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lias inotuuni vel incremonloriini velocitales noininando Fluxiones, et quantitates genitas noniinando Fluentes, incidi paulalim annis 1665 et 166G in Mclliodiiiii Flu.xioMuiii (|ua hic u.siis suiu in (Juad. Curv ». — " Fluxiones .sunt quani |)r(jxiine ut Fluentium Augmenta avjualiljus temporis particulis quam minimis genita ».

grandeur, Newton allait faire faire à la science un progrès nouveau. Supposons quil se soit confiné au terrain algébrique, il eût alors défini les fluxions d'une manière purement analytique, à l'aide de ses développements en série. La fluxion d'une quantité y aurait été l'expression en série (limitée aux termes du l" ordre) qui donne l'accroissement de y quand x augmente d'une quantité très petite. On a vu que cette définition était déjà un progrès notable par rapport aux essais tentés jusque-là. Elle avait rendu faciles et presque immédiates, toutes les quadratures duncpart, toutes les déterminations de maxima de l'autre.

Mais les problèmes de cette espèce n'étaient déjà plus, au temps qui nous occupe, les seuls qui sollicitaient l'effort dessavants. Sous l'impulsion de de Beaune, de Collins, de Huyghens, le problème inverse des tangentes avait pris une extension qu'il ne possédait pas d'abord. Il s'était présenté au début, sous sa forme la plus simple, c'est-à-dire comme la rechercbe d'une grandeur dont la différentielle est donnée explicitement. Depuis on avait rencontré des cas beaucoup plus généraux et plus complexes. L'idée qu'une relation quelconque étant donnée entre x, y et leurs fluxions, il doit être possible d'en tirer la formule finie qui lie x ely seulement, s'était fait jour peu à peu. C'est le problème moderne de l'intégration des équations différentielles. Il faut dire que c'est Newton lui-même, par ses. travaux préliminaires à la Mécanique Céleste, qui a fait le plus pour énoncer clairement et pour résoudre approximativement le problème. De même qu'il avait considéré une équation entre y, X cl X comme résumant tous les problèmes de quadrature,, il comprit qu'une relation de la forme

fdl, y, X, x) r= 0

est l'expression condensée d'un problème concret de mécanique. Supposons en effet l'équation résolue par rapport aux fluxions qu'elle renferme. A cause de l'bomogénéité de ces fluxions, sur laquelle nous avons insisté plus haut ', et grâce à laquelle-

le quotient 4 peut seul figurer dans les formules, l'équation 4. V. Chap. IL

LA l'ORTlùU: DU CALCUL DES FLUXIONS 87

résolue par rapport à ce quotient prendra nécessairement la forme suivante^ :

Mais quel est le sens de cette expression ? 11 résulte de ce qui a été dit touchant l'interprétation mécanique des fluxions, que

le rapport — a toujours la signification d'une vitesse. La fonction y est toujours par rapport à la variable dans la situation d'une grandeur « relative » ou « engendrée » par ra])port à la grandeur « corrélative » ou « génératrice ». Alors l'équation que nous venons décrire prend tout de suite un sens mécanique qui permet de pressentir la solution. Elle signifie qu'un mouvement nous étant donné par la loi qui relie la vitesse à l'espace et au temps on peut en déduire une loi reliant l'espace et le temps entre eux'. Sous cette forme l'existence de la solution ne saurait faire de doute. 11 est de la nature des choses que tout problème de mécanique possède une solution et une seule. Alors l'assimilation dune équation différentielle aux équations de la dynamique dispense une fois pour toutes d'établir l'existence des solutions qu'on recherche, elle dispense de montrer qu'elles sont uniques, continues et bien déterminées. Toutes ces propriétés résultant à priori du fait qu'une vitesse, un temps et un espace conviennent à un mouvement et à un seul. On voit que les difficultés, parfois insurmontables, (jue l'analyse moderne a rencontrées dans l'établissement des théorèmes d'existence ont été heureusement tournées par Newton, grâce aux interprétations mécaniques. De la sorte la méthode des Fluxions a pu se développer comme mécanisme sans être arrêtée par des scrupules de principe. C'est la condition essentielle du progrès pour une science encore à ses débuts.

11 est intéressant de rapprocher la mesure de la croissance, telle (pu; Newton la faisait au moyen du temps, des idées