Arilh. Univ. Conslniclion linéaire des équations

rallo Linearum Ter tiiOrdinis. Mais limitons-nous aux sections ■coniques. Elles rentrent toutes, sauf les cas de dégénérescence, dans l'un ou l'autre des types suivants :

5l + |i=l (Ellipse).

— r j^r = 1 (Hyperbole).

x-^ -f y- = l\- (Cercle).

if =z îlpx (Parabole).

S'il nous fallait choisir la plus simple en nous fondant seulement sur la forme algébrique, c'est à coup sûr la parabole qui devrait être préférée, car son équation ne renferme qu'un seul terme carré. Puis viendrait le cercle, qui dépend d'un paramètre, enfin l'hyperbole et l'ellipse, oi^i figurent deux grandeurs arbitraires. Pourtant il n'est pas un géomètre qui ne préfère le cercle à la parabole. C'est donc que l'expression formelle n'est pas seule à entrer en compte. Le cercle est une courbe limitée, symétrique, facile à décrire. 11 est évidemment plus facile à construire que la parabole avec ses branches infinies et sa courbure inégale. Mais en vertu des mêmes idées, l'ellipse doit être préférée à la parabole, malgré l'apparente complexité de sa formule. C'est de toutes les sections coniques la plus connue, celle qui a le plus d'affinité avec le cercle, enfin celle qui peut être le plus facilement décrite sur un plan^ 11 est donc clair qu'il ne faut pas classer les courbes par les seuls caractères que l'Algèbre révèle dans leurs équations. «La simplicité des équations n'est qu'une simplicité analytique, qui n'a rien de commun avec la composition. Les lois de celle-ci sont entièrement indépendantes de l'analyse. Cette dernière nous mène comme par la main à la composition; mais il n'y a de vraie composition qu'à l'instant où l'analyse a entièrement disparu. )) - La vraie mesure de toute difficulté doit être une mesure pratique, et nous devons distinguer la simplicité ana"

\. Arilh. Univ., p. 88. « Les constructions que l'on fait par la parabole sont les plus simples de toutes, en ne considérant que la simplicité analytique : viennent ensuite celles que l'on fait par l'hyperbole, et en dernier lii'u les consIrucUons par rollij)se. Mais si vous n'avez égard qu'à la simplicité pratique, renversez cet ordre. »

"2. Ar'ilh. Univ., Construction linéaire des équations.

larithmctiql'l: et LALGKBRK 57

lylique, laquelle consiste à exprimer une question par l'équation la plus simple, de la simplicité géométrique, qui consiste à résoudre une question en menant les lignes les plus simples. Les anciens, malgré l'imperfection de leur alg-èbre, avaient compris cette distinction, et sur ce point Newton n'hésite pas à se déclarer leur disciple. Malheureusement, pour les anciens hi liune droite et le cercle étaient les seules figures assez entrées dans la pratique pour qu'on put les appeler vraiment simples. La règle et le compas étaient les instruments uniques admis pour la construction des problèmes. Après avoir épuisé la plupart des problèmes que soulèvent les combinaisons de la droite et du cercle, les géomètres de l'antiquité se heurtèrent do bonne heure aux problèmes généraux du second degré. Dès l'époque d'Aristote, il semble que l'étude des coniques lut l'objet dernier de l'enseignement mathématique, et, par une marche bien naturelle en un temps où la géométrie devançait l'algèbre, c'est par la géométrie qu'on les attaqua tout d'abord. La sphère, le cône et le plan avaient pu s'étudier sans difficulté à l'aide de la droite et du cercle, et c'est par l'analyse de leurs intersections qu'on découvrit ces figures nouvelles, planes comme le cercle qui en fait partie, et pourtant impossibles à décrire dans le plan avec la règle et le compas. Delà une distinction, qui devait subsister jusqu'à l'époque de Newton S entre les problèmes p/ans et les problèmes so//(/es. Les problèmes plans sont ceux qui peuvent se construire à laide du cercle et de la ligne droite, les problèmes solides sont ceux qui, tout en impli([uant des figures planes, ne peuvent s ' construire rigoureusement qu'en faisant appel à des figures auxiliaires empruntées à la géométrie de l'espace. Plus tard on s'aperçut que dans les problèmes solides il fallait encore faire (l>s divisions, cartons les problèmes ne se résolvent pas à 1 aille des sections coniques. Descartes appelait sursolides ou plus que solides les problèmes du troisième degré et de degré supérieur, entendant par là que même en recourant à la géométrie « solide » il était impossible de les résoudre complètement jjar (les constnn'lioiis du second degré. Les anciens, obligés de limiter leurs recherches aux i)roblèmc>s solides pro-