Principes, L. I, A.\iomes, III" Loi

LES l'RI.XGIPI'S m; LA MliCAMQUE 22j

devenue une notion scieiililiquc si ie principe de l'inertie n'avait pas lait voir qu'elle est susceptible de mesure. On peut comparer la force an produit dtn.e masse par une accélération et lui faire correspondre un nombre bien déterminé. De même on l)eut dire que le bon sens possède l'idée confuse de réaction. Mais cette réaction est h peine une grandeur, ell.' est quelque chose de surtout qualitatif. Une fois au contraire qu'on a déliiii la force de réaction par un nombre égal et de signe opposé à celui qui mesure l'action, on introduit dans la science unconcept positif, dont l'emploi sera d'autant plus fécond (piil n'est pas restreint au.\ seuls cas de bon sens.

Newton démontre-t-il le principe de l'égalité et de la réaction :• 11 semble que dans sa HIMoi du niouvemcMd. il se contente de l'énoncer comme un axiome. Les expériences faites <lans le cas du choc permettent détendre cet axiome à tous les cas réels. Pourtant si l'on se réfère au Sch(.li.> qui termine l'exposé des lois du mouvement, on y trouve un essai de démonstration du principe de l'action et de la réaction. Cette démonstration est toute a priori et sur le type des arguments déductifs de Descartes. Elle va nous fournir le premier exemple d un procédé de raisonnement fréquent chez Newton et sur lequel nous aurons à revenir à propos de la méthode phy.si.pie. Dans certains cas le principe de l'égalité de l'action et de la réaction est véritiable directement. C'est ce (pii arrive par e.vemple dans le cas déjà cité du cheval tirant la pierre. Ici l'équilibre de la corde tendue est la preuve de l'égalité des criorts mis en j(>u. Newton veut démontrer a priori que le principe se vérilie aussi dans le cas des attractions à distance, où rexisl<>nce des tensions du nn'Iieu échaj)pe à (...ifr ..bs.-rvation'. .Supposons que deux corps A el B s'attirent sm'vanl une loi qu.'Iconque et quelein- mouvement relatif soit empêché par ini obstacle. Les ilrnx corps viendront heurter l'obstacle et c(mtinueront ;'i le presser avec une force dépendan! de la loi d'.'llracli.,ii. Si la. 'lion .|c A s(n- li n'était pas égale à la réaction dr lism-A,lo!>stacle suhirail des eHorls inégaux et .jfirirait moins de résistanc(> au déplacement d'nn corps (pie d,- l'autre. On verrai! alors (oui le .sysième, conq)o.^é des d(Mi\- corps et de

1. Cf. .\ilicli' <i Mcchuiiics >uU'\'Enc<jclopu-dia llriluiinicuji 1-13 Aiilh l'iul Jiiil).

l'obstacle, subissant l'action différentielle créée par l'inégalité des forces, se déplacer vers l'un des centres. C'est là une conséquence nécessaire du principe de linertie, appliqué à un système isolé. Mais cette conséquence absurde montre l'absurdité du point de départ. L'expérience idéale que nous venons de tenter serait tout autre dans la pratique. L'action de A sur B serait rigoureusement égale à la réaction de B sur A et le système total resterait au repos.

Il est curieux de voir Newton se servir du raisonnement par l'absurde pour discuter les conséquences dune expérience idéale. Ce procédé logique revient constamment chez lui. Il lui servira à démontrer le principe d'Arcliimède et beaucoup d'autres principes. Mais cette fiction d'une expérience idéale ne pouvait satisfaire l'esprit positif de Newton. Aussi la démonstration qu'il vient de donner du principe de l'égalité de l'action et de la réaction doit-elle se compléter par des recherches empiriques sur l'attraction du fer et de l'aimant. A cet effet Newton plaçait le fer et l'aimant chacun séparément dans de petits vaisseaux sur une eau dormante, et il amenait les deux vaisseaux au contact. L'observation lui faisait voir que ni l'un ni l'autre ne prenaient de mouvement, mais qu'ils soutenaient par l'égalité de leur attraction les efforts mutuels qu'ils font l'un sur l'autre. Si on les amène d'abord au repos, ils persistent dans ce repos, si on les déplace d'un mouvement commun, ils obéissent à la seule inertie. On le voit. Newton ne néglige rien pour donner du principe de l'égalité de l'action et de la réaction une démonstration physique. La preuve a priori que nous avons citée d'abord était un effort intéressant pour déduire ce principe du principe d'inertie. Mais Newton a bien vite com pris ce qu'une pareille déduction a do fallacieux, et il est revenu aux vérifications de fait, seules valables pour un axiome de fait.

