L'ARITHMÉTIQUE KT L'ALGÈBRE

mesure et des notions que suggère rexpérience. Enfin, dans l'Algèbre elle-même, la simplicité à laquelle on aspire ne doit pas se concevoir indépendamment de la pratique. Si une solution est utilisable, fût-elle irrationnelle ou transcendante, elle est simple dans le vrai sens du mot. Sur ce point Newton s'oppose à Técole mathématique cartésienne, bien qu'à d*aulrcs égards il en soit Théritier direct. Ses goûts d'observateur et de physicien le rapprochent davantage de Huyghens, qu'il cite toujours comme un modèle de finesse et de lucidité. Les anciens mêmes, malgré l'imperlection de leur analyse, avaient eu mieux que Descartes, le sentiment de l'usage vrai du calcul. « Si nous possédions tout ce qu'ils ont écrit, dit Newton quelque part, sans doute qu'il ne resterait aux modernes rien d'utile à découvrir ». Cela tient à ce qu'ils ont toujours su proportionner leurs méthodes à la nature des problèmes qui se posaient à eux. Après avoir longtemps sacrifié l'utilité à la seule élégance, ils se sont décidément tournés vers le côté pratique, cherchant, dans des constructions aisées, la solution des problèmes difficiles. C'est aussi la tendance de Newton. L'Arithmétique et l'Algèbre ne sont que l'expression précise du bon sens. Nous allons voir que l'Analyse proprement dite et lo calcul infinitésimal s'acquittent, dans un autre domaine, d'une fonction analogue.

C'est un fait général dans l'histoire des idées que l'influence exercée par les sciences exactes sur les progrès de la philosophie. Tne toile infhience n*a pu être douteuse que dans lc« îiièclesdo mysticisme ou aux époques de bouleversement moral qui ont signalé les crises de l'hisloire. Il est clair que le moyen iige, aveuglé par la foi. les contemporains d'Kpicure ou de Zenon, ciésinnix surtout de sérénité morale, les poètes-philosophes d Alexandrie, attendant d'un amour divin toute paix intelhclut'lle, devaient ailleurs que dans la science chercher d'ohsiMires insi)irations. Kt encore ne faudrait-il ici affirraer qu*avec réserve. Le Inheur scientifique du moyen âge a été plus grand qu'on ne dit généralement ^ et son influence sur la philosophie scohistique s'est montrée directe et profonde. Epicure ou Lucrèce, tout en mé])risant la science, s'en servent à chaque instant, el Ion peut dire que leur morale môme est remplie de physique et de mathématiques. Kn tous cas, de Platon jusqu'à Knnt. chacjue système rationnel de philosophie s'est vu accompagné d'un système scientifique nouveau, comme aussi chaque progrès dans les sciences a entraîné une modification dans la vue d'ensemble qu'on se faisait de l'univers.

II est une remanpie qu'il faut ajouter. Si les sciences ont dû quelque chose aux progrès de l'esprit philosophique, c'est presque toujours dans leur partie concrète* ou appliquée. Les idées toutes formelles d'Aristote sur la matière et l'être ont marqué d'une profonde empreinte - les premières recherches sur la

L Cf. par exemple Cantor, Gesch. d. Mat hem, I. II. 2. Voy. Lange. i/i>7. du Matérialisme, V. I.

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physique. Démocrite, par sa théorie du monde autant que par ses essais d'expériences, a été, comme l'a fait voir M. Berthelot, le véritable initiateur de la chimie. L'école néo-académicienne et l'école sceptique ont introduit Tesprit critique en médecine. Les préceptes logiques de Bacon ont servi de règle aux sciences expérimentales.

Au contraire, si nous nous demandons quelles sciences ont aide le plus au développement des idées philosophiques, nous verrons que, toujours et partout, ce furent les sciences mathématiques. L'arithmétique dePythagore a donné aux anciens la première notion de l'harmonie naturelle. La géométrie était pour Platon le passage nécessaire de l'erreur à la sagesse. Les progrès de l'algèbre ont amené Descartes à la recherche d'une méthode philosophique possédant h la fois la clarté et la rigueur. Spinoza, Leibniz, Kant ont tiré de leurs idées sur l'étendue les véritables prémisses de leurs systèmes. Il semble qu'il y ait là une loi générale, d'après laquelle les idées de rapports sont les plus propres à servir de base aux autres. La manière dont nous concevons la grandeur, la continuité, les relations de figure, la réalité que nous donnons à nos expressions et à nos formules, déterminent le fond môme de nos idées. Le sens des conceptions les plus simples varie selon le cadre où nous les plaçons, et le système qui semblait évident au disciple d'Aristote parce qu'il croyait vivre au centre d'une sphère finie, semblera impossible au philosophe moderne, par cela seul que la géométrie l'a rendu familier avec la notion d'étendue sans limites.

