L'ARITHMETIQUE HT L'ALGÈBRE

siste à faire cette détermination de façon que la relation fonctionnelle soit la plus simple possible, et par suite la mieux adaptée aux calculs d'élimination.

C'est donc le choix des variables auxiliaires qui est la grande tâche de l'analyste. Ce choix ne peut se faire tout d'abord d'une laçon rationnelle, car si l'issue en était méthodiquement prévue, le problème serait résolu d'avance. Il est inévitable qu'il s'inspire d'une part de sentiment, ou qu'il y entre, si l'on préfère, une part d'hypothèse. C'est un sentiment, nécessairement très général, de la continuité, c'est une habitude, le plus souvent instinctive, de l'alkire des fonctions, qui doit nous guider. Les quantités qu'il est indiqué de prendre comme variables auxiliaires sont celles qui présenteront la route la plus facile pour arriver à la connaissance des autres, la route inverse étant en même temps la plus difficile^. Ce sont elles qu'il convient d'adjoindre au domaine des données primitives, jusqu'à ce que l'inconnue elle-même s'exprime rationnellement dans le nouveau domaine. Celte adjonction est chose d'estime. Il n'est pas nécessaire de connaître du premier coup d'œil par quelle marche le calcul algébrique nous conduira d'une quantité à l'autre; il suffit de sentir en général que l'une peut être déduite de l'autre par un moyen quelconque.

S'il entre ainsi une part de divination et presque un élément d'art dans la science du calcul, que devient cette « long-ue chaîne de raisons» par laquelle Descartes espérait nous mener des vérités simples jusqu'aux plus composées ? Pourrons-nous dire que les vérités simples ne se trouvent qu'au début de la science, et qu'on peut apprécier la complexité d'un théorème en jugeant de son éloignement dans la série ? Il faudrait dire alors que tous les théorèmes sont de môme importance, puisque l'omission d'un seul rend caducs tous ceux qui le suivent. Il faudrait dire aussi qu'il existe une seule voie pour les démontrer tous, celle qui va des propositions initiales, à travers

1. Arllh. Univ., p. 118 : « C'est loiijoiirri i)ar ces lignes que le ealciil doit commencer, (|ii()i(|U(; dans le cours de l'opération on puisse en introduire d'autres. Le moyen le plus court d'arriver au but, est de mettre pour un moment de côté la (pieslion qu'on veut résoudre, et de s'imaginer (lu'il ne s'agit uniquement que de choisir, parmi toutes les quantités qui doivent entrer dans le problème, celles qui, étant connues, mèneront plus facilement à la connaissance des autres. »

d'autres propositions, de plus en plus nombreuses, jusquà la conclusion nouvelle.

Une telle idée, appliquée aussi bien à la géométrie qu'à l'algèbre, en ferait des sciences rigoureuses, mais forcément stériles. Malgré les efforts tentés par Descartes pour accoutumer l'esprit à posséder d'emblée toute la science, il est évident qu'en pratique l'art des découvertes exige autre chose. Sans doute la démonstration d'un théorème devient chose relativement simple lorsqu'on a présenta l'esprit le théorème compliqué qui le précède, mais il arrive toujours un moment où le théorème nous manque. Il vaut mieux, d'après Newton, garder comme repères plusieurs propositions très simples, faciles à retrouver, quitte à briser un peu la chaîne des démonstrations. Nest-ce pas un fait remarquable que certains théorèmes interviennent sans cesse dans nos déductions, alors que d'autres, souvent aussi simples, demeurent dénués d'application ? Ce sont les premiers à coup sur qui seront les plus importants, ce sont eux aussi qui seront vraiment les plus simples. Ainsi en Géométrie les problèmes les plus difficiles pourraient être résolus par ces deux théorèmes : la composition des lignes par le moyen de leurs parties (parallélogramme des segments) et la similitude des triangles. Pour Newton il n'y aurait même pas nécessité d'en employer d'autres, puisque ceux-ci suffisent à tout.

