Voy. Arilh. Univ., p

3. Propriété additive, |)r()i)riété conimidalive. propriété disiributive.

créées en quelque sorte pour transformer ces nombres en entiers positifs, et Ion peut dire que leur objet est de tourner, par une voie indirecte, un problème insoluble directement. L'introduction des irrationnelles représente une pbase nouvelle dans lo déplacement des difficultés.

Ici encore il sera important de maintenir les propriétés des opérations fondamentales, tout en en favorisant l'extension à un domaine plus vaste. La multiplication peut se définir comme la recberche d'un nombre X qui soit à un nombre donné M comme un autre nombre m est à l'unité. On l'exprime par l'égalité suivante :

ir = T ^'^

On peut démontrer qu'une pareille opération est toujours possible, c'est-à-dire qu'elle amène toujours à un nombre de même espèce que les nombres donnés : si m et "Si sont des nombres rationnels de signe quelconque, il existera toujours un nombre rationnel et un seul, de signe déterminé, satisfaisant à lequation (1). Supposons maintenant que le nombre Xsoit connu, et que lun des deux nombres m et M, supposés égaux, soit à déterminer. C'est le. cas général de Textraction des racines carrées, et ce cas oblige parfois à une opération impossible. Il serait facile de s'en tenir là, c'est-à-dire de constater l'impossibilité sans faire aucune convention nouvelle, si nous ne savions par l'expérience que notre problème a un sens. Car il nous suffit de construire un triangle rectangle dont Ibypothénuse soit X et la projection d'un autre côté sur elle égale à 1 pour que lalongueurdececôté réponde à la question. Orles règlesdel'extraction des racines permettent de trouver rationnellement m tant que X est un carré parfait. D'autre part le sentiment de la continuité nous assure qu'un problème résoluble dans des cas aussi voisins qu'on le veut doit l'être aussi dans les cas intermédiaires. Il s'en suit que l'existence des irrationnelles, i)ar exemple de s/ i, loin dctre un fait de convention, correspond au contraire à une notion d'expérience. Ce qui peut présenter quehpies difficultés, c'est la mesure effective des irrationnelles à l'aide des unités rationnelles, si Ion veut rester fidèle aux procédés déjà usités. Mais ici encore une simple extension de la méthode d'approximation employée pour l'évaluation des

LARITIIMKTIQUE ET L'ALGÈBRE 13;

quantités fractionnaires permettra d'arriver au but'. C'est levrai sens de l'algorillime d'Euclide, qui montre immédiate-ment la différence des cas où la grandeur est incommensurable et des cas où elle est commensurable ; pour les uns, il se poursuit indéfiniment, pour les autres, il se termine de lui-<. même.

Pourtant l'apparition des incommensurables marque quelque chose de plus : c'est le passage précis de l'Arithmétique à l'Algèbre. Bien qu'il n'y ait de différence absolue entre les nombres rationnels et les irrationnels ni au point de vue de l'origine ni au point de vue de l'application, il faut remarquer qu'une irrationnelle ne pouvant se déterminer que par une suite infinie d'opérations, doit nécessairement être affectée d'un symbole provisoire. L usage des notations algébriques, qui semble superflu tant qu'on reste dans le domaine des opérations rationnelles, s'impose immédiatement dès qu'il s'agit des nombres « sourds ». En les désignant par une lettre spéciale, nous rappelons qu'ils ne peuvent s'évaluer au moyen d'un nond)re fini d'opérations, en même temps qu'il nous devient possible, grâce à la méthode des coefficients indéterminés, de les faire entrer dans des équations algébriques, qui serviront peut-être à les préciser.

Les nombres imaginaires n'étaient pas connus du temps de Newton. On s'était aperçu bien souvent qu'une équation pouvait n'avoir aucune racine réelle, et Descartes lui-même avait désigné sous le nom de racines fausses toutes celles qui impliquent lin radical carré portant sur une quantité négative. Mais on s'accordait à considérer ces racines comme des indices d impossibilité. C'est seulement avec les progrès de la théorie générale des équations, grâce au.\ travau.x de d'Alembert et de ses successeurs, qu'on s'accoutumera avoir dans les racines imaginaires des quantités susceptiblesd'ètre interprétées, l.'algèbi-e de Newton ne s(Mnble pas sur ce point dilTércr de ccllo de Descartes. I^absence de racines réelles ne nous apprend (|u'une chose, c'est (}uc nous avons affaire à un problème inso-

1. Voy. Leclioiies oplicw, prop. XIV, iL'iiinif V[, cor. il. u lUilioiiiim, similitiiriiiu's qua' finantilatiljus fOiiiiiK'Msiiral)ilil)Ms coiivciiiiiiil iiiilclinik', eo iioinitie comciiiiinl ctiam ini'()niin('iisural)ilil)iis siniililcr af'tVctis, ipion) ailtiiudum ex l'^uclidis dcliiiiliDiif siiniliiiin i;itiuniim oslcmli iMitcsI. .>

,(} Lk PHILOSOPHIE DE NEWTON

lublc. « 11 faut bien que dans les équations il y ait des racines impossibles, sans quoi, dans les problèmes, certains cas impossibles se trouveraient possibles^».

Pourquoi Newton n'a-t-il pas, comme on devait le faire plus tard, cberché à créer une nouvelle classe de nombres, les nombres complexes, pour rendre réalisables des opérations impossibles autrement:' 11 lui suffisait d'un symbole nouveau 4ippli(iuéaux racines «fausses », et permettant Textensionnaturelle des règles ordinaires du calcul, pour aboutir au nombre imaginaire comme il avait rencontré déjà le nombre fractionnaire et le nombre irrationnel. Une telle généralisation nous semble aujourd'hui aisée. De simples considérations de symétrie nous persuadent qu'une équation donnée doit avoir, dans tous les cas, le môme nombre de racines. Mais c'estlàune vue ;svnlhétique que ne pouvait avoir l'algèbre à ses débuts. Chez Newton particulièrement, pour qui l'algèbre marche de pair ixxcc la géométrie, toute généralisation du calcul doit avoir son fondement dans une mesure concrète. On comprend aisément qu'il faille des nombres nouveaux pour mesurer des longueurs qui ne sont pas commensurables avec l'unité parce que <lepareilleslongueursseprésentent effectivement dans la nature. Mais rien dans la nature ne répond à une grandeur imaginaire. 11 est donc vrai de dire avec Newton que si le calcul nous 4imène à des racines qui ne sont pas réelles, c'est un signe que le problème étudie ne peut avoir d'interprétation concrète. 11 ne faudrait pas conclure de là que l'emploi si fécond des imaginaires ne puisse, par une voie détournée, amener à des solutions positives. 11 est seulement fort naturel que ces voies détournées n'aient été utilisées qu'assez tard, après :les progrès do, l'analyse à la fin du xviu'' siècle. Newton, à l'exemple de ses contemporains, envisage les racines imaginaires comme un simple moyen de reconnaître, lorsque la géométrie ne nous apprend rien, si un problème est possible ■ou impossible, car « une figure a des limites qu'une équation ne reconnaît pas. »

Quelle que soit la nature des nombres dont nous nous servons, nous devons, en dernière analyse les faire entrer dans nos