Restant sur le terrain des faits, est-il possible de ramener l'un à l'autre le principe de l'égalité de l'action et de la réaction et le principe d'inertie? Les vérités expérimentales traduites par ces deux princii)es ne sont-elles pas irréductibles l'un à

l'autre ?

A celte question il faut répondre que la loi de l'action et de la réaction apprend plus que la loi de l'inertie. Cette dernière

est l'exprossion scicntifujuc de la conservation de la « force » xlans un même corps. Elle nous apprend que si nous isolons une partie de la matière pai* une surface géométrique, rien ne j^eut se modilier dans le déplacement d'ensemble du volume, si rien n'est modifié d'abord dans l'état de la surface. Pour <[u'un mouvement change de nature, il faut ([u'il reçoive un apport de l'extérieur, et c'est justement cet apport qui reçoit .le nom de force. Envisageons maintenant un ensemble de plusieurs surfaces, limitant des corps distincts, qui sont tantôt au contact et tantôt disjoints. Chacune de ces parties possède une inertie propre et une résistance particulière au changement d'état. Si nous voulons malgré tout modifier cet état, il peut ■être commode de faire un appel non pas à une force entièrement extérieure, mais h une de celles qui existent déjà dans les corps voisins. Nous pourrons par exemple nous servir de l'inertie d'une masse en mouvement pour accélérer le mouvement d'une masse moindre animée d'une moindre vitesse. La force ainsi empruntée du dehors prendra le nom d'action. Mais pour que cette opération soit possible, il ressort de toutes les <>xpérienccs qu'une force égale et de même signe doit être per- <lue par l'autre partie du système. C'est l'énoncé même du (>rincipe de l'égalité de l'action et de la réaction.

A ce nouveau point de vue, ce principe s'interprète de la fa;(»n suivante. D'après le principe de l'inertie, les corps extérieurs à un corps donné sont les seules sources auxquelles ce <lornicr puisse emprunter du mouvement ou de la force. Il reste à savoir si ces çor|)S extérieurs sont une source illimitée de force, à laquelle on puise sans la tarir, comme dans l'ancienne théorie du fluide électrique il était possible d'extraire d'un <'ori)s neutre une quantité illimitée d'électricité. Le principe de I égalité de l'action et de la réaction répond à cette question j)ar la négative. On ne peut enrichir le mouvement d'un corps sans appauvrir exaclement delà même qnanlUé le mouvement (h's corj)S voisins. 11 est impossible, en |)articulier, (ju un corps au repos possède, j)ar sa seule inertie, la faculté d'accélérer le iiiouvenjent d'un autre. L'aclion inutrice ne peut-être enipiiintée qu'aux cori)S en mouvement" et dans la mesure même de leur mouvement. On voit ([ue ce principe d ineilie n'impli(|ue |>as exactement la nn'ine ciiose ([ue le jirincipe de l'égahté de Blocii. 15

l'action et de la réaction. Le premier nous apprend seulement qu'un corps, pour modifier son état, doit subir l'action d'une force. Le second nous enseigne en outre qu'un autre corps, qui a prêté sa force, se modifie toujours proportionnellement à l'effet produit.

Une fois admis le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, on peut s'en servir soit pour la mesure des actions, soit pour la mesure des réactions. 11 va d'ailleurs sans dire que ces deux notions sont corrélatives. Une force considérée dans certains cas comme une action pourra, dans d'autres circonstances, se présenter comme une réaction.

11 se passe ici ce que nous avons déjà constaté à propos de l'inertie, qui peut être considérée tour à tour comme motrice ou comme résistante. Lorsque nous faisons tourner une toupie entre nos doigts, la force de rotation imprimée à la toupie nous apparaît comme une action, et la pression qu'elle exerce contre la main prendra le nom de réaction. Mais la terre elle aussi tourne autour de son axe. Pourtant la force avec laquelle elle nous entraîne nous apparaît comme une action. Les mêmes observations s'appliquent au mouvement d'un fluide dans un vase fermé. Lorsque nous comprimons le fluide, sa résistance se présente comme une réaction, quand au contraire nous le laissons se détendre, l'effort qu'il exerce prend le nom d'action. Ces deux termes n'ont jamais qu'un sens relatif. 11 dépend de la nature particulière des problèmes de savoir si telle force doit être considérée comme une action ou comme une réaction.