On reconnaît là une conséquence du rôle attribué par Newton à l'instinct mathématique : l'instinct ne peut être sollicité que dans un petit nombre de directions spéciales. Une fois dirigé dans une certaine voie, il est capable de la poursuivre jusqu'au bout, mais l'impulsion première qui le détermine ne peut provenir que d'intuitions vagues, fondées sur des données familières. Par suite il faut chercher avant tout la simplicité pratique. Celle-ci réside dans l'emploi de moyens exactement proportionnés au but poursuivi. Le calcul mécanique qui transformera les équations sera peut-être long et pénible. La solution n'en sera pas moins la plus simple si la part de difficulté réelle v est réduite au minimum, c'est-à-dire si l'établissement des formules repose sur des analogies faciles, claires et toujours lés mômes ^

1. Arilh. Univ., p. 121 : « L'analyste doit avoir en réserve ces moyens

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Puisque la simplicité n'a qu'un sens pratique, quelle idée devons-nous nous faire de l'application de l'Algèbre à la Géométrie et de la classification des problèmes telle qu'elle était entendue par l'école cartésienne? 11 faut savoir d'abord que dans cette école, à lexemplc de ce qu'avait fait Descartes, on classait toutes les questions en deux groupes, les problèmes géométriques et les problèmes mécaniques. L'origine de cette distinction se trouve dans quelques théorèmes énoncés par Descartes à la tin de sa géométrie. Chaque fois qu'un problème, mis en équation, donne lieu à un nombre fini de formules algébriques, il est possible, d'après les lois de l'élimination, de le ramener à une équation algébrique unique, dont l'interprétation est immédiate : la grandeur inconnue peut se construire, en parlant des quantités connues, à l'aide d'opérations géométriques, c'est-à-dire en menant des droites parallèles ou en construisant des triangles rectangles. Lorsque ces opérations ne peuvent se faire directement sur les lignes données, elles jxnivent du moins s'effectuer sur des paramètres auxiliaires, <iui sont eux-mêmes susceptibles d'être construits géométri- <[uement à partir des données. Il faut alors construire non seulement des triangles, mais des courbes auxiliaires, guidées par des triangles. C'est le sens du théorème entrevu par Descartes, et démontré depuis d'une manière générale parKempe, que toute racine d'une équation algébrique peut se construire par un mécanisme cinématique^. Le xvii'' siècle entendait donc par problèmes géométriques ceux que nous nommerions maintenant algébriques. Au contraire, il désignait sous le nom de questions mécaniques, non pas celles dont la résolution implique le tracé mécanique d'une courbe, — on vient de voir que cette propriété appartient aussi bien aux questions géométriques, — mais celles qui ne pouvaient se résoudre par des courbes purement algébri([ues. C'est l'équivalent des problèmes qu'on nomme aujourd'hui transcendants, et leur dénomination leur venait .sans doute de ce qu'on les rencontre inmiédiate-

{(•oin|)li(|iirs) cl (l'iuitiT.s soinl)lahIes \)0\\v les cas do besoin ; mais il no doit (Ml usiT (iiiavec écoiiondo et leur préférer autant (lu'il [jourra dos principes plus simples, dusscnl-ils rendre lo ealeul un \w\i plus difficile. »

\. Voy. G. Kœnigs, CincmuliqKe, Noies.

ment dans rétude de la mécanique concrète (cycloïde, chaînette, etc.).

