problèmes, ou les moyens par lesquels on parvient aux équations finales.» Quel est le sens de ces équations, quelle est leur véritable portée ? On pourrait être tenté tout d'abord de croire que l'algèbre constitue un mode de raisonnement spécial qu'elle est, dans le sens où le croyait Descartes, une « méthode ». Alors les équations qui se suivent marqueraient les progrès successifs de la pensée et le terme où elles nous conduisent serait Tintuition proprement dite. Aux yeux de Newton, il n'en est rien. L*algèbre est une « notation » bien plutôt qu'une méthode. C'est un « discours analytique » par lequel nous exprimons le sens des questions de la même manière que nous peignons nos pensées par le moyen de l'alphabet. Il s'en suit déjà qu'il n'y a entre l'algèbre et le raisonnement ordinaire qu'une différence d'expression. A plus forte raison l'algèbre n'apporte-t-elle point à la géométrie de ressources vraiment nouvelles. C'est une des erreurs du Cartésianisme d'avoir pris pour une méthode véritable le mécanisme purement formel de l'algèbre. Son uni(|ue supériorité est dans la facilité de son emploi, comme il est plus aisé de se servir d'une langue souple et bien faite que de signes foiiuits.

Ainsi les lettres dont nous nous servons dans nos formules sont toujours destinées à une interprétation particulière ; l'algèbre consiste précisément à faire abstraction de cette interprétation pour traiter les lettres comme de purs symboles indifférents au sens qu'ils renferment. Cela n'empêche que la suite des transformations effectuées sur nos équations générales corresponde rigoureusement a la suite des raisonnements (pie l'esprit devrait faire sur les objets réels. L'analyste peut faire marcher de Iront son calcul et sa figure, et lire dans son analyse toute sa construction géométrique ^ Un esprit hautement doué du sens géométrique pourrait se servir de la géométrie comme d'autres se servent de l'algèbre ; et souvent il arrive à Newton qui possède précisément le don de vision géomélriiiue, de

i. Voy. Arilh. Univ., p. Il.'i : « La rôsulution des (iiiea.li(»ns gcoiiit'trHiues s'achève toujours par les nu'ui»» moyens analyti(pies (pii slM'voiiI à ivsoutlre les (pieslions purement numériques: la seule «Hfférence c'est (|ueles lettres qui., dans les questions alKv>briques, désignent des (piantités abstraites, représentent ici des ligues connues ou inconnues. »

Bloch. -

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préférer le langage de l'étendue à celui de Talgcbre. Mais d'une manière générale c'est un fait d'expérience que le symbolisme littéral est l'instrument le plus apte à préciser nos pensées. Seulement, de ce qu'il les précise et les condense, il ne faut pas conclure qu'il les remplace. La réduction du composé au simple dont Descartes faisait le mérite principal de l'algèbre, ne s'opère pas mécaniquement. Nous verrons bientôt au contraire que cette réduction est toujours et partout l'œuvre de l'esprit physique. Mais une telle réduction serait difïicile sans les symboles auxiliaires que fournit l'algèbre. Elle ne réussit pas tout d'abord dans toutes les questions. Précisément parce que l'algèbe ne peut envisager des choses que l'aspect quantitatif lequel leur est commun à toutes, il faut, dans un cas donné, un travail partie ulier de l'esprit pour dégager cet aspect algébrique, pour rendre applicable à des ensembles concrets la notation littérale. Avant la discussion des équations, vient forcément la mise en équations, qui elle est une véritable méthode ; la première ne demande à l'esprit que de se familiariser avec des notations commodes, l'autre exige que sous ces notations il s'introduise un sens réel.

La mise en équation d'un problème est le point délicat de la science. Descartes l'avaitcompris, etavaitcru pouvoir résoudre la difficulté, d'une façon régulière, à l'aide d'une classification des idées. Puisque toutes nos idées se classent par leurs degrés de simplicité ou de composition, il ne reste, en face d'une question donnée, qu'à dégager l'idée la plus simple, et à y rattacher successivement les autres idées, jusqu'à ce que nous ayons exprimé toutes les conditions du problème. Ces conditions,, traduites en langage algébrique, fourniront autant d'équations^ qu'il faudra résoudre dans l'ordre môme où elles ont été obtenues. Ainsi, du fait que Descartes admettait une liaison absolue entre nos idées, il admettait aussi que les équations d'un problème doivent se trouver déductivement et d'une seule manière.

11 est aisé de concevoir que Newton, plus voisin du nominalisme anglais que delà métaphysique cartésienne, ait refusé de partager cette manière de voir. D'abord la simplicité des idées n'est pas susceptible d'être traduite algébriquement. Lorsque j'écris une équation, toutes les lettres qui y figurent sont éga-