Gonip. Principes, L. I, S. 1, Scliolie

12 i LA PHILOSOPHIE DE NEWTON

courbe continue. Ainsi la continuité physique nous est révélée dabord par nos diagrammes. De là nous nous élevons à la continuité géométrique, plus tard seulement à la continuité logique. La comparaison algébrique des nombres ne donne qu'une continuité abstraite, puisque la continuité véritable tire son origine du mouvement. Les aires successives décrites par le mobile, les distances parcourues par la masse qui tombe, s'ajoutent comme des flux réguliers. L'allure des formules algébriques qui traduisent nos observations, participe de la même régularité. Mais cette propriété de calcul ne s'impose pas comme une loi de l'esprit, elle résulte d'innombrables rapprochements entre les données de l'expérience.

On comprend alors que Newton donne une forme géométrique et quasi-concrète ali principe de continuité. Lorsque les cwiditions expérimentales varient un peu, la courbe des observations se déplacera un peu également. Si par exemple le mouvement d'un projectile dans un milieu dépourvu de résistance se fait suivant une hyperbole, il faut que dans un milieu très peu résistant, quelle que soit d'ailleurs la loi de son action, la trajectoire, dans ses parties observables, se rapproche sensiblement de l'hyperbole ^ De même l'aire décrite par un mobile ne variera pas d'une façon brusque lorsque la trajectoire se déforme lentement, car l'expérience ne présente nulle part de lacune observable. La continuité mathématique résulte donc non de ce que nos idées s'imposent à la nature, mais du fait que nos systèmes de signes ont dû se plier aux observations. C'est pour cela que Newton fait appel à la continuité surtout dans les problèmes graphiques. De là l'importance qu'il attache aux quadratures géométriques ; de là l'usage des interpolalions, qui reproduisent la continuité réalisée dans la nature. En entrant dans cette voie, Newton rendait possible la création d'une Géométrie Infinitésimale. Pour lui la continuité ne se

1. V, Principes, L. II, S. 2, Prop. X. Scholie. « Cette ligne (trajectoire dans un milieu résistant) est donc du genre hyperbolique, mais c'est une espèce d'hyperbole qui est plus éloignée des asymptotes vers le sommet et qui dans les parties très éloignées s'en rap|)roche davantage que les hyperboles dont j'ai parlé ici. Mais cependant la différence qui est entre elles n'est pas assez grande pour qu'elles ne puissent pas être prises les unes pour les autres sans inconvénient dans la pratique. Et peut-être sontelles plus utiles que les hyperboles décrites avec plus de soins et plus composées. »

LA PORTÉE DU CALCUL DES FLUXIONS 12a

conçoit pas algébriquement et a priori. La cohésion dune figure dans ses différentes parties, cohésion accessible à nos calculs parce qu'elle est véridable par nos sens, est la forme vraie du continu mathématique. Si Leibniz, par des notations conventionnelles, a favorisé considérablement l'essor du calcul intégral, les procédés graphiques de xXewton ont été surtout utiles dans l'étude des courbes algébriques et dans la géométrie des infiniment petits. La méthode de Puiseux, qui est inséparable des découvertes de Riemann, a son fondement dans une construction indiquée par Newton'.

Leibniz, semble-t-il, avait saisi la différence profonde qui le sépare de Newton, lorsqu'il écrivait au mois daviil 1716 à l'abbé Conti, pour revendiquer la priorité du Calcul des Difféo-ences vis-à-vis de la méthode de Newton qui est celle de la Fluxion des Lignes. La voie que j'ai suivie, dit-il, est plus analytique, tandis que celle de Newton est plus voisine des considérations concrètes. Et ailleurs il reproche à Newton de trop particulariser ses solutions en leur imposant une forme figurée, au lieu que sa propre méthode est à la fois plus simple et plus universelle ^ On conçoit en effet que Leibniz, parti des notions <le caractéristique universelle et d'Analyse combinatoire pour arriver à un calcul général des idées humaines, ait trouvé modeste et particulière la méthode de Newton. Il aspirait à donner un système complet de toutes nos perceptions, et le point de vue métaphysique se mêlait étroitement chez lui au point de vue proprement mathématique. Procédant dune façon toute différente. Newton ne séparait pas les considérations inlinitésimales des données physiques ou cinématiques qui

\. V. l'icanl. Traité d'Analyse, T. II, p. 348.