L'invention du Calcul Infinitésimal, qui a rendu possible la théorie des fonctions, est une de ces découvertes mathématiques dont le contre-coup était inévitable sur la marche des idées. Si l'on considère la philosophie de Descartes, dont l'auteur croyaità coup sûrqu'elle répondraitpendantlongtemps à toutes les exigences de l'esprit moderne, et si l'on se demande pourquoi, trente ans après la mort de Descartes, son système n'avait plus d'adhérents que parmi les obstinés ou les retardataires, on est obligé d'admettre l'explication que lournit l'histoire : la méthode de Descartes, entièrement inspirée de ses découvertes mathématiques, avait été un instrument utile tant que ces découvertes ne furent pas dépassées. Sa géométrie, et surtout son Bloch. 3

algèbre, sa manière de discuter les équations, de classer les courbes, de construire graphiquement les probl^iTies, étaient autant d'innovations dont on ne saurait nier l'importance et qui, avec les travaux de Fermât, ont fait progresser les mathématiques plus que des siècles n'avaient fait. Descartes avait donc eu raison lorsqu'il s'en était inspiré pour trouver une méthode universelle. Sa philosophie, ayant la môme certitude que celle dont la géométrie se pique, et profitant à sa façon du progrès immense accompli par cette science, était naturellement faite pour donner confiance. Il était difficile de croire qu'après une réforme si importante ne vînt pas une période d'évolution paisible, où la philosophie d'une part, les mathémî\ tiques de l'autre, se développeraient spontanément dans le sens marqué par Descartes.

C'est cependant le contraire qui eut lieu. Les mathématiques, orientées par Fermât et Descartes, venaient de recevoir une impulsion qui devait aller en s'accélcrant. Gomme Descartes avait cru trouver dans Talgèbre l'instrument tout-puissant de la raison, les précurseurs de Newton et de Leibniz, tentèrent de chercher dans un symbolisme nouveau le moyen d'aborder des problèmes imprévus. C'est par la physique que commencèrent à se faire jour les lacunes de la théorie cartésienne ; ce sont aussi les hypothèses physiques de Descartes qui amenèrent d'abord la refonte de sa géométrie. Le but essentiel du cartésianisme avait été de rendre les mathématiques immédiatement applicables à la réalité, telle du moins que le concevait l'esprit constructif du maître. On peut dire que le môme but est celui de Newton, puis de son école. MaisTesprit d'observation propre à celle-ci l'obligea voir la réalité d'une façon moins simple et moins schématique. Les relations numériques entre les objets, c'est-à-dire l'algèbre proprement dite, ne représentent que l'aspect momentané des choses, l'ordre universel tel que le conçoit l'intuition cartésienne. Les lois du changement et du mouvement ne peuvent s'élucider par l'Algèbre toute seule. La continuité qui y préside a besoin d'une expression spéciale, et c'est la Ciéométrie Infinitésimale qui va la fournir*.

1. « C'est l'élude scientifique des phénomènes naturels qui avait guidé Newton el Leibniz, comme leurs prédécesseurs, jusqu'à leurs découvertes