Quoi qu'il en soit, la mesure de l'une est la conséquence immédiate de la mesure de l'autre, précisément à cause du jjrincipe qui veut qu'elles soient égales. La plupart du temps les réactions nous intéressent assez peu. Nous tenons surtout à connaître les forces que nous dépensons et les effets qu'elles produisent, mais le mécanisme des réactions intermédiaires nous est indifférent. Ainsi lorsqu'un solide repose en équilibre sur un plan incliné, nous tenons à savoir la relation qui existe entre son poids, sa forme, et l'angle que peut atteindre son inclinaison avant qu'il y ait glissement. Mais la mesure des forces de frottement qui s'exercent entre le corps et le plan n'a pour nous que peu d'importance. De même lorsque nous nous

servons du levier, il nous intéresse de savoir quel travail utile nous mettons en jeu. Mais les réactions qui s'exercent au point lixe n'ont pas besoin d'être calculées. On les passe généralement sous silence, bien quelles soient l'équivalent exact des forces appliquées.

C'est pour cette raison que la mesure des réactions est généralement négligée en mécanique. Les réactions se présentent surtout comme des grandeurs auxiliaires qu'il y a intérêt à introduire dans les calculs pour en tirer ensuite, par élimination, la valeurdes actions. Tout au contraire lamesure indirecte dos forces au moyen des réactions qu'elles suscitent est, on peut le dire, le problème essentiel de la mécanique. Il existe une multitude de forces que nous ne pouvons superposer directement à nos étalons de mesure. Telles sont non seulement les forces électriques, magnétiques, hydrodynamiques, mais un grand nombre de forces mécaniques, comme les forces de torsion ou d'élasticité. Ces forces sont difficilement comparables à des poids, qui sont les forces les plus aisément maniables. Aussi l'idée est-elle venue naturellement à l'esprit de Newton et de ses successeurs de remplacer la mesure directe de ces forces par la mesure de poids équivalents. Pour cela, en verlu du principe de V égalité de VacHon et de la réaction, il suffit de faire produire à ces forces des effets mécaniques dont on puisse contrebalancer l'action par celle de la pesanteur La (( force portante » d'un aimant se mesurera par le poids maximum qu'il peut tenir avant la ruj)ture. On mesurera l'élasticité d'un ressort en l'écjuilibrant par des poids produisant l'allongement unitaire. Les forces électriques elles-mêmes s'évalueront de même façon au moyen de l'électromMre

absolu'.

il n'est pas jusqu'à la mesure des poids qui ne repose, Newton l'a compris, sur une application tacite du principe del'égalilr de laclion et de la réaction-. Ce que nous mesurons à laide de la balance, c'est au fond l'attraction de la terre. Cette attraction, ou comme dit Newton, cette « force centripète motrice » nous est inaccessible directement. Aussi cherclions-

1. V. Pour le principe de l'élcclroniôlrt' Kcixin. Eric Gérard, Leçons sur l'I'lcclriciU-, T. i. p. ',)."i.

J. Cf. Principes, L. I, Di-I. VI il.

nous à lui faire produire des réactions que nous équilibrons ensuite par des forces connues. La force de la gravité se connaît « par la force contraire et égale qui peut empêcher le corps de descendre ». La balance n'est donc qu'un instrument permettant de substituer à la mesure des actions la mesure des réactions. On pourrait en dire autant de la plupart de nos appareils de physique. Le principe de l'égalité de l'action et de la réaction est en ce sens le principe directeur de toute mesure.

Newton ne semble pas avoir eu le soupçon que le principe de l'égalité de l'action et de la réaction pût être dans aucun cas en défaut. Cette confiance était naturelle à une époque où ce principe venait d'être découvert, et n'avait pu recevoir de contrôle que dans les matières purement mécaniques. La mécanique rationnelle confirme nécessairement le principe de Newton. La mesure des forces y est justement fondée sur la loi de l'égalité de l'action et de la réaction, et il est évident qu'elle ne pourra jamais se démentir elle-même. Mais il y a lieu de se demander si ce principe, dont nul ne critique l'emploi lorsqu'il s'agit de problèmes purement mécaniques, devait demeurer sans exception dans le domaine plus vaste de la Physique moderne.