La distinction que nous venons de faire était déjà connue des anciens. Pour eux aussi tous les problèmes étaient ou géométriques ou mécaniques. Mais ils n'admettaient dans la géométrie que les problèmes relevant de la ligne droite ou du cercle, rejetant au rang des questions mécaniques toutes celles qui impliquent le tracé d'une courbe de degré supérieur (à l'exception peut-être des coniques, qui finirent par être reçues dans la géométrie proprement dite). Une telle façon de voir s'explique en un temps où l'algèbre n'existait pas, et où la notion de degré, très confusément entrevue, ne permettait pas encore un classement général des courbes. Il faut laisser à Fermât et surtout à Descartes, le mérite d'avoir compris le parallélisme fondamental entre les équations de degré successif et les courbes de plus en plus complexes. Descartes explique très clairement que la construction d'une courbe d'ordre n et la résolution d'une équation de même ordre sont deux problèmes équivalents, et, avec une assurance que les progrès de l'Algèbre ont partiellement démentie, il ajoute que les unes et les autres peuvent se construire par des combinaisons d'ordre inférieur à n. En tous cas, il classait les problèmes comme il classait les courbes par ordre de complexité croissante en même temps que le degré. Pour lui une équation d'ordre n est par définition moins simple qu'une équation d'ordre n — 1, le degré algébrique étant l'exacte mesure de la difficulté logique. Enfin Descartes, bien qu'il ne le dise pas expressément, laisse entendre que les problèmes algébriques, même les plus compliqués, sont plus simples que ceux dont le degré est infini : ce sont ces derniers qu'il appelle mécaniques et que nous nommons transcendants ^

\. Cf. Le début de l'ouvrage de Newton, Enumeralio linearum Terlii Ordinis, Londres, 1706.

La distinction des courbes et des nombres algébriques et transcendants se trouve aussi faite avec une grande netteté dans les Priiicipes mathématiques de la Philosophie naturelle, L. L S. 6, lemme, XXVI H, p. 116. Ce leninie a pour objet de démontrer que « les parties quelconques de toute figure ovale, déterminées par les coordonnées ou par d'autres droitestirées 'a volonté, ne peuvent jamais être trouvées par aucune équation d'urt nombre fini de termes et de dimensions. »

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Cette classification si élégante et si conforme à l'idée cartésienne de la simplicité semble à Newton théoriquement parfaite. Mais en pratique elle fait trop souvent sacrifiera une simplicité apparente, exprimable parle degré, la simplicité réelle qui ne l'est pas.

Si le seul fait de posséder léquation d'un problème suffisait à satisfaire notre curiosité, il est clair que nous pourrions juger de la simplicité de ce problème par le degré de l'équation à laquelle il conduit. Mais, nous le savons, le but de lalgèbre est différent : elle doit nous permettre de lire dans l'équation les propriétés concrètes de l'objet. L'équation, prise en ellemême, n'est qu'une formule plus précise de ce que nous sentions à l'avance. Pour nous apprendre une vérité nouvelle, il faut qu'elle présente à notre intuition un ensemble de rapports que l'imperfection du langage ordinaire n'aurait pu exprimer. Donc on ne peut la séparer de la figure qui lui correspond, celle-ci « nest point une équation, c'est une peinture soit « géométrique, soit mécanique par laquelle on exprime des « idées pour les rendre faciles à concevoir. » ^. H suit de là immédiatement qu'une équation, pour être simple, doit représenter une figure simple. A cet égard il est juste de dire qu'une équation de degré supérieur sera généralement parlant moins simple qu'une autre de degré plus petit. Mais cette règle n'a rien d'absolu. Le degré, qui est assurément la mesure exacte (le la complexité algébrique, na par contre rien de commun avec la complexité géométrique. Une fonction comme le sinus, qui est d'une complication inextricable pour l'algèbre, représente une courbe, la sinusoïde, qui est une des plus simples de la géométrie. On peut même, en suivant Newton, faire un pas de plus. Si la simplicité algébrique était le critérium unique, on ne sait pas pourquoi on se limiterait à classer les équations d'après le degré. A l'intérieur même de chaque degré, il faudrait classer les équations d'après la simplicité de leur forme extérieure. C'est un des problèmes difficiles de l'analyse que la réduction de l'équation générale d'ordre n à un certain nombre de types canoniques. En ce qui concerne le 3" degré, Newton a complètement résolu le problème dans son Enume-