2. Ephl. L^J^ltuad ubh. Conli. p. .ÎOG-T. <c Ad liunc calculum porv-ni non |HT inearun. h l,i.xi..no.s. scd per numeror.im differenlias, anima.lverans landom ,p.od lue difiVrentia^ applicata^ qnanlilalibus pcrpeluo nvsc-.wil>b.i.s .-vancscunl relative a.l .luaniilalrs ,l,rtVrcn(o.s, qnanquam si.pn-sunt m s.r,el,us n,n,H.rormn. El ha„. vian. nu-^i. ana'ylican.' e.xis.in o. C n K '..nw-lrn-us (hffen.nt.arnm calculus, qni idem est ac calculus Fluxion,,,,, s casns pecul.ans raln.li analyli.-i l)iff,.,vntia,M„n in ^aMu-.v. qui casus pecul,an.s (•ommodioi- (if ad ditï.Mcnlias .■van.'.sc-nlr.s. .,

'i. Lettre de Tschnnh.uisù Ol,lenhnv<,. \ scplcnihiv 1679 « ... N,.n „i,s- ».'...(• quodo.v,s(nn..u,. .,| quaulilah-u, qua,nvi.s a.l inlinita.n seriem a>q„i- '"'.'•'""'"' ■■•■''-';•'■'"'"".. luud.uH.nla adi.uc da,-i .1 si,npli<-iora .M univèrsalioia .. Dans sa douxii-mc leUrt- à OidiM,bu,-g, Newlon se delend tle celle (;i-,l„pie (Cf. Ed. Casiii f. 3a!)).

servent à les interpréter. Les idées de temps et de vitesse, de force et d'accélération, jouent un rôle essentiel dans l'application de la méthode des fluxions. En faisant appel à ces idées concrètes, Newton ne croyait pas particulariser sa méthode, il pensait la ramener à ses vraies origines et à son véritable emploi. D'après lui, les données continues de la mécanique sont la seule source de notre idée de continuité *. Si l'on s'en tient comme Leibniz à la logique, voire même à une Arithmétique abstraite, on pourra bien parler dune continuité fictive^ conçue a priori comme un axiome m.étaphysique. Tandis qu'en faisant intervenir dès le début, dans les signes et dans les règles du calcul, une interprétation tirée du mouvement des corps, on est fidèle à la fois à l'instinct mathématique qui est avant tout un instinct de mesure, et à l'instinct physique ou mécanique, qui exige toujours la possibihlé d'un contrôle.

1. C'est en parlant de là que Newton a été amené à réintégrer dans la géométrie cartésienne les constructions « mécaniques » des courbes. L'équation algébrique d'une courbe ne donne qu'une idée imparfaite de sa continuité. C'est en la décrivant par un mouvement convenable qu'on mettra celte continuité en évidence. Newton, en cherchant pour les coniques des descriptions mécaniques continues, a été conduit à des méthodes originales de transformation des courbes. H découvrit de la soi'te l'homologie et peut-être l'homographie. — V, par exemple Principes, L. L S. 4,. Lemn:>e XXI et Prop, XXII,

Les Principes Malhématiques de la Philosophie Aalurelle contiennent toute la mécanique de Newton. C'est l'ouvrage qui est aujourd'hui encore à la base de la mécanique rationnelle, et l'on peut dire que tous les progrès faits par cette science depuis deux siècles ont été accomplis dans la voie indiquée par Newton. Mais aux yeux de Newton lui-même, ce n'était pas ladynamicjue seule, c'était la physique tout entière qui devait se ranger sous ses Principes Mathématiques. Les lois de l'équilibre et du mouvement ne sont pas le seul cas d'application de sa méthode. L'optique, l'élasticité, l'acoustique, la théorie du frottement, celle des marées, celle des courants fluides ou visqueux peuvent se traiter par les principes du calcul aussi bien que la Cinématique ou la Statique. Ainsi la portée de l'ouvrage de Newton est aussi étendue que le titre l'indique. C'est bien la « philosophie naturelle » c'est-à-dire l'ensemble des sciences physiques, que Newton prétend constituer. Il se peut qu'au cours de son livre il consacre plus de développements à certains cas d'un intérêt tout particulier : la gravitation universelle, la théorie des marées, les lois du mouvement des solides dans un milieu résistant, tels sont les points qui sont traités avec le plus de détail. Mais ce ne sont pas lesseuls (jui soient mis en lumière. Au contraire on sent partout chez. Newton le juste sentiment de la portée que peuvent avoir ses propositions. Il lui arrive fréquemment de faire ressortir l'analogie d'un |)roblèmc mécani(}ue et d'un j)roblème l)hysique, comme p.ir ('xenq)l(' du problème di' Inu's cdi-ps' et de celui des mouvements de la mer. V.u ce sens «m jKMit dire avec exactitude ((ue les Principes de la P/tilosophie

Naturelle sont le premier traité de Physique Mathématique.

