Principes, L. I. Schulie, p

,3. Principes, L. I, S. 2, Prop. lY. Cor. G et S. 3, Prop, XI, A'III, XV, sqq.

4. 11 faut renuuviuiM' poiiilaiit (|iii' le i)r()l)1èmc direct est résolu i>ar Newton dans des cas beaiicoui) plus générau.x cpie le prol)lènie inverse. Ce dernier nv. pouvait être aboi'dé i)ar le calcul à l'époque de Newton (jue danslecasdu monvemcnt kcnlérien.

LA GRAVITATION INIVKRSiajj; l.T LA MLCANIQUE CÉLIÎSTE iS'J

pètes. On peut exprimer le résultat obtenu par Xewion de la façon suivante : la condition nécessaire et suflisante pour que les lois de Kepler soient vraies est que les planètes subissent (I(> la part du soleil une. attraction qui varie en raison inverse du carré de la distance.

Une fois les loi.s du mouvement elliptique déduites d'une loi de force correspondante, il reste à passer du cas tbéorique aux cas réels, c'est-à-dire à déterminer l'orbite générale de façon à la faire coïncider avec l'orbite réelle. C'est en effet une remarque de Newton lui-nièmeque les résultats du calcul sont plus généraux que les faits, et im[)liqu(Mit un arl)itraire que la nature n'admet pas.

]a'S lois réelles de l'astronomie sont un cas tout particulier des lois du mouvement elliplicpn' '. Selon la valeur absolue et le signe de la force centrale, selon la dirc^ction et la grandeur de la vitesse initiale, les trajectoires du mouvement Képlérien, peuvent être soit des ellipses, soit des paraboles, soit des hyperboles, ou encore, sous certaines conditions spéciales, des droites ou des cercles. Or il est certain que toutes ces solutions ne peuvent convenir aux problèmes réels. Il est certain par exemple que la droite et 1 hyperbole doivent être éliminées comme incompatibles avec la périodicité des phénomènes célestes. La parabole peut être admise- bien qu'on ne puisse l'utiliser qu'au voisinage de son sommet. L'ellipse elle-même est trop générale. L'observation montre que les planètes n(> peuvent pas décrire toutes sortes d'ellipses. Il est remarquable ((ue les orbites planétaires ont toutes des ellipses peu inclinées et j)cu excentriques. Il faut donc voir si l'on peut préciser la l'orme de 1 orbite la plus générale de façon à la faire co'incider dans toute son étendue av(>c la trajectoir(Ml inie {)lanète donnée, (l'est le i)roblème capital de l'astronomie |)rati(|ue. L'observalion ne pcul nous fournir (lu'uii nombre limité de positions d'im astre. 11 s'agil de voir si par ces positions on peut faire passer une ellipse et une seule sur la([uelle l'astre continuera de se mouvoir.

Kepler se servait de l'inlerpitlation pour trouver la forme des

t. Si l'on se boriio au inomlo plaïu-lairo (V. l'riiuipes, L L p. 0.» et L. III. Mil) lin.).

'2. V. la (liéorio des ciimdL's dans k' L III.

Bi.ocil. l'J

290 LA PHlLOSOPHIlL DE NEWTON

orbites. Il admettait que l'ellipse déterminée par un très grand nombre de positions réelles est identique à l'ellipse véritable. Mais déjà les astronomes anglais avaient simplifié son calcul et cherché à construire l'orbite en partant du moindre nombre d'observations. Ils avaient constaté qu'en notant la position et la vitesse d'une planète à un instant donné, on a tous les éléments nécessaires à la détermination du mouvement ultérieur. Il fallait donc, pour que la solution de Newton fût complète, qu elle pût se déterminer d'une manière univoquc à 1 aide des positions et des vitesses initiales. Il fallait en d'autres termes que les solutions périodiques du problème des forces centripètes, qui sont susceptibles de représenter suivant les cas une conique quelconque, ne pussent plus, si l'on se donne les conditions initiales, représenter qu'une seule ellipse identique à l'ellipse réelle.

On voit que nous soulevons de la sorte le problème de la détermination unique d'un mouvement par les conditions initiales. Est-il certain qu'en fixant arbitrairement une position et la vitesse correspondante du mobile on puisse construire sa trajectoire, et cela d'une façon univoquc ? Sommes-nous sûrs que la forme de courbe trouvée est identique à la trajectoire réelle, ou peut-il y avoir d'autres courbes que notre calcul ait laissé échapper?