L'idée d'une « Géométrie des Infinis » n'était pas absolument nouvelle. Sans remonter aux premiers aperçus que nous ont laissés les anciens eux-mêmes, on sait que dès le xiv* siècle, les géomètres s'étaient préoccupés de l'idée de limite. Campanus^ et Thomas de Bredwaj'din^ avaieni, semble-t-il, rencontré d'insurmontables difficultés à définir l'angle suivant lequel une droite coupe une courbe, principalement au cas où la droite est mobile et tend, à la limite, vers Tune quelconque dos tangentes à la courbe. Cette difficulté ne fut surmontée que deux siècles plus tard par les travaux de Cardan, Dans son Opus novum de proporlionibus, publié à Baie en 1570, on trouve la définition rigoureuse de l'angle de contact ou i}iQ contingence. C'est l'angle que forme une courbe avec sa tangente regardée comme limite de sécantes infiniment voisines. Une telle notion avait été suggérée à Cardan par l'étude de l'intersection des courbes. Si nous convenons de mesurer l'angle de deux courbes par l'angle des tangentes au point commun, il estclair qu'entre deuxcercles par exemple, nous pourrons en insérer une infinité d'autres se coupant sous des angles de plus en plus petits : il suffira de diviser en un nombre croissant de parties égales l'angle des tangentes primitiveset de considérerles droites de division comme les tangentes à des cercles nouveaux. Nous obtenons de la sorte des angles « indivisibles », c'est-à-dire infiniment petits, dont la somme reproduit l'angle donné. Mais que devient la construction si les deux cercles sont déjà tangents? Est-il possible de mener entre un cercle et sa tangente un autre cercle faisant avec la tangente un angle moindre que le premier? Cardan répond très hardiment que tous les cercles intercalés entre un cercle donné et sa tangente forment, aussi bien avec la courbe qu'avec la droite des angles égaux. Ces angles ne sont pas de grandeur finie, ce sont les « indivisibles » de tout à l'heure. Et si l'on demande comment il est possible qu'un angle évanouissant (celui de la sécante et de la tangente) demeure supérieur

définitives : une fois acquises les deux notions d'inlôgralo et de différentielle, c'est encore l'élude de la nature qui devait en diriger les premit^res applications. » — Painlevé, le Problème moderne de l'intèf/ralio?i des équalioM différentielles {Bull, des Se. Math., T. XXVIII. p. 193).

1. Jean Campanus de Novare, chapelain du pape Urbain IV de 12G1 À 1281

S. Procurateur de l'Université d'Oxford vers 1325.

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qu'assez tard les travaux de Cavalier!. C'est par le Père Mersenne, semble-t-il, qu'il fut mis en relation avec lui, et nous avons de Fermât un opuscule de 1644, sans grande portée, où sont résolues quelques questions de Cavalieri *. Bien avant cette date, Fermai était en possession d'une méthode extrêmement profonde et générale, par laquelle il avait abordé avec succès la plupart des problèmes de géométrie analytique. La quadrature non seulement de la parabole, mais des paraboles et hyperboles d'ordre supérieur, la cubature du paraboloïde de révolution, la rectification de la cissoïde et de la spirale sont un exemple des résultats auxquels Fermât s'était élevée Sans examiner la question de savoir si c'est à lui véritablement qu'il faut faire honneur des premières méthodes du calcul intégral, il nous suffira de signaler une invention , d'apparence secondaire, en réalité plus importante que tout ce qui avait été fait jusquelà. C'est celle de la notation différentielle, dont Fermât faisait un emploi méthodique.

Fermai est le premier qui ait fait servir l'algèbre à la désignation de ces grandeurs évanouissantes qui doivent s'éliminer à la fin du calcul. Nous verrons bientôt qu'une des parties essentielles de l'œuvre de Newton, une des causes les plus précises de son conflit avec Leibniz, fut la question de la notation infinitésimale. Nous envisagerons à ce moment la portée philosophique de cette question. Retenons seulement que Fermal, dans la recherche des maxima et des minima, se servait d'un symbole toujours le même, la lettre £", pour désigner l'accroissement infiniment petit de la fonction. Si, par exemple, nous voulons chercher les valeurs de l'abscisse qui rendent l'ordonnée d'une courbe maxima, nous appellerons A cette ordonnée, A + £" l'ordonnée infiniment voisine, et en nous servant de la « propriété caractéristique » de la courbe, c'està-dire de son équation, il nous suffira d'écrire que ces deux valeurs sont égales pour obtenir une formule, divisible par E, d'où l'inconnue se tire algébriquement. Remarquons que la notation de Fermât présentait à la fois un avantage et un inconvénient. En employant des lettres analogues pour désigner les

i. Œuvres de Fermât, Ed. I». Panneryet Cli.llcnry, T. I, p. 195. 2. Cf. Cuntor, Gesch. d. Math., T. 111, p. 783 sqq.

quantités ordinaires et les infiniment petites, il montrait clairement que les mêmes règles sont applicables aux unes et aux autres et que le « calcul des infinis » n'est qu'une extension naturelle de l'algèbre. Mais en n'affectant pas d'un signe distinctif les grandeurs qui décroissent indéfiniment, il rendait malaisé le calcul des accroissements, sitôt qu'ils ne dépendent plus d'une manière tout à fait simple de la variable indépendante.