Si nous nous plaçons d'abord au point de vue des phénomènes électriques et magnétiques, l'histoire des sciences nous montre ^un curieux exemple d'objection portée au principe de l'égalité de l'action et de la réaction. On a vu plus haut que Newton avait tenté des vérifications expérimentales de son principe dans le cas des actions magnétiques. Ces expériences l'avaient confirmé pleinement dans son idée, et toutes les expériences tentées après lui en électromagnétisme sont venues fortifier la valeur de son principe. Mais à la fin du xviii'' siècle et surtout au commencement du xix" la physique mathématique s'empare de toutes ces questions. Les recherches de Biot et û" Ampère aboutissent à la constitution définitive de l'Electromagnétisme et un des premiers résultats de ces travaux fut de mettre en lumière un cas où le principe de l'égalité de l'action et de la réaction se trouve violé. Nous voulons parler de la loi élémentaire de l'action d'un pôle sur un élément de courant. Cette action est directement appliquée à l'élément de courant et il faut que la réaction du courant sur le pôle, étant égale et

opposée à l'action, se trouve appliquée, elle aussi, non au pôle, mais au courant. Ce résultat est entièrement incompatible avec les idées de Newton. Il est impossible qu'une force quelle quelle soit, action ou réaction, opère là où elle n'est pas. Une force n'agit pas à distance, et on ne peut concevoir qu'une force dont la direction ne rencontre pas le pôle soit capable de le mettre en mouvement. Les découvertes de Biot, de Laplace, d'Ampère, obligeaient donc, semble-t-il, à choisir entre la simplicité si séduisante des lois électromagnétiques et le principe, consacré par les faits, de l'égalité de l'action et de l;i réaction.

Le principe de Newton devait l'emporter. On se persuada (jue les conventions mathématiques ([ui sont à la base de 1 électromagnétisme présentent un certain arbitraire, et des savants comme Maxwell préférèrent modifier la théorie, plutôt que d'aller contre les faits. A une époque encore plus moderne le principe de légalité de l'action et de la réaction devait subir un nouvel assaut. C'est cette fois sur des considérations opli- (jues, d'ailleurs étroitement liées aux considérations électromagnétiques, que des physiciens comme Lorentz ont essayé de fonder une théorie de la matière ou l'on se passerait du principe de l'égalité de l'action et de la réaction ^ Mais sur ce point il faut bien s'entendre. La théorie de Lorenlz ne suppose pas que l(î principe de l'égalité de l'action et de la réaction est faux. Klle admet seulement qu'il est incomplet si on l'applique à la matière seule, il convient pour lui rendre sa valeur de l'appli- <1 lier au système formé par la matière et l'éther. Assurément la théorie de Loré'n/j est une modilication grave apportée à nos idées mécaniques. Klle amène à croire que la somme géométrique d(ï toutes les forces appliquées aux molécules matérielles n'est pas nulle. Mais on ne peut pas dire qu'elle soit une objection fondamentale au princi[)c même de l'égalité tle l'action et de la réaction. ICIle consiste simplement à 1 étendre du domaine de la matière, où il n'est vrai (jucn première approximatiDii, au domaiiH; j)lus romplexe formé parla malii're unie à léther. La différence <nli'' le principe de Newton et les laits ne serait j)as loin, d'après Lorentz, d être accessible à l'cxpé-

I. Cf. II. Poinrari', Kleclficilé et uptujue, 1902, ot nii iuliclo du niOrno auteur dans la lievue fjéncrule des scieiice'e, lli iiov. UiUU.

rience, tandis que le principe modifié se concilie rigoureusement avec eux.

Nous n'avons pas à nous demander si une théorie aussi importante que celle de Lorentz suffit à jeter un discrédit définitif sur le principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Nous préférons examiner jusqu'à quel point elle est contraire aux idées directrices du Newtonisme. Il est certain qu'aux yeux de Newton la théorie de Lorentz eût passé non pour une critique, mais pour un complément des Principes. Elle ne contredit pas le principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Elle se contente de lui ôter une valeur absolue pour lui laisser une valeur relative. Une telle transformation est conforme aux habitudes de Newton. Tandis qu'il eût trouvé inaccepablesles paradoxes de l'électromagnétisme, parce qu'ils s'opposent directement aux idées de bon sens, il eût admis avec Lorentz que le principe de l'égalité de l'action et de la réaction ne donne, comme tous les autres, qu'une approximation provisoire du réel.

On trouve une confirmation de ce que nous venons de dire dans les expériences tentées par Newton lui-même sur les corps qui ne sont pas parfaitement élastiques. Pour des corps de ce genre, l'approximation qu'on a faite jusqu'ici ne suffit plus. Si l'on veut que le principe de l'égalité de l'action et de la réaction demeure vrai, du moins sous la forme cartésienne de la conservation du mouvement, il va falloir introduire des forces nouvelles, et admettre que dans le choc des corps l'inertie n'est pas seule en jeu : elle se complique des effets de la force élastique.