Newton ne semble pas s'être préoccupé beaucoup de cette question de principe. Après avoir trouvé que le mouvement elliptique, quels qu'en soient les caractères cinématiques, suppose toujours une force inversement proportionnelle au carré de la distance, il admettait, sous la seule réserve d'une vérification pratique, qu'on pouvait choisir l'ellipse de façon à l'identifier avec une ellipse donnée. On peut démontrer en effet qu'une ellipse est déterminée entièrement par un foyer, un point et la tangente en ce point, si l'on connaît en outre deux diamètres conjugués. Or, lorsqu'on se donne la position et la vitesse initiale du mobile, on se donne justement tous ces éléments. 11 existe donc une ellipse et une seule satisfaisant aux conditions réelles, et il n'y a pas en dehors d'elle d'autre trajectoire possible.

Le raisonnement de Newton sur ce point est au fond un appel au bon sens. Le bon sens nous ensoigiic (pi un mouvement

réel ne peut évoluer que d'une seule manière ; si nous lixons les conditions dans lesquelles il commence, toutes les particularités ultérieures j)euvent s'en déduire. 11 serait absurde ([u'un mouvement réel fût jamais ambigu, ou put se développer en deux sens différents. Si donc nous trouvons d'une manière ou d'une autre une trajectoire qui satisfasse à certaines conditions concrètes, nous sommes sûrs qu'elle est la trajectoire réelle. En d'autres termes les équations du mouvement sont susceptibles dune solution et d'une seule parce que le mouvement est de sa nature susceptible dune réalisation et d une seule. Ce ([ue le bon sens prévoit vaguement, le calcul le contirme avec exactitude. Il est toujours possible de disposer de l'arbitraire qu'introduisent les solutions de la mécanique de façon à les adapter justement à telles conditions concrètes que l'on veut.

Newton pensait (pi un probiènK» mécanique est rigoureusement déterminé de sa nature, comme le phénomène qui lui correspond. C'est en s'appuyant implicitement sur ce principe qu'il résout \o |)roblème inverse du mouvement Képlérien ^ Une pareille solution pourrait sembler aujourd'hui incomplète et sans rigueur. Nous demandons qu'indépendamment de toute idée concrète on démontre, au point de vue du calcul, Vexistence des trajectoires répondant à des conditions données et la non-exislence de solutions multiples. Newton ne j)ouvait se préoccuper de semblables questions. Pour lui les mathémati([ues ont leur point de départ dans des observations physiques, et, si l'usage que nous en faisons est fidèle aux premières conventions, il est inq)0ssible que nous déduisions du calcul des consécjuences incompatibles avec les faits. C'est ce qui se présenterait, si le problème de l'attraction, une fois résolu dans le cas général, ne pouvait s'adapter aux cas particuliers. L'existi'nce des solutions en mécaniipic, et Texistence de solu-

I. Cf. l'rincipeu, L. I, S. 3, l'ru|). Xlll, |i. 71. « Si un corps quelconque iiUiiv continuellement vers mu iculif par une force rcciproquenieni prolniiiionnelie au cai'n; des dislanees paît d'un lieu 1' sui\anl une di'oile (pieliDuque J'U el a\ec une vitesse (pieicorupie. le eor|)s se nioin la dans une l'clion eoniipie rpii aura j)our l'un (J(^ ses foyers le centre des forces, et réciproquement, car le foyer, le point de contact et la position de la tangente élan! (((innés, on j)eut décrire la section conique (jui aura à ce poiid une l'uiiriiuic donnée, el </t'«.to;'/)i/e.s' (ful se luuclieiit el i/ni snnl décriles avec la même lilesse ella même force cenlri/ièle ne sauniienl différer entre elles ».

292 LA PJIILOSOI'HIE DE ÎN'EWTON

lions uniques, est pour Newton un axiome physique et non un théorème qu'il y ait Heu détablir.

