L'ARITHMETIQUE ET L'ALGÈBRE

équations et discuter ces équations. «Les équations sont ou les dernières conclusions auxquelles on arrive dans la résolution des problèmes, ouïes moyens par lesquels on parvient aux équations finales. «Quel estle sens de ces équations, quelle est leur véritable portée ? On pourrait être tenté tout d'abord de croire que l'algèbre constitue un mode de raisonnement spécial qu'elle est, dans le sens où le croyait Descartes, une « méthode ». Alors les équations qui se suivent marqueraient les progrès successifs de la pensée et le terme oîi elles nous conduisent serait l'intuition proprement dite. Aux yeux de Newton, il n'en est rien. L'algèbre est une « notation » bien plutôt qu'une méthode. C'est un «discours analytique » par lequel nous exprimons le sens des questions de la même manière que nous peignons nos pensées par le moyen de l'alphabet. 11 s'en suit déjà qu'il n'y a entre 1 algèbre et le raisonnement ordinaire qu'une différence d'expression. A plus forte raison l'algèbre n'apporte-t-elle point à la géométrie de ressources vraiment nouvelles. C'est une des erreurs du Cartésianisme d'avoir pris pour une méthode véritable le mécanisme purement formel de l'algèbre. Son unique supériorité est dans la facilité de son emploi, comme il est plus aisé de se servir dune langue souple et bien faite que de signes forturts.

Ainsi les lettres dont nous nous servons dans nos formules sont toujours destinées à une niterprétation particulière; l'algèbre consiste précisément à faire abstraction de cette interprétation pour traiter les lettres comme de purs symboles indifférents au sens qu'ils renferment. Cela n'empêche que la suite des transformations effectuées sur nos équations générales corresjjonde rigoureusemcMit à la suite des raisonnements que rcsj)ril devrait faire sur les objets réels. L'analyste peut faire marcher de ïvoid son calcul et sa figure, et lire dans son analyse toute sa consiruction géométrique ^ Un esprit hautement doué du sens géométrique pourrait se servir de la géométrie comme d'autres se servent (li> l'algèbre ; et souvent il arrive à Newton qui possède précisément le don de vision géométrique, de

1. Voy. ArUk. Vitir., p. Il') : « La rcsuluUoii deri (|iiL'sti(iiis gi-oiiictriciucs s'aclU'Vf toujours par les iiumh"s moyens analy(i(|ues ipii servent à résoudre les (picslions inironiciit nuriirri(|uos; la seuhMlirfrrpML'c c'est (pie les K-ttres (|ui, (laii.s lus (pii'stions alj;.'i)i-iqu('s, désignent des (pianlilés abstraites, représentent ici des lignes connues ou inconnues. »

Ui.ocii. 2

préférer le langage de l'étendue à celui de lalgèbre. Mais d'une manière générale c'est un fait d'expérience que le symbolisme littéral est linslrumentle plus apte à préciser nos pensées. Seulement, de ce qu'il les précise et les condense, il ne faut pas conclure qu'il les remplace. La réduction du composé au simple dont Descartes faisait le mérite principal de l'algèbre, ne s'opère pas mécaniquement. Nous verrons bientôt au contraire que cette réduction est toujours et partout l'œuvre de l'esprit physique. Mais une telle réduction serait difficile sans les symboles auxiliaires que fournit l'algèbre. Elle ne réussit pas tout d'abord dans toutes les questions. Précisément parce que lalgèbe ne peut envisager des choses que l'aspect quantitatif lequel leur est commun à toutes, il faut, dans un cas donné, un travail parliculier de l'esprit pour dégager cet aspect algébrique, pour rendre applicable à des ensembles concrets la notation littérale. Avant la discussion des équations, vient forcément la mise en équations, qui elle est une véritable méthode ; la première ne demande à l'esprit que de se familiariser avec des notations commodes, l'autre exige que sous ces notations il s'introduise un sens réel.

La mise en équation d'un problème est le point délicat de la science. Descartes l'avait compris, etavait cru pouvoir résoudre la difficulté, d'une façon régulière, à l'aide d'une classification des idées. Puisque toutes nos idées se classent par leurs degrés de simplicité ou de composition, il ne reste, en face d'une question donnée, qu'à dégager l'idée la plus simple, et à y rattacher successivement les autres idées, jusqu'à ce que nous ayons exprimé toutes les conditions du problème. Ces conditions,, traduites en langage algébrique, fourniront autant d'équations, qu'il faudra résoudre dans l'ordre môme où elles ont été obtenues. Ainsi, du fait que Descartes admettait une liaison absolue entre nos idées, il admettait aussi que les équations d'un problème doivent se trouver déductivement et d'une seule manière.