Ceci n'est point, Newton le remarque expressément, une atteinte portée au principe lui-même. C'est un complément ajouté à la tiiéorie pour la mettre en accord avec la pratique. Les expériences de Wren et ^Huyghens ne concernaient que le clioc des corps parfaitement durs ou, pour employer le langage moderne, des corps parfaitement élastiques. Newton opérait au contraire non seulement sur des boules d'acier, qui se rapprochent sensiblement des conditions d'élasticité parfaite, mais aussi sur des boules de verre, de liège, et sur des « pelotes de laine très serrée ». Sur ces corps imparfaitement élastiques, Newton refit les expériences du pendule, qui consistaient à les

faire se heurter après les avoir laissé tomber de hauteurs variables. Les nouvelles mesures faites dans ce cas, si elles avaient été interprétées brutalement, auraient amené Newton à nier le j)rincipe do la conservation du mouvement, et avec lui le principe de l'action et de la réaction. Il en ressortait en effet dabord qu'un corps mou choquant un corps dur sans que ce dernier cesse do demeurer au repos, ne sélève pas à une hauteur égale à celle doù il est tombé. L'action n'est donc pas ég-ale à la réaction. Ensuite, à supposer que les deux corps continuent à se mouvoir après leur rencontre, les mesures de Newton faisaient voir que la quantité totale de mouvement dans le système a diminué. Cette diminution, inappréciable dans le cas des boules dacier, s élève environ au 1/16% avec les boules de verre, elle augmente encore avec les boules de liège, et si l'on passe aux pelotes de laine, elle atteint la valeur 4/9. Une telle divergence avec la loi théorique est inadmissible, d'autant que Newton dans ses premières expériences n'avait jamais obtenu de nombres différant de plus de trois pouces.

Au premier abord, on aurait pu croire nécessaire de révoquer en doute le principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Cependant le sens môme dans lequel les variations se produisent allait suggérer à Newton un terme de correction ((ui rétablira l'accord delà théorie et de l'expérience. Si le choc des corps mous ne suit pas les mêmes lois que le choc des corps durs, il est à remarquer que la différence est toujours dans le même sens. Elle correspond invariablement à une diminution (h' la quantité d'action ou de mouvement. De plus, <>t c'est là le point essentiel, cette diminution est d'autant |)lus grande que le corps est plus mou, et d'autant plus diffix'ile à saisir qu'il s'agit de matériaux plus élastiques.

On est amené alors à se demander si les divergences que révèlent les mesures ne seraient pas propres précisément à donner un sens mathématique aux idées communes de dureté <l <lf mollesse. Si, comme les expériences de Newton le font voir, les vitesses des corps qui se choquent sont diminuées l')iij()iM-s proporliunnellemcm à elles-mêmes, — le coefticient i\r proportioiuialité dépendant seuicmcnl de la nature des corj)s, — on peut dire (jue cette diminution donne une signiti-

cation tout à fait précise aux notions de bon sens sur l'élasticité. On définira la force élastique d'un corps par le facteur de réduction dont il faut affecter après le choc les vitesses du corps. Cette force s'introduit de la môme façon qu'on a introduit plus haut la masse propre des objets matériels. C'est un coefficient purement numérique à qui sa constance permet d'attribuer une interprétation physique. Nous dirons alors que dans le choc des cops mous, les vitesses et les masses au moment du choc ne sont pas les seules grandeurs d'où dépende la répartition du mouvement. H circule entre les corps, pendant le contact, une force supplémentaire, la force élastique, qui est capable de détruire une proportion notable du mouvement. Le& vitesses que l'expérience fournira seront toutes diminuées dans un rapport défini, la quantité de mouvement sera diminuée dans le même rapport, et cependant le principe de l'égalité de l'action et de la réaction demeure respecté, puisque l'action ne dépend plus des seules vitesses acquises, mais aussi de celles qui sont engendrées par la force élastique. Ainsi Newloii fait d'une exception apparente un cas nouveau de son principe en montrant que les différences observées sont dues à ce que les conditions d'application du principe ne sont pas rigoureusement remplies. Si l'on tient compte des forces d'abord négligées, on voit reparaître la concordance de la théorie avec les. faits ^

Les différents principes énumérés jusqu'ici nous ont appris ce que c'était qu'une force (principe d'inertie), à quels points la force se trouve appliquée (principe de non action à distance) et comment on peut la comparer à d'autres forces (principe d'inertie combiné avec le principe de l'égalité de l'action et de la réaction). Mais pour que les forces puissent devenir l'objet dune mécanique vraiment mathématique, il faut non seulement qu'on les ait définies comme des grandeurs susceptibles d'égalité, mais comme des grandeurs susceptibles d'addition. En d'autres termes il faut posséder un mécanisme de composition et de décomposition qui permette de passer de certaines forces à d'autres, comme le mécanisme algébrique permet de

1. Principes, A.xiomcs, L. I, Scholie p. 31. « Ainsi la troisième loi setrouve confirmée dans le choc et dans la réflexion des corps par la théorie, et la théorie Test par l'expérience. »

transformer les unes dans les autres des expressions abstraites. Pour cela un nouveau principe est nécessaire. C'est celui qu'on appelle aujourd'hui le principe de 1' « indépendance de& effets des forces par rapport au mouvement antérieurement acquis ».