Il n'y a pas d'exemple avant Newton de phénomène physique nettement expliqué par une théorie mathématique complète. Si nous exceptons quelques travaux de Galilée sur les machines simples ^ et quelques formules d'Archimède relatives à l'hydrostatique", il n'est pas excessif de dire que la physique du xvii'^ siècle ne possédait aucune formule rigoureuse. Sous l'influence des recherches de Descartes, mais surtout grâce aux belles expériences de Pascal, on s'acheminait lentement vers un système de déterminations numériques d'où des relations fécondes devaient sortir. Newton est le premier qui ait fait passer en pratique l'idée d'une physique démonstrative. Pour lui le Calcul infinitésimal rend possible ce qui restait chez ses prédécesseurs à l'état d'indication idéale : l'assimilation des grandeurs physiques aux grandeurs géométriques et l'application aux symboles qui représentent les premières des modes opératoires admis pour les secondes. C'est en Mécanique pure certainement que cette assimilation est le plus facile. Mais la nature n'admet point de barrière entre la mécanique des corps solides, la déformation des milieux élastiques et la fluidité des systèmes gazeux. Pareillement l'application du calcul ne se limitera point à l'étude des corps ou des corpuscules compacts. Les procédés qui servent à donner une idée des propriétés de la matière réussissent partout. Tout ce qui dans la nature est susceptible d'apparaître comme quantité peut être réduit en expression mathématique. La Physique Mathématique, loin d'être un chapitre de la Mécanique rationnelle, la renferme comme cas particulier.

Les Principes se présentent comme un ouvrage d'une composition entièrement mathématique. Ils sont divisés en trois livres, vi chaque livre comprend, avec des définitions et des axiomes, une série de Lemmes, de Propositions et de Corollaires se suivant d'une façon démonstrative. On reconnaît là les longues chaînes de raisons qui caractérisent la méthode euclidienne et (jue Descartes avait imitées dans les Principes de la Philosophie. Faut-il en conclure que Newton obéisse à une

\. Surtout le levier, le moufle, la poulie. Galilée donne aussi la théorie exacte d'un appareil qu'il nomme « bilanciotto » et qui est une sorte de balance hydrostatique.

inspiration semblable à celle qui poussait Descartes, et qu il croie ne pouvoir présenter de vérités certaines si elles ne revêtent une forme géométrique ? L'œuvre de Newton est-elle déductive comme le système de Descartes, est-elle au contraire indépendante de la forme qui la recouvre, expérimentale dans son essence et mathématique seulement par accident?

Afm de répondre à cette question, il faut remarquer que la première édition des Principes date de 1687 et qu'avant cette ■époque Newton s'était déjà fait connaître comme physicien et comme expérimentateur. Son invention du télescope de réflexion €t la communication (lu'il lit à la Société rovale de Londres des premiers résultats sur la dispersion datent de l'année J67i2. 1/une et lautre de ces découvertes avaient soulevé d'ardentes polémiques. Malgré la sûreté de sa méthode et la prudence de sesafhrmations, Newton sétait vu entraîner dans des débats très vifs, souvent plus passionnés que précis. D'un caractère naturellement inquiet et d'une sensibilité aisément irritable, Newton, qui était sorti vainqueur de ces luttes, en avait gardé un sentiment d'aversion dont il ne se débarrassa jamais. Les polémiques personnelles, qui pourtant ne devaient épargner ni son astronomie, ni son optique, ni son calcul des fluxions, lui semblaient horriblement pénibles. L'expérience lui avait fait voir bien vite que l'accumulation des résultats concordants ne suffit j)as à persuader toujours. L'aveuglement, les préjugés, le souci des théories admises sont des causes profondes de mésintelligence que l'évidence d'une expérience délicate ne suffit pas toujours à lever. En vain Newton répondait à ses critiques : refaites les expériences et vous serez convaincus vous aussi. Les expériences étaient refaites dans des conditions légèrement différentes, et les résultats demeuraient discordants. C'est alors que Newton, pour couper dans la racine toute possibilité de dispute stérile, se décida, mais se décida malgré lui, à revêtir désormais toutes ses publications d'une forme strictement mathématique. Les Principes, dès la première édition, furent écrits sur le modèle d'Euclide. L'Optique, dans ses éditions successives* devient de plus en plus géométrique. De cette façon Newton se donnait l'avantage d'élimiter à priori toutes

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les objections vagues portant sur des points de détail pour ne laisser place qu'à une critique serrée des arguments et des calculs.