Malgré cela il est juste de dire qu'après la décomposition des figures en éléments simples, telle que l'enseignait Cavalieri, après l'évaluation des volumes et des aires, telle qu'on la trouve chez Kepler et Guldin, il ne manquait plus qu'une notation appropriée pour donner au calcul nouveau toute son ampleur. Cette notation, Fermai Ta trouvée, et on peut dire que s'il l'avait choisie plus commode, il élait capable de pousser ses découvertes aussi loin que le firent Newton et Leibniz. Comment se lait-il donc que vers 1635, aune époque où le calcul infinitésimal s'était presque constitué de lui-même, un esprit comme celui de Descaries ait apparu sans rien ajouter à cette partie de la science ? Gomment s'expliquer que TAlgèbre et la Géométrie proprement dite aient seules profité de ses recherches, alors qu'aussitôt après sa mort, Pascal en France, Newlon et Leibniz en Angleterre et en Allemagne devaient reprendre et pousser jusqu'au terme les travaux de Gavalieri et de Fermât ? Il y a à cela des raisons historiques que nous comprendrons si nous analysons l'esprit de la Géométrie Cartésienne et si nous voyons les rapports étroits qui la relient à sa philosophie.

La Géométrie Analytique passe pour être Tinvention propre de Descartes. 11 y a là une idée si accréditée qu'il en faut chercher l'origine dans un fait réel. Descartes a su, mieux que ses prédécesseurs, employer les ressources de l'algèbre à la discussion des problèmes géométriques. Mais n'entend-on par Géométrie Analytique que la désignation des longueurs par des lettres ? Il semble que le principe de cette science, telle que nous la concevons aujourd'hui, soit tout autre chose. Remplacer l'étude d'une courbe par celle d'une équation, tel est le véritable rôle de la Géométrie Analytique. On comprendra mieux cette définition en se reportant à ce qui se passe dans le plan.

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Si nous traçons dans un plan deux axes rectangulaires et que nous convenions de représenter par un point l'ensemble de deux grandeurs corrélatives a? et y, supposées égales (en grandeur et en signe) aux distances qui séparent le point des axes coordonnés, nous voyons que toute succession continue de valeurs attribuées k x ei y aura son image dans le plan, et cette image correspondra point par point aux solutions de Téquation. Le même fait se reproduit dans l'espace, et pour un géomètre moderne il est presque inconcevable que la géométrie analytique plane ne se complète pas immédiatement par la géométrie analytique à trois dimensions. L'une et l'autre, en tous cas, impliquent le continu. Elles admettent, comme on Ta démontré depuis, que la manière d'être d'une courbe ou d'une surface algébrique dans le voisinage, si proche soit-il, d'un de ses points, permet de juger de la façon dont elle se comportera en un point quelconque ^ Les propriétés de contact, de courbure, de double courbure, sont susceptibles d'une expression générale, valable en tous points, sitôt qu'on possède l'équation de la figure, ou, comme le disait Fermât, sa « propriété caractéristique. » C'est parce que les solutions d'une équation à deux variables forment, sauf l'exception apparente des points critiques, un système uniforme et continu de valeurs, que nous sommes assurés de trouver d'un bout à l'autre de la courbe la conservation des mômes propriétés géométriques. Si maintenant une ligne doit jouir de deux propriétés géométriques distinctes, nous aurons à chercher les deux équations générales qui expriment les propriétés algébriques équivalentes et un simple calcul d'élimination remplacera le tracé de la ligne demandée. L'Algèbre se présente de la sorte comme un substitut des difficultés géométriques. Ce sont les problèmes qui apparaissent comme difficiles, soit par la complication de leur énoncé, soit par l'incommodité de leur construction, que nous essayons de tourner par l'Algèbre. Au fond la nature du problème n'est pas modifiée par le langage sous lequel on l'énonce, et pourtant il y a une différence essentielle entre le cas où nous avons à grouper des données géométriques et celui où il faut discuter des formules algébriques. Les premières