Ce principe, comme on le verra tout à l'heure, peut recevoir deux formes distinctes. C'est le grand mérite de Newton d avoir le premier dégagé ces deux formes et d'avoir fait voir l(Mir parenté. Le principe de l'indépendance des effets des forces est celui qui a eu la plus grande portée dans le dcvelop- ])ement de la mécani(iue newtonienne. C'est grâce à lui que raj)plication du calcul a pu se faire à la dynamique, à l'hydrodynamique, à la physique tout entière. C'est lui, mieux qu'aucun autre, qui méritait de porter le nom de principe de Newton, souvent applitiué d'une manière traditionnelle au seul principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Comme Galilée est le véritable inventeur du principe d'inertie. Newton le premier a établi dans toute son ampleur la théorie de l'additivité des forces.

Les expériences de Galilée sur la chute des corps contenaient en puissance le principe de l'indépendance des effets des forces par rapport au mouvement antérieurement acquis. L'exemple du champ de la pesanteur était le premier exemple d'un champ d'accélérations constantes, et le résultat des découvertes de Galilée pouvait se résumer ainsi : les vitesses qu'un corps grave emprunte à la pesanteur pendant l'unité de temps sont les mêmes soit qu'il parte du repos, soit qu'il tombe déjà vers le centre de la terre. De plus elles sont les mêmes à tout instant, de sorte qu'il importe peu pour les évaluer de se placer au début ou à la lin de la chute. En tout état la vitesse d'un grave augmente pendant l'unité de temps de la même valeur.

Il ressortait déjà de là, au moins dans le cas de la pesaniiiir, une double consé(juence. Les forces exercent les mêmes (îffets sur un corps au repos et sur un corps en mouvemeiil ; — Its eff(!ls qu'elles j)roduisent i)euvent se supcrj)oser sans se • {('■foiiiicr. l'nc troisième ((tiiséquencc était même implicitc- Mjent contenu<; dans les lois de Galilée : les forces peuvent s'ajouter dans le temps et elles peuvent s'ajouter dans l'espace.

D'abord nous ne pouvons jamais juger de l'action d'une

force au moment même où cette action se produit. L'inertie de ia matière offre trop d'obstacles et la lenteur de nos sens apporte trop de retard pour qu'un mouvement nous soit connaissable dans l'instant où la force apparaît. Lorsqu'un mouvement est saisi par nous, la force a déjà cessé de s'exercer, ou elle a été remplacée par ui,ie autre, qui produit un mouvement nouveau. C'est ainsi qu'un corps pesant partant du repos prend d'abord un mouvement insensible, et lorsque sa vitesse devient manifeste il ne subit déjà plus les mêmes actions qu'au début ; la résistance de lair et la vitesse acquise sont des facteurs nouveaux qu'il faut envisager. Ainsi le mouvement" d'un corps à un moment donné est toujours la superposition d'une infinité de mouvements prenant naissance dans les éléments de temps successifs. On doit donc s'attendre à ce que tout mouvement se complique à mesure qu'il se prolonge. Or c'est précisément le trait remarquable des lois de Galilée de faire connaître un mouvement varié, mais uniformément varié. Les effets successifs des forces appliquées, au lieu de se combiner suivant une loi inextricable, croissent j9ro/9or/zonnellemenl au temps. Tout se passe comme si la force ou cause du mouvement demeurait constante dans le temps, et jouissait delà propriété de superposer ses effets sans les détruire. En ce sens les lois de la chute des corps montraient l'additivité des forces dans le temps.

Elles faisaient voir aussi bien l'additivité des forces dans J'espace. Le théorème du centre de gravité en est la preuve la plus nette. L'existence du « centre de gravité » d'un corps ou d'un système de corps est par elle-même une démonst^-ation du fait que les forces élémentaires s'ajoutent pour donner lieu à une force totale ou intégrale. A la vérité l'addition n'a lieu dans ce cas qu'entre vecteurs parallèles et de même sens. Nous ne savons pas ce que jrourrait signifier l'addition de forces faisant un angle. II n'en est pas moins vrai qu'en approfondissant les lois de Galilée on pouvait en dégager d'une façon assez nette le principe de la superposition des forces. Il appartenait à Newton de formuler le principe dans toute sa généralité.