Ce serait pourtant une erreur de croire que la forme mathématique semblât à Newton la meilleure en soi. S'il avait pu s'en dispenser, il est vraisemblable qu'il l'eût fait, comme on en peut juger par la fréquence et la longueur de ses Scholies. Les Scholies des Principes sont comme des points d'arrêt dans la suite des déductions mathématiques. L'auteur, las de rester sur le terrain de l'abstraction, y passe à la pratique en donnant soit des exemples, soit des analogies qui illustrent sa pensée. Parfois même il est montré dans les Scholies par quelle voie historique Newton s'est élevé à telle ou telle proposition, que la nécessité d'un enchaînement parfait l'a obligé d'exposer à son rang logique. D'autres fois il met en lumière les relations qui existent entre le théorème général qu'on vient de démontrer et certains cas particuliers où il a été établi précédemment. ' Enlin il arrive que Newton consacre des Scholies à une jusLilication de son mode de calcul et de sa terminologie mathématique. ^ De toutes laçons on peut dire que les Scholies renferment une bonne part de la physique de Newton et qu'on y trouve les vues les plus hardies de sa Mécanique céleste.

Dans V Optique de 1704 les Scholies ne suffisent plus. Newton se voit obligé d'intercaler dans la série de ses théorèmes des « Expériences » (expérimenta) qui sont les prémisses nécessaires des arguments suivants. On voit que les goûts de Newton l'auraient porté de préférence vers un mode d'exposition qui fût plus souple et plus accessible. S'il a choisi l'appareil mathématique, ce n'est point par scrupule de rigueur, ou parce qu'il croyait impossible de trouver ailleurs une explication satisfaisante. L'esprit du physicien était trop développé chez lui pour qu'il plaçât la clarté sensible au-dessous de la précision géométrique.

Descaries, comme Spinoza, attachait aux démonstrations mathématiques une vertu particulière. Il est impossible d'arri-

1. V. i)ar e.xemple les Scholies des Probl. IV et V (Prop. IV et X) du L. I.

2. C'est le cas du Scholie du L. 1, sur la méthode des premières et dernières raisons, p. 46 sqq.

ver, pcnsait-t-il, à une intuition vraiment infaillible, si l'on ne soumet pas la raison humaine à une discipline syllogistique et à un formalisme mental. Il existe une méthode et une seule de se représenter les choses dans Tordre où elles existent, c'est de les raltachcr les unes aux autres par une nécessité g-éométrique. De là les démonstrations de la mélaphysique cartésienne et les théorèmes célèbres de l'Éthique. Newton est loin de ces arrière-pensées. Pour lui, comme nous allons le voir, la nature est un ensemble complexe qu'on peut aborder de différents côtés. 11 n'existe pas une déduction et une seule qui permette de construire l'univers. Le rôle des mathématiques n'est j)as un rôle créateur. Elles doivent se contenter d'enregistrer d'une manière commode des correspondances qui échapperaient- autrement. Leur rôle n'est vraiment essentiel que lorsqu'il s'agit de faire état d'une donnée pour en découvir d'autres par l'expérience. Là elles permettent de ramener une recherche à ce qu'elle comporte d'indispensable et suppriment les intermédiaires. Si par exemple je veux démontrer que les planètes s'attirent en raison inverse du carré de leurs distances, le calcul apprend qu'il reviendra au même d'observer à l'aide du télescope si elles se meuvent sur des trajectoires elliptiques. Le calcul sert donc de passage entre le fait observé et la conclusion permise. Cette conclusion pourrait peut-être s'obtenir directement parla voie expérimentale. Mais si l'on veut éviter les objections stériles, il vaut mieux procéder par voie indirecte et substituer les mathématiques à l'expérience. La géométrie n'est pas une fm que l'expérimentateur propose à ses recherches, une expression délinitive donnant prise sur la vérité absolue. C'est un moyen de persuader les incrédules par un langage plus clair que les faits.

Il est impossible de lire le début des Principes sans être frappé de la gêne qu'éprouve Newton à poser ses Définitions et ses Axiomes. Ce n'est pas qu'il s'agisse d'idées confuses. Newton n'énonce que des Définitions nettes et ses Axiomes iiOnl litMi d'iirbitraire. Mais l'ordre systématique où il les range a(iuelquechose(le factice. On sent queles notions primordiales* mises par lui à la base des sciences physiques ne peuvent