Cf. Principes, L. Il, S. 2, Scholie Général

et il devra être possible de tirer de ce système une solulio- A,B, unique et compatible avec toutes les équations. S'il e est ainsi, la loi physique se trouve mathématiquement déte* minée.

Si nous ne pouvons trouver pour A et B un système de non brcs constants, cela prouve que les hypothèses faites sur L -^ nature des résistances sont physiquement insuffisantes et qui: ^ est nécessaire d'introduire des termes en CV^ ou d'autres plu: ^ compliqués encore. Dans la plupart des cas nous arriverons- ^ sans peine, par une suite d'essais méthodiques, à trouver un(^ ^ forme mathématique approchée qui convienne à tous les résul— ™ tats. Cette forme ne sera valable naturellement que dans le^s=-

cas suffisamment voisins de ceux pour lesquels elle a été éta

blic. Elle ne saurait prétendre à une signification absolue, méthode des coefficients indéterminés, telle que Newton rapplique à la recherche des lois physiques, est un instrument quii donne des résultats précis, mais dans un domaine toujourslimité.

11 est un cas extrêmement important où la forme mathématique des lois physiques peut se prévoir a priori. C'est celui où il s'agit d'étudier les variations d'une grandeur quand la variable subit des modifications très petites. Ce cas se rencontre dans la théorie de l'élasticité, lorsqu'il s'agit de déterminer les petites déformations des corps, on le rencontre aussi en astronomie lorsqu'on superpose aux forces d'attraction des forces perturbatrices.

Nous pouvons affirmer que dans tous les cas de ce genre la variation de la fonction est infiniment petite en môme temps que celle de la variable. C'est là une conséquence nécessaire du principe de continuité. Si ce principe ne peut souffrir d'exception en mathématiques, il n'en saurait admettre davanUige dans la nature. On peut donc dire qu'une force quelconque dépendant de variables infiniment petites est elle-même infiniment petite et par suite proportionnelle à ces variables. La loi de proportionnalité de la variable et de la fonction, qui est exceptionnelle entre grandeurs finies, est la règle entre grandeurs infinitésimales. Dès lors on peut affirmer, indépendamment même de toute expérience, que l'allongement élastique d'un fil est proportionnel à la traction, que la résistance qui

s'oppose à un mouvement très lent est proportionnelle à la "witesse, que l'effet des actions pertubatrices en astronomie est, ^ant que ces actions demeurent très petites, proportionnel à leur intensité. Cetteloideproportionnalitédevientsi générale qu'elle iînit parneplus apprendre grand'chose. Elle peut môme devenir \in embarras pour le physicien, car elle l'oblige à confondre dans un terme unique des effets qui ne tarderont pas à se différencier. C'est une difficulté à laquelle Newton se heurte lorsqu'il fait la théorie des oscillations pendulaires dans un milieu résistant *. Pour déterminer les lois de l'amortissement du pendule, Newton fait des mesures aussi exactes que possible du retard apporté par la résistance de l'air au mouvement de masses très différentes. Tant que les masses utilisées sont notables, il demeure possible d'isoler méthodiquement les différents termes de frottement et de montrer qu'ils obéissent à des lois distinctes. Mais dans le cas de masses très petites,, dont l'inertie dépasse à peine la résistance du fluide, Newton rencontre de telles divergences entre les nombres calculés et les nombres observés qu'il est obligé d'exclure expressément de sa théorie les corps très légers qui s'amortissent trop dans l'air. Il est tout à fait impossible avec des corps de ce genre de séparer dans la courbe des retards les éléments dus à la résistance proprement dite, et ceux qui viennent de réchauffement, des poussières, des gouttes d'eau. Tous ces effets, étant très petits, se confondent dans la même loi linéaire. Cette forme linéaire, si séduisante par sa simplicité, ôte souvent aux lois toute signification véritable. Elle cesse de se vérifier sitôt qu'on veut Tétendre à une échelle de variations un peu grande. C'est ainsi que l'aimantation, qui est d'abord proportionnelle à la force magnétisante, cesse de suivre la loi de proportionnalité sitôt qu'on atteint des inductions élevées. Les lois de proportionnalité qui senties plus simples de toutes, sont aussi les plus banales. Elles s'appliquent à tout champ de variations très petites, et cessent généralement d'être vraies sitôt qu'on veut accroître leur extension.

La forme mathématique donnée aux lois physiques va permettre d'attribuer à ces dernières un degré de généralité qu'elles

i, V. Pnncipes, L. H, S. 7, Scholic, Exp. 3.

ne sauraient avoir autrement. Il se passe ici quelque chose d'analogue h ce qu'on constale lorsqu'on passe de l'arithmétique à l'algèbre. L'arithmétique est obligée de considérer chaque problème d'une manière particulière. Chaque fois que les données numériques varient, elle est obligée de refaire la totalité (le ses raisonnements Elle ne possède pas de fonnule générale, c'est-à-dire de règle qui s'applique uniformément à tous les problèmes d'un même groupe. Au lieu de cela, l'algèbre nous fournit le moyen de faire abstraction de toute donnée déterminée pour n'envisager que la loi à laquelle satisfont les questions du même genre. C'est la forme des relations qui l'intéresse, plutôt que la valeur des nombres employés.