Les considérations qu'on vient de faire valoir donnent la solution complète du problème suivant : trouver le mouvement de deux points matériels qui s'attirent en raison inverse du carré des distances. Mais c'est là un problème fictif qu'on ne doit pas identifier d'une manière hâtive avec le problème astronomique. Le cas pratique de l'astronomie n'est pas celui de points matériels, c'est-à-dire de volumes infiniment petits assimilables sans erreur à des points. Le monde solaire comporte des masses énormes, dont les plus éloignées ont une parallaxe sensible, et dont les plus rapprochées peuvent prendre des dimensions apparentes considérables. 11 nestnullement évident à priori que les axiomes démontrés valables dans le cas des points matériels restent rigoureusement vrais dans un cas tellement différent. Les observations que nous avons eu lieu de faire sur le mouvement de corps très petits situés à la surface de la terre, observations dont nous avons tiré la loi de l'inertie, la loi de légalité de faction et de la réaction, et la loi de l'indépendance des effets de forces, ne peuvent s'étendre sans justification préalable au domaine tout nouveau des masses planétaires. Comme ce sont justement ces lois qui sont à la base de la théorie donnée par Newton du mouvement Keplérien, il est nécessaire, si l'on veut que cette théorie soit au moins une première approximation, que les principes fondamentaux de la mécanique soient à peu près vérifiés dans le système solaire.

Ceci peut se prouver, soit directement, par des observations aidées de l'analogie, soit indirectement par la comparaison des faits avec les conséquences déduites des principes. Mais de toutes façons il est indispensable d'établir cpic le cas céleste est bien un cas mécanique si Ton veut faire du système de l'attraction autre chose qu'une belle hypothèse. C'est un des traits de 1 esprit positif de ne pas faire de généralisations hâtives. Quand nous transportons un mode de calcul d un domaine à un autre, il convient d'examiner si les conditions d'application de ce calcul subsistent. C'est une précaution que Newton prend toujours, et dans le cas présent il s'efforce de prouver (|ue des j)ropositions comme le principe d'inertie, le

LA GRAVITATION UNIVERSELLE I;T L\ .MÉCANIQUE CÉLESTE i'!)3

tlicorèmc da coiili-e de -i-avilé, la loi de laddilivité des forces se vérilienl, avec la même précision que dans la mécanique terrestre. Disons tout de suite que le succès des généralisations de Newton tient aux conditions toutes spéciales où se trouve placée la mécanique céleste. Elle étudie les corps qui se rapprochent le plus du corps solide idéal, elle a affaire à un milieu à peu près dénué de résistance, et le cas des forces centrales est un de ceux où la loi d'additivité est tout de suite démontrable. Si au lieu d'aborder la mécanique céleste, la science positive se fût attaquée dabord aux phénomènes élastiques, magnétiques. llicrmodynami(iues, il est à craindre ([u'on eût longtemps mécoimu la généralité des axiomes de Newton.

Newton étend aux mouvements })lanétaires successivement le théorèm(> du centn^ do gravité, le principe d'iiKMiie et la loi d a(hlilivil<'' (hvs forces.

Si nous nous reportons à rilypolhèsc^ première du T.. III', nous voyons (pie Newton admet comme une donnée de bon sens l'immobilité du centre du monde. « Le centre du système du monde est en repos : c'est ce dont on convient généralement; les uns seulement prétendent que la terre est ce centre, et d'autres que c'est le soleil. » Bien que Newton énonce cette proposition comme une simple hypothèse, on a le droit d'être surpris de le voir faire des hypothèses de ce genre. Il semble que le « système du monde » soit une ancienne idée métaphysique, l'idée de la totalité des phénomènes situés dans l'espace absolu. Kn parlant du centre d un tel système (et il faut entendre par là son centre de gravité) Newton dépasserait de beau((.iip le domaine positif où il a coutume de se tenir. En réalité le a cenire du inonde », signifie pour Newton le «centre du système solaire ». Ce point est le seul qu'il nous importe de connaît ir. il est le seul ipii intervienne en Astronomie. Il est possible de démcjutrcr géométriquement- le théorème du centre d.- gravité pour le système solaire. Il est possible aussi d cil (loiiiHi- mil' (ir^inonsti'atioii cniijiriipie, comme celle qui est dissimulée au débul <lii iioisiènic livre, dans un corollaire où on ne I aticiidrail pas ^ NOici sur ce [nnwl \v raisoiiiicmciit di'

\. l'iiiicljie.'!,T. ri, p. 2S.