Le principe de Newton, selon le point de vue où l'on se place, revêt des formes assez différentes. Examinons-le d'abord sous

l'aspect dynamique. Il est commode de parler de l'action d'une force appli(iuco à un corps, si l'on se limite au cas du choc ou de la percussion. Là le temps d'action de la force est si court, qu'on peut sans inconvénient considérer celle-ci comme constante. Aussitôt que le contact cesse, la force est supprimée, ou pour parler d'une manière plus e.vacte, cette force est remplacée par l'inertie du corps. Ce dernier va se mouvoir sous I impulsion d'une cause unique, et si l'on suppose qu'on s'est mis à l'abri de toutes les influences perturbatrices, on se trouvera dans un cas particulièrement favorable pour étudier l'effet d'une force unique. Nous savons que dans ce cas le mouvement est rectiligne et uniforme. La direction et l'intensité se maintenant constantes, elles donnent une mesure commode de faction qu'a subie le corps.

Si maintenant, ce qui est le cas réel, l'impulsion n'a pas été isolée, mais précédée et suivie d'impulsions analogues ; bien l)lus, si dans chaque parcelle indivisible du temps, une force déterminée, actuellement variable, a fait sentir son action, on j)out se demander quelle relation existe entre l'état du corps à un moment donné, et la totalité des impressions qu'il a dû recevoir. C'est là une question capitale pour le savant qui veut prévoir le mouvement en fonction des forces et des conditions initiales données.

Le principe de Newton nous permet de répondre que les effets successifs des forces agissantes se sont superposés. Ceci veut dire que le déplacement réel du corps est celui qu'on calcule en faisant l'hypothèse que durant chaque élément de temps le mobile s'est déplacé sous l'action de la force, supposée conslanle, <pii agit sur lui, et cela sans ([uc l'effet de cette force soit en rien modilié par le mouvement acquis. Si ce corps partait du repos au lieu d'avoir eu un jxjint de sa trajectoire la vitesse acquise, la force agissant en ce point modifierait son élat exactement de la même façon qu'elle fait dans les cas réels. Il suit de là une conséquence mathématique imj)ortante. Lorsque nous avons écrit f éciualion fondamentale de la dynamique.

nous avons simplement exjjrimé qu'rt chaque instant il y avait écpiilibre Mclif entre la force apj)liquée e( le produit de la

masse par l'accélération. Mais si la force F, au lieu d'être constante, varie avec le temps, cotte équation demeure vérifiée. Nous allons pouvoir exprimer à l'aide du calcul que l'équation valable en un instant t est la conséquence de toutes les équations analogues écrites pour les instants précédents. Il suffira d'appliquer aux deux membres de l'équntion la sommation par rapport au temps. Cette sommation permettra de passer des accélérations aux vitesses, et une seconde sommalion permet de s'élever des vitesses aux déplacements. On voit que l'emploi du calcul intég-ral, qui est la grande supériorité de la mécanique de Newton par rapport à celle de Galilée, repose entièrement siir l'application du principe de l'indépendance des effets des forces.

Le même principe prend une autre expression si au lieu d'envisager les effets successifs d'une même force, on considère les effets simultanés de forces différentes. La notion des forces simultanément appliquées à un même corps n'a pas été définie jusqu'ici. Nous avons pris l'habitude de considérer le mouvement comme un tout, et de lui chercher une cause totale. Mais, grâce à ce que nous venons de dire, il va nous être possible d'introduire la convention par laquelle deux ou plusieurs forces peuvent agir en même temps sur une masse donnée.

Considérons une masse matérielle qu'on a soumise à une première impulsion. Elle va se transporter avec une vitesse constante qui pourra donner une idée de cette impulsion. Supposons qu'une deuxième impulsion soit imprimée à la même masse un temps très court après la première, et qu'ensuite le système soit abandonné à sa propre inertie. 11 ressort du principe de Newton, sous sa première forme, que le mouvement se modifiera de façon que la trajectoire réelle, nécessairement rectiligne, soit la môme pour un observateur solidaire de la translation du mobile qu'elle eût été dans le cas du repos. En pratique il est impossible de donner à un corps des impulsions instantanées, et surtout des impulsions qui se suivent à un intervalle de temps « indivisible ». Mais le principe de continuité permet de suppléer à limperfection de nos moyens. II nous autorise à étendre le résultat de nos observations de cas très voisins du cas idéal à ce cas limite lui-même, et à dire que la nature suit à peu près les lois que le calcul énonce rigoureu-