Il est aisé de concevoir que Newton, plus voisin du nominalisme anglais que delà métaphysique cartésienne, ait refusé de partager cette manière de voir. D'abord la simplicité des idées n'est pas susceptible d'être traduite algébriquement. Lorsque j'écris une équation, toutes les lettres qui y figurent sont éga-

L'AR1T[IMÉTIQUE ET LALGÈBRE 19

lement simples, sans qu'on puisse établir de différence entre celles qui représentent les quantités cherchées et celles qui représentent des inconnues auxiliaires. Bien plus, toutes les équations qui correspondent à des problèmes physiques, sont nécessairement homogènes par rapport à l'ensemble des quantités qu'elles renferment. Il s'en suit (ju'un même système d'équations, qui sert à déterminer les quantités x, y, z lorsque les paramètres a, b, c sont supposés connus, pourra aussi bien servir à déterminer les inconnues a, b, c au cas où x, y, z seraient considérés comme donnés. II n'y a donc entre les inconnues d'une part, les quantités connues de l'autre, aucune différence intrinsèque. L'équation nous renseigne seulement sur les rapports de toutes les quantités. « De là vient la nia.xime des géomètres, qu'il ne faut mettre aucune différence entre les connues et les inconnues. Maxime très vraie, puisque, si, dans une même question, on regardait successivement chacune des quantités comme l'inconnue, on arriverait toujours à la même équation^ ».

11 ne faut donc pas considérer les inconnues comme pouvant se classer absolument par ordre de complexité croissante. Nous ne pouvons juger que de leurs rapports, et la mise en équation consistera seulement à énumérer l'ensemble de ces rapports. 11 y a là, chez Newton, une idée qui ressemble à \ énumération cartésienne; mais au lieu de porter sur les idées, cette énumération devra porter sur les noms. Nommer avec précision les différents termes du problème, c'est le résoudre plus qu'à moitié-; un heureux choix des notations faille secret des solutions les plus difficiles. Et ceci se comprend, si l'on accepte la comparaison que Newton fait sans cesse entre l'algèbre et le langage. L'algèbre n'est qu'un système de signes destiné à faciliter, mais non à guider la pensée. Souvent, en géométrie par exemple, la nature des objets qu'on étudie s'exprime presque sans effort au moyen du calcul. En Physique, en Mécanique, dans les autres sciences exactes, il n'en est plus de même. « Le discours par lequel l'état d'une

i. Arilli Univ., p. 117.

2. Ib'ul. « Un problômc quelconque ne consiste que dans l'ail de classer ses (|iiaiiliU''.s en connues et inconnues, de manière à arriver le plus facileinenl p(jssible à réqualiun. »

question est exprimé ne paraît pas pouvoir être traduit en langage algébrique ; mais on l'y disposera facilement en opérant quelques changements, et surtout en s'attachant plus au sens des paroles qu'aux paroles elles-mêmes ^ ». C'est-à-dire que la traduction des faits dans cet idiome spécial qu'on nomme algèbre nécessite toujours un certain déchet : ils ne peuvent pas tous se rendre fidèlement, parce qu'ils ne sont pas toujours exclusivement mesurables. Mais il suffit qu'ils soient susceptibles de dénomination, c'est-à-dire qu'en gardant leur individualité ils puissent se désigner par des symboles, pour qu'on puisse essayer de leur appliquer la langue du calcul. Cette langue ne modifiera pas l'idée que nous en avons ; elle pourra seulement nous aider, d'abord à les retenir, ensuite à voir leurs relations avec ce qui les entoure. Fondée sur un nominalisme parfait, l'algèbre va nous permettre de poser des relations exactes, que le sens commun reprendra pour les interpréter.

On voit que l'emploi de l'Algèbre ne repose pas seulement sur quelques préceptes. Les règles formelles du calcul peuvent bien nous aider à éviter l'erreur, mais l'essentiel de la science, la mise en équation, ne peut se faire mécaniquement : c'est un sentiment de nature spéciale qui nous fait pressentir le vrai, le calcul n'a d'autre rôle que de vérifier ce pressentiment. Prenons l'exemple d'un problème géométrique. Un tel problème se ramène toujours à la construction d'une ou de plusieurs lignes d'où l'on déduira celle de la ligne cherchée. Algébriquement le fait se traduira par la détermination d'une ou de plusieurs quantités auxiliaires d'où l'inconnue pourra se tirer au moyen d'équations résolubles. En d'autres termes, dans tout problème où l'on n'aperçoit pas de rapport direct entre les données et les inconnues, il existe des variables intermédiaires dont les unes et les autres sont fonctions : connaissant les relations qui les lient à ces variables intermédiaires, on en déduira aisément leurs rapports réciproques. 11 faut donc admettre, pour la mise en équation, que les nombres assujettis aux conditions de l'énoncé sont fonctions imj)licites de quantités auxiliaires, qu'il s'agit de déterminer. La diflicultô con-

\ . Arilli. Unio. p. 9L