L'ARITHMÉTIQUE ET L'ALGÈBRE

lytique, laquelle consiste à exprimer une question par l'équation la plus simple, de la simplicité géométrique, qui consiste à résoudre une question en menant les lignes les plus simples.

Les anciens, malgré l'imperfection de leur algèbre, avaient compris cette distinction, et sur ce point Newton n'hésite pas à se déclarer leur disciple. Malheureusement, pour les anciens la ligne droite et le cercle étaient les seules iigures assez entrées dans la pratique pour qu'on put les appeler vraiment simples. La règle et le compas étaient les instruments uniques admis pour la construction des problèmes. Après avoir épuisé la plupart des problèmes que soulèvent les combinaisons de la droite et du cercle, les géomètres de l'antiquité se heurtèrent de bonne heure aux problèmes généraux du second degré. Dès l'époque d'Aristote, il semble que l'étude des coniques fût 1 objet dernier de l'enseignement mathématique, et, par une marche bien naturelle en un temps où la géométrie devançait l'algèbre, c'est par la géométrie qu'on les attaqua tout d abord. La sphère, le cône et le plan avaient pu s'étudier sans difficulté à l'aide de la droite et du cercle, et c'est par l'analyse de leurs intersections qu'on découvrit ces figures nouvelles, planes comme le cercle qui en fait partie, et pourtant impossibles à décrire dans le plan avec la règle et le compas.

Delà une distinction, qui devait subsister jusqu'à l'époque de Newton*, entre les problèmes p/ans et les problèmes so/icies. Les problèmes plans sont ceux qui peuvent se construire à 1 aide du cercle et de la ligne droite, les problèmes solides sont ceux qui, tout en impliquant des figures planes, ne peuvent s } construire rigoureusement qu'en faisant appel à des figures auxiliaires empruntées à la géométrie de l'espace. Plus tard on s aperçut que dans les problèmes solides il fallait encore faire des divisions, car tous les problèmes ne se résolvent pas à l'aide des sections coniques. Descartes appelait su7'Solides ou plus que solides les problèmes du troisième degré et de degré supérieur, entendant par là que même en recourant à la géométrie « solide » il était impossible de les résoudre complètement par des constructions du second degré. Les anciens, obligés de limiter leurs recherches aux problèmes solides pro-

i. Cf. Enum. Lin, Tert. Ordinis, § Vf, p. 265.

prement dits, avaient commencé par les résoudre au moyen des coniques, par des constructions dans l'espace dont l'élégance n'a pas été dépassée. Les travaux d'Apollonius et d'Hipparque demeurent à cet égard des modèles. Ils obtenaient ainsi l'avantage d'une construction théoriquement rigoureuse pouvant s'effectuer par des intersections planes. Mais ces solutions, qui ne laissaient rien à désirer comme précision, ne tardèrent pas à se montrer insuffisantes en pratique. Il est évident qu'une construction, même facile, effectuée dans Tespace est inférieure au point de vue pratique à une autre plus compliquée mais réalisable dans le pian. Aussi les anciens, après avoir déterminé [)ar composition les lieux des problèmes solides, ont-ils bientôt senti que de telles constructions resteraient inutiles à cause de la difficulté de décrire les sections coniques. En vain essayèrent-ils d'abord de construire ces sections par points, ce qui peut se faire, comme on sait, de façon élémentaire. Un tel artifice ne réussit pas, car il ne saurait s'employer dans la recherche des lieux qui s'obtiennent par des intersections. Ils se résolurent alors à introduire dans la géométrie des courbes dont la nature théorique est bien plus complexe que celle des coniques, mais dont la description pratique peut se faire par des moyens simples. Sacrifiant le goût de l'élégance au souci de la commodité, ils admirent qu'on résolût des problèmes du second ordre à l'aide de courbes d'ordre plus élevé, voire même de courbes transcendantes, si celles-ci étaient d'un maniement plus aisé que les sections coniques. C'est Tépoque où, sous l'influence d'Archimède, de Diodes, deNicomède, la spirale, les conchoules, et les autres courbes mécaniques pouvant se décrire plus ou moins facilement servirent à résoudre dans le plan les problèmes qu'on construisait auparavant dans l'espace. Pappus, qui nous a laissé une histoire de cette révolution scientifique, en rapporte le premier mérite aux travaux d'Archimède. Négligeant la méthode trouvée par les géomètres ses prédécesseurs, d'opérer la trisection de Tanglc par les sections coniques, Archimèdt^ enseigna dans ses Lemmes un nouveau moyen d'e.xéculerce problème. 11 s'y servait de courbes mécaniques, obtenues en tendant des fds, et sa solution h la fois rigoureuse et pratique est le modèle que va suivre Newton.

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Si les anciens, tout en regardant certaines courbes comme mécaniques, les ont cependant préférées pour la résolution des problèmes, il semble à Newton qu il y a encore bien plus de raisons de les préférer pour cet usajjj^e « aujourd'hui que la plupart des géomètres les regardent comme tout aussi géométriques que les sections coniques elles-mêmes *. » C'est en cfTel imposer à l'analyse une restriction singulière que de l'appliquer seulement aux courbes algébriques. La géométrie analytique est plus générale que ne le pensait Descartes. La langue précise du calcul peut tout aussi bien servir à traduire des relations transcendantes que des relations algébriques. C est là une simple question de terminologie.

Si je conviens par exemple de représenter par a (x) la fonction qui est égale au sinus de x, l'équation parfaitement simple

sera celle de la sinusoïde, et si le symbole a (x) se montre commode, il n'y aura nulle raison pour exclure la sinusoïde de l'ensemble des courbes simples admises dans la résolution des problèmes.

Ainsi en développant l'idée des anciens. Newton arrive à celte conclusion que les courbes les plus simples ne sont pas nécessairement celles dont le symbole algébriquo est le plus voisin d'une formule du premier degré. Ce sont celles bien plutôt qui sont le plus faciles h décrire. Or, excepté le cercle, il n'est aucune courbe plus facile à décrire que la conchoïde. Il faut donc la préférer à toutes les coniques, môme si ces coniques menaient, elles aussi, à une solution rigoureuse. Je suppose qu'on demande de partager un angle dans un rapport donné. La troclioïde nous donne la solution; c'est elle qu'ont employée Archimède dans ses Lemmes et Pappus dans ses Collections. Si Ton demandait de partager l'angle en 1 0001 parties égales, est-il un partisan des courbes algébriques ([ui ose préférer l'emploi dune courbe de ce genre, dont l'équation dépasse le 100* degré, a la trochoïde, ligne très connue, et si facile à décrire par le mouvement d une roue ou d'un cercle ? On voit que Newton ne quitte pas un instant le point de vue de