De Quad. Ciirv. p.iM

la longueui' d'un quadrant, on peut le faire au moyen de la série

ou de la série

Mais en supposant qu'on demande une approximation de vingt décimales, la première série nécessitera le calcul d'un nombre de termes égal à

tandis quavec la seconde une cinquantaine ou une soixantaine pourront suffire ^

Ainsi Newton se préoccupe bien de la convergence, mais ce n'est jamais pour la démontrer, c'est plutôt pour en apprécier le degré. Il a môme l'idée qu'un cbangement de variables peut accélérer la convergence d'une série, ou servir à limiter une série qui autrement s'étendrait à linfini^ Dans tous les cas il pose en fait que les séries rapidement converg-entes sont les seules qui puissent être d'un usage courant.

Si les conditions théoriques de la convergence n'ont pas été établies par Newton, on peut se demander comment en fait 11 a pu se tenir d'instinct dans le domaine où sa méthode était légitime. Il y a à cela une raison bien simple, qu'il faut demander à son goût d'empirisme, de contrôle et de vérification.

Lorsque le calcul différentiel ou le calcul intégral nous ont permis de trouver les fluxions d'une quantité donnée, ou la quantité dont la fluxion est donnée, c'est seulement une première partie de notre tâche qui est accomplie. Il faut ensuite de toute nécessité vérifier, par un calcul inverse, si l'expression