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Cette relation dont Wren el Halley avaient fail usage en même temps que Huyghens, permet, d'après les remarques de Newton?, de comparer la force de la gravité à la force centrifuge. Ces forces apparaissent toutes deux comme susceptibles d'évaluation rigoureuse au moyen d'observations cinématiques, et c'est en se servant de ce théorème que Newton trouve une première confirmation de son idée sur l'origine de la pesanteur Supposons en effet, comme approximation provisoire, que les planètes se meuvent sur des cercles concentriques au soleil, ct faisons usage cette fois de la troisième loi empirique de Képler, d'après laquelle «les temps périodiques des planètes sont en raison sesquiplée des rayons. » Il résulte de là, comme Newton le démontre ?, queles vitesses « sont réciproquement en raison sous-doublée des rayons, et les forces centripètes réciproquement comme les carrés des rayons ». D'ailleurs la réciproque est vraie, et le lien qui existe entre la forme des trajectoires et la loi de l'inverse du carré des distances est ainsi mise en évidence dans le cas du mouvement circulaire. il ne restera plus qu’à l’élendre au cas du mouvement elliptique démontré expérimentalement par les recherches de Képler. C'est ce que Newton fait systématiquement dans la troisième section du premier livre. Nous ne pouvons le suivre dans le détail de ses théorèmes. I] suffit de retenir que le résultat de ces calculs est de résoudre d’une manière complète aussi bien le problème inverse * que le problème direct des forces centri-

. Ibid. Prop. IN, p. 56.

. Principes, L. I: Scholie, p. 56.

* Principes, LL, S2; Prop LV, Cor. 6ét8 "3 Prop, XL XIIL XV, sqq. . I faut remarquer pourtant que le problème direct est résolu par Newton dans des cas beaucoup plus généraux que le problème inverse. Ce dernier ne pouvait être abordé par le calcul à l'époque de Newton que dans le cas du mouvement keplérien.

RONCOMEOISE

pètes. On peut exprimer le résultat obtenu par Newton de la façon suivante : la condition nécessaire et suffisante pour que les lois de Képler soient vraies est que les planètes subissent de la part du soleil une attraction qui varie en raison inverse du carré de la distance.

Une fois les lois du mouvement elliptique déduites d'une loi de force correspondante, il reste à passer du cas théorique aux cas réels, c'est-à-dire à déterminer l'orbite générale de façon à la faire coïncider avec Forbite réelle. C’est en effet une remarque de Newton lui-même que les résultats du calcul sont plus généraux que les faits, et impliquent un arbitraire que la nature n admet pas.

Les lois réelles de l'astronomie sont un cas tout particulier des lois du mouvement elliptique !. Selon la valeur absolue et le signe de la force centrale, selon la direction et la grandeur de la vitesse initiale, les trajectoires du mouvement Képlérien, peuvent être soit des ellipses, soit des paraboles, soit des hyperboles, ou encore, sous certaines conditions spéciales, des droites ou des cercles. Or il est certain que toutes ces solutions ne peuvent convenir aux problèmes réels. Il est certain par exemple que la droite et. l'hyperbole doivent être éliminées comme incompalibles avec la périodicité des phénomèncs célestes. La parabole peut ètre admise? bien qu'on ne puisse l'utiliser qu'au voisinage de son sommet. L’ellipse elle-même est trop générale. L'observation montre que les planètes ne peuvent pas décrire toutes sortes d’ellipses. Il est remarquable que les orbites planétaires ont toutes des cllipses peu inclinées et peu excentriques. Il faut donc voir si l'on peut préciser la forme de l'orbite la plus générale de façon à la faire coïncider dans toute son étendue avec la trajectoire d'une planète donnée. C'est le problème capital de l'astronomie pratique. L'observation ne peut nous fournir qu'un nombre limité de positions d'un astre. Il s'agit de voir si par ces positions on peut faire passer une ellipse el une seule sur laquelle l’astre continuera de se mouvoir.

Kepler se servait de l'interpolation pour trouver la forme des

1. Si l'on se borne au monde planétaire (V. Principes, L. I, p. 65 et L. HT, sub fin.).