4. Voy. Iladamard, La Série de Taylor et son Prolongement analytique^ chez Naud, 1900.

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forment un système d'éléments discontinus, qui sont susceptibles d'une combinaison et d'une seule, en dehors de laquelle il n'est pas de solution. Cette combinaison pourra apparaître d'emblée à un esprit familier avec l'usage des figures, mais il n'existe aucune règle certaine pour la distinguer des combinaisons stériles. Au lieu de cela le système d'équations représente une continuité parfaite. La combinaison des variables qui y figurent est assujettie à des règles fixes, et nous pouvons toujours, au moins théoriquement, obtenir sans effort d'invention le groupe des nombres qui les rendent compatibles. C'est là ce qui fait la vraie valeur de la Géométrie Analytique. Elle ne représente pas les équations par des courbes, mais les courbes par des équations. En d'autres termes elle n'a pas à construire, par des moyens géométriques, les racines communes à plusieurs équations, elle doit suppléer bien plutôt à l'insuffisance de nos moyens graphiques, en remplaçant la construction des lignes par la détermination des nombres qui les mesurent. Ce qui rend le second problème plus aisé à résoudre que le premier, c'est l'idée de la continuité, que la géométrie élémentaire admet sans doute, mais dont elle ne sait pas profiter. Avec la notion de variable et celle de fonction, l'Algèbre peut précisément faire l'analyse du continu et la Géométrie Analytique est le résultat de ce travail.

Les coordonnées rectangulaires, dont on a parlé plus haut, portent souvent le nom de coordonnées cartésiennes. Descartes a eu la notion très nette de l'emploi qu'on en pouvait faire, bien qu'il n'en indique nulle part la définition générale. 11 est bien certain qu'avant lui l'idée des ordonnées ou appliquées, ç'est-à-dire des droites parallèles limitées d'une part à lacourbe, d'autre part à une droite fixe appelée règle ou base, a été utilisée par les géomètres du xvi« et du xvii* siècle'. Descartes lui-même ne va pas plus loin. Il n'est pas parvenu à Tidécde la correspondance réciproque entre les abscisses et les ordonnées et nulle part dans sa géométrie on n'entrevoit nettement l'idée de fonction. Si la Géométrie Analytique de Descartes était vraiment ce que nous appelons de ce nom, il est évident qu'elle devait commencer par l'équation de la ligne droite. Or il est

1. Voy. Cavalieri, Géométrie des indivisiblesy L. IV. — Kepler, Opéra, IV, 598.

remarquable qu'en aucun endroit on ne trouve chez Descaries cette équation si simple. La formule :

ux -f vy + w =z 0

se rencontre pour la première fois dans le traité classique de Y Hôpital S le premier ouvrage d'enseignement où la Géométrie Analytique figure d'une façon complète.

Descartes ne se préoccupe nullement de donner l'équation qui correspond à chaque espèce de courbes, et d'étudier sur l'équation, par la voie générale, les propriétés que la géométiiî établit dans des cas particuliers. Les inconnues qui figurent dans les formules de Descartes ne sont jamais envisagées comme des variables, au sens moderne du mot. Les équations ne sont pas traitées comme renfermant sous une forme condensée l'ensemble des valeurs qui répondent au continu géométrique. Descartes tout au contraire, malgré le mépris qu'il professe pour la méthode des anciens géomètres, résout par une voie qui est neuve des problèmes posés à la façon des anciens. Quel est pour lui le sens d'une question? Un problème mathématique revient toujours à un problème de constï*ucUon. Ce que l'on demande à l'analyste, comme ce qu'on demande au géomètre, c'est de tracer une ou plusieurs longueurs dont la position permettra de construire, autant que possible par la règle et le compas, d'autres longueurs qui sont les inconnues*. Ainsi la construction de certains segments, déterminés en grandeur et en signe, est le but dernier de la géométrie cartésienne. Quand la règle et le compas ne suffisent pas, d'autres courbes sont indispensables. Mais l'intérêt que ces courbes présentent ne réside pas dans les propriétés générales communes à tous leurs points. H réside dans le moyen qu'elles fournissent de découper une grandeur déterminée sur une