Principes, L. I, S. 12, Trop. LXXVUI Scholie

mi LA PIIILOSUPIIIK DE N'KWTON

mctres. Dos forces Unies aj^issaiil sur un nombre limité de points, tel est l'équivalent que donne le calcul intégral du nombre illimité des forces primitives. Cette réduction n'est possible que par rem})loi du calcul infinitésimal, utilisé comme instrument de quadratures. Ce sont les théorèmes de calcul intégral que Newton établit une fois pour toutes dans la il* Section du premier Livre qui lui permettent de ramener, d*uno manière immédiate, les problèmes 1res complexes de l'astronomie solaire à un petit nombre de types très simples, auxquels correspondent des équations canoniques.

Le calcul différentiel est un procédéessenliel de la mécanique céleste puisque c'est lui (jui donne la loi de force lorsqu'on suppose la trajectoire connue. C'est lui aussi qui fournil les relations entre les éléments finis de l'orbite et la variation instantanée de ces éléments. Parmi les emplois du calcul difTérentiel, il en est un qui mérite d'être signalé, parce que Newton en fait usage à plusieurs reprises. C'est l'emploi de ce calcul comme calcul d'erreurs.

Supposons en effet que les positions d'un astre nous soient données à certaines époques et que ces positions satisfassent à peu près aux lois du mouvement Ivé})lérien. Nous aurons à nous demander si l'astre décrit réellement une ellipse autour d'un centre attractif, ou si les incertitudes d'observation sont telles quon ne puisse a})plii|uer avec rigueur les lois du mouvement elliplicjue. On comprend toute l'imporUmce de cette question en ce qui concerne, par exemple, la recherche des satellites. Pour qu'un astre décrivant autour d'une planète une orbite quasi-elliptique puisse être rc^gardé comme un satellite de cette dc^rnièn», il importe d'avoir une limite supérieure des différences que l'on peut constater entre l'orbite théorique et l'orbite réelle. Si ces différences dépassent une certaine valeur, il sera naturel ou de supposer que l'astre en question subit des influences perturbatrices ou bien que les lois de l'attraction newtonienne cessent d'être vraies. C'est pour décider entre ces deux alternatives (pion se servira du calcul différentiel.

Celui-ci permet d'exprimer la variation d'une grandeur en fonction de la variation dune grandeur corrélative. D'une manière tout à fait rigoureuse il ne peut s'a|)pli(pier que si les

LA GRAVITATION UMVKRSKLLE ET LA MKCANIQUt: DKLESTE 30!

variations sont infiniment petites. Mais lorsque ces dernières, tout en demeurant finies, sont négligeables vis-à-vis des autres quantités, le calcul dilTérentiel peut dune manière approchée fournir les lois dont elles dépendent. Or les erreurs que l'astronome commet en calculant les éléments d'une orbite sont fonctions des erreurs qu'il admet dans ses hypothèses. Ce sont des grandeurs dont on peut évaluer une limite supérieure en fonction de la limite d'exactitude des données. 11 suffit de modifier, par exemple, les lois de Kepler ou la loi de l'attraction universelle en augmentant dune quantité très petite les paramètres qui y figurent pour déduire, par la Méthode des fluxions, la différentielle des fonctions calculées ou Terreur commise*. On verra alors si cette erreur est du même ordre que l'erreur observée, et Ton pourra décider si la divergence des deux nombres doit être attribuée à l'imperfection des mesures ou à Tinsuffisance des lois théoriques.

Ce procédé est employé par Newton pour démontrer, au moyen des satellites de Jupiter, la première partie de la loi d'attraction universelle, savoir la proportionnalité des effets aux masses-. Il ne faut pas oublier en effet (jue la loi de l'inverse du carré des distances n'est pas toute la loi de la gravitation universelle. La proportionnalité des gravités aux masses est démontrée par Newton avec le même soin minutieux que la loi de décroissance avec la distance. Si l'attraction exercée par le Soleil sur Jupiter et l'un quelconque de ses satellites n'était pas très exactement proportionnelle aux masses, il serait possible d'en déduire par la méthode différentielle la variation d'excentricité de l'orbite de ce dernier. Or Newton montre qu'une différence de 1/I000"dans laa gravité accélératrice )> desmasses entraînerait une différence de 1/5 entre les distances extrêmes de Juj)iter et de son satellite. L'orbe (h* ce dernier serait donc très sensiblement excentrique, contre toutes les observations de Galilée et de Newton. On voit par cet exemple, auquel il serait facile d'en ajouter beaucoup d'autres, le rôle curieux que le calcul différentiel, envisagé comme caicid d'erreurs, peut jouer dans l'établissement de la mécanique céleste.

i. C'est lorigine de la « méthode des variations » appliquée depuis par Jacobi et Laplace au calcul des inégalités de tout ordre. i. Principes, L. III, Prop. VI, p. 19.

Avec l'emploi du calcul infinitésimal, la mécanique céleste devient une science positive, en ce sens qu'elle est capable de se contrôler elle-même par le rapprochement des formules et des observations. Mais il ne faudrait pas croire qu^elle devienne par là même une science achevée. On a trop de tendance à croire que son but est de poser une fois pour toutes les équationsdumouvementdu système solaire et qu'elle ne doit rencontrer d'autres diflicultés que celles résultant de la complexité de ces équations. Nous savons déjà que les mathématiques ne sont pas faites pour s'appliquer d'emblée à toute la réalité. 11 faut que celle-ci subisse des simplifications successives qui rendent l'application des mathématiques de plus en plus complète. Ainsi le problème astronomique a reçu une première simplification du fait que le centre de gravité des masses a été substitué aux masses elles-mêmes. Mais les lois du mouvement elliptique ne constituent encore qu'une première approximation. Elles sont vraies dans le cas de deux corps seulement, et ce cas n'est pas exactement réalisé. Le problème des deux corps est un problème restreint, simplifié par une vériUd)le abstraction. Il fournit des solutions provisoires, qui préparent dc^ solutions plus complètes. C'est en somme parce que le solc^ i exerce sur toutes les planètes une action prépondérante, quc^ a pu négliger tout d'abord dans la mécanique céleste l'ir fluence des planètes les unes sur les autres pour se borner::::^ avec Kepler à la tiiéorie d'une planète isolée.

Mais une fois que la loi d'attraction a été dégagée de ce ca^ théorique, le bon sens même indique qu'il va falloir complétc^i^ les résultats de Ivepler par une approximation plus subtilcr^^ Les planètes exercent les unes sur les autres des attractions d tous points semblables à celles qui émanent du soleil, etrefTir== de ces forces va être de troubler leurs trajectoires théoriques^ Ainsi la perfection même avec laquelle, en première approxlT-mation, les planètes suivent les lois de Ke|)lcr, amène àrechercher une approximation plus grande où ces lois seront dépassées. Le calcul des forces perturbatrices et des inégalités donne un terme complémentaire qui vieiulra s'ajouter à celui que fournil le problème îles deux corps ^ C(î terme, pas plus que