De môme en physique, l'observation brute ne saurait voir aucune analogie entre des cas d'apparence aussi différente que celui des oscillations du pendule, celui des ondulations de l'eau, celui de la propagation du son. Pourtant la physique mathématique nous enseigne que le mouvement oscillatoire du pendule se caractérise par une équation générale qui exprime la proportionnalité des forces aux élongations. La même équation se retrouve, seulement avec une interprétation différente, dans le cas des ondulations liquides. Les cercles qui se produisent à la surface de l'eau sont eux aussi, en chacun de leurs points, le siège de forces proportionnelles aux déplacements et la vibration transversale du liquide trouve son image ton t à fait exacte dans les mouvements d'allée et venue du pendule. Il en est de niéme des ébranlements sonores, bien que les vibrations y soient longitudinales. Les couches d'air alternativement condensées et raréfiées doniicnt lieu à des « pulsions » * régulières qui obéissent à des forces alternantes comme celles dont dépend l'oscillation du pendule. Il suffisait d'étendre à la propagation de la lumière des vues analogues, pour en tirer une théorie ondulatoire extrêmement voisine de celle de Fresnel, et il n'est pas certain que Newton n'ait pas songé à faire le rapprochement ^

Quoi qu'il en soit, nous pouvons observer qu'après avoir mis

i. V. Principes. L. II, Prop. XLVII, Th. XXXVII, p. 403.

2. V. par exemple Pnncipes, L. II, Prop. L.. Scholie. « Ces dernières propositions (trouver les distances des pulsions) peuvent s'appliquer au mouvement de la lumière et des sons. »

SOUS fomie mathématique les lois qui correspondent au mouvement du pendule, à l'oscillation des fluides, à la propagation du son, etc., ces (liiïérentes lois se trouvent identiques, à Tinterprétation près des symboles. La lettre qui désigne ici une pression pourra désigner ailleurs un poids ou une tension. Mais la loi numérique demeure la môme, et cela suffit pour que tous les phénomènes étudiés puissent être regardés comme du même ordre. C'est ainsi qu'il nous sera possible de faire de l'un d'eux le type de tous les autres. Dans l'exemple que nous avons choisi, il sera naturel de prendre l'oscillation du pendule, phénomène familier et visible, comme type du mouvement « pendulaire », type qui se retrouvera en acoustique, en hydrodynamique. Il est môme à remarquer que le mouvement pendulaire va se retrouver dans ces différents domaines avec toutes les particularités qu'il peut présenter : l'amortissement du pendule causé par la résistance de l'air aura exactement son image dans l'amortissement progressif du son. Les ondulations excitées à la surface d'un liquide finiront par s'éteindre spontanément pour les mômes raisons qui ralentissent le pendule*. De toutes façons, le calcul aura réduit à un type physique uniforme, ou si l'on préfère à une loi générale, une multitude de phénomènes divers qui n'ont en commun que la formule de leur mouvement.

11 est intéressant de se demander ce qu'est devenue dans la Physique moderne l'idée si originale de Newton qu'une formule mathématique identique peut convenir à des phénomènes divers et qu'il suffit de développer la théorie à propos de l'un quelconque de ces phénomènes pour pouvoir l'appliquer, moyennant un changement d'interprétation, à tous les phénomènes du môme type. C'est encore le mouvement pendulaire qui devait servir de guide aux recherches modernes. Les théories de l'élasticité de Cauchy et de Lamé avaient montré que toute déformation d'un corps ten l à faire naître dans ce corps une résistance proportionnelle au déplacement, et que la molécule, si elle était libre, vibrerait suivant une loi quasî-

1. V. Principes, L. II, Prop. XLVH. « Des pulsions étant propagées dans un fluide, chacune des particules de ce fluide, qui vont et qui viennent par un mouvement réciproque très prompt, sont toujours accélérées et relardées suivant les lois des oscillations des pendules. »

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pendulaire. Du fait de la liaison de cette molécule avec les molécules voisines, le mouvement pendulaire ne peut s'effectuer qu'en excitant des réactions de même forme, et toutes les parties du milieu tendront à vibrer suivant une loi commune, donnant lieu à des alternatives régulières de compression et de dilatation. C'est à peu près ce qui se passe dans le milieu où se propage la lumière. La lumière suit exactement les mêmes lois que le pendule dans le vide, et on en peut dire autant de l'électricité depuis qu elle est connue sous forme oscillante.

La question se pose alors de savoir sil n'y a pas une forme mathématique commune à toutes les lois naturelles. Puisque la périodicité est le caractère général des phénomènes physiques les plus divers, ne peut-on prétendre que /om^ phénomène doit obéir à une formule périodique? C'est l'idée qua soutenue Fourier, et on connaît le théorème fameux par lequel il montre qu'une loi physique arbitraire résulte toujours de la superposition d'une infinité de lois périodiques *. Par ce théorème, Fourier réduisait tout d'un coup la physique mathématique prise dans son ensemble à une simple illustration de la trigonométrie. A la vérité, le théorème de Fournier a reçu après lui de multiples applications. Les phénomènes d'alternance du courantéleclrique sont venus s'y soumettre avec une exactitude parfaite.

Malgré cela il a semblé à bien des savants plus prudent de ne pas préciser à ce point la forme mathématique qui convient à tout le réel. Ils acceptent Tidée que tous les phénomènes physiques doivent s'exprimer par des équations communes. Mais il leur semble bon de ne pas réduire ces équations à la seule forme pendulaire. Ils se contentent de soutenir que toutes les lois physiques peuvent s'exprimera l'aide des équations de la Dynamique. On sait que ces dernières ont été établies par Lagrange et portent depuis les travaux de Jacobi le nom d équations canoniques. Soutenir que tout phénomène physique peut s'exprimer par des équations de la forme canonique, c'est la manière la plus précise qu'on rencontre chez les modernes de faire entendre que tous les phénomènes physiques suivent au fond une formule identique. Cette manière de voir, comme