scmeut. Alors nous voyons quon arrive à définir ce qu'il faut entendre par un groupe de forces appliquées simultanément à un même corps. C'est l'ensemble limité dun groupe réel de forces appliquées presque en même temps. Four que cette définition soit légitime il faut encore démontrer que l'efîet produit est indépendant de Tordre dans lequel les forces agissent. Cela même résulte immédiatement de ce que nous savons déjà du principe de Newton. On peut donc convenir de regarder comme agissant ensemble des forces qui en réalité sont toujours successives, pourvu (ju'il ne résulte de cette convention rien de contraire aux faits.

Kn d'autres termes, il faudra vérifier que le passage à la limite est légitime, comme dans le calcul des flu.xions il faut toujours contrôler la solution par la contre-épreuve. Mais on conçoit tout de suite qu'en mécanique le contrôle direct est rigoureusement impossible. Il nous est impossible, par la nature des choses, d'instituer des expériences où plusieurs forces simultanées agiraient de concert. Tout ce que nous pouvons faire, c'est d'interpréter une force globale comme la résultante de forces partielles, et de chercher si cette manière <le voir n'entraîne aucune contradiction. A vrai dire il n'y a pas <rexpérience particulière qui puisse confirmer mieux qu'une ^utre notre principe. La valeur pratique de ce principe ressort de la mécanique tout entière. La cohésion des parties de cette science, l'appui mutuel et la confirmation indirecte qu elles se prêtent, sont la meilleure preuve de la validité de son point de départ. C'est volontairement que Newton, au lieu de déduire la €omi)osilion des forces a priori, préfère le regarder comme une donnée de la mécanique rationnelle ^

La seconde forme du j)rincipe de Newton est celle qui est <lemeurée dans la science sous le nom de théorème de la composition des forces, ou (hi parallélogramme des vitesses. Elle est énoncée par Newton de la façon suivante. « Un corps poussé par deux forces, parcourt, par leurs actions réunies, la <liagonale d un parallélogramme dans le même temps dans

i. Cf. l'rincipes, L. I, Axionu's p. 19. « Celte résolution et cette composition des forces se trouve conlirriH-e ;i tout nioniciil dans la nu-caiiique ». — et cor. Il, p. 21. « Ceci fait voir la frcondilé de ce coruilairc, el fournit de nouvelles preuves de sa vérité ».

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lequel il aurait parcouru ses côtés séparément. D'où l'on voit qu'une force directe AD est composée des forces obliques quelconques AB et BD, et réciproquement qu'elle peut toujours se résoudre dans les forces obliques quelconques AB et CD^. » Ce tbéorème pose d'une manière définitive le principe d'additivité des forces. Jusqu'à présent nous avions bien le moyen de juger si deux forces sont égales, mais nous ne savions pas, dans le cas où elles ne le sont point, déterminer leur somme ni leur différence. Maintenant nous sommes en possession d'un mode géométrique qui va nous permettre d'appliquer aux forces un système complet d'opérations. De même qu'un nombre peut toujours, et cela d'une infinité de manières, être regardé soit comme une somme soit comme une différence d'autres nombres, une force pourra toujours se composer ou se décomposer par l'emploi de forces homogènes. Seulement les s-randeurs de ces forces ne s'additionnent ou ne se retranchent pas d'une manière purement algébrique. La force, outre sa grandeur et son signe, possède un caractère géométrique, savoir sa direction. 11 est nécessaire que cet élément géométrique soit également susceptible d'addition. Ce résultat s'obtient d'une manière systématique en faisant usage de la règle du parallélogramme. Cette règle fournit en mécanique l'équivalent des algorithmes spéciaux qu'on rencontre dans le Calcul des Fluxions. Elle permet d'appliquer indifféremment, avec une large part d'arbitraire, la méthode analytique ou la méthode synthétique, puisque la composition et la décomposition géométrique ne diffèrent que par le point de vue où l'on se place. Dans l'un et l'autre cas la loi du parallélogramme des forces doit être envisagée comme un axiome expérimental, ellelire sa valeur du contrôle permanent des faits.

Le principe de l'indépendance des effets des forces par rapport au mouvement antérieurement acquis peut se formuler d'une troisième manière, si l'on fait intervenir la distinction des mouvements absolus et des mouvements relatifs.

Jusqu'ici nous avons admis implicitement que nous avions affaire à un corps se mouvant dans l'espace absolu. Les forces telles que nous les mesurions étaient des forces absolues, et.