V. Principes, L. I, S. 3, Prop. XVII cor. 4, p

vement n'a plus lieu. On admettra sans difficulté que les cas simples doivent être traitésles premiers. Les autres n'introduiront que des corrections le plus souvent petites. Mais quels sont les cas simples, voilà la question que Newton n'a pas discutée. Il admet sans preuve que le mouvement képlérien, réalisé dans le problème des deux corps, est l’approximation dont il faut partir. Pour Jui, le cas le plus complexe du problème des n corps, celui où nous avons affaire à des perturbations qui elles-mêmes ne sont pas régulières, doit se ramener par des corrections successives au mouvement elliptique. Il admet donc implicitement que le calcul des inégalités fait en partant du mouvement képlérien est à la fois le plus convergent et le plus commode.

Nous savons aujourd’hui que l'idée de Newlon élait incomplète. Le mode d'approximation qu'il emploie est convergent jusqu’à une certaine limite, mais ne peut donner dans tous les cas des expressions utiles. L'idée est venue à certains astronomes! qu'on pourrait obtenir des résultats plus parfaits sans rien changer à l'esprit de la méthode newtonienne, en engageant les approximations successives autrement qu'il ne fait. Au lieu de partir du mouvement clhiplique comme approximaüion première, on peul faire intervenir, dans cette approximaüon même, l'effet moyen des forces perturbatrices. Les orbites elliplüiques sont remplacées de la sorte par des « orbites intermédiaires » plus rapprochées des trajectoires réelles, bien quelles doivent se compléter encore par des termes de correcüon. On voit que la manière de procéder de Newton, tout en élant la plus naturelle pour l'époque, n’était pas absolument la seule. Il est intéressant de noter que sa méthode d’approximations, destinée à expliquer par la gravitation même les apparentes inégalités des masses gravitantes, pouvait sans rien perdre de sa signification se développer d'une façon différente.

Les formules mathématiques que donne la mécanique céleste présentent une certaine indétermination. Elles reposent sur des procédés d'intégration, et ces procédés amènent toujours à leur suite un arbitraire qui ne figure pas dans les données ?.

1. V. par exemple les méthodes de Gylden, dans les Nouvelles Méthodes de la Mécanique Céleste, par Poincaré, Paris Gauthier- Villars. 2. V. plus haut, Ch. II.

Pour que le calcul infinitésimal permette de découvrir des solutions parfaitement déterminées, il faut qu’on donne, outre la loi des forces, les conditions initiales du mouvement. De là la nécessité qui s'impose aux astronomes de déterminer les coefficients arbitraires contenus dans les formules analytiques par des observations. Il y a là un premier emprunt à l'expérience, dont la mécanique céleste ne peut se passer.

Voyons de plus près ce que l'expérience peut fournir. Elle nous renseignesur la position d’une planète à un moment donné, sur la vitesse qu’elle possède au même moment. Théoriquement ces deux données doivent suffire à préciser entièrement la position de l'orbite‘. Mais en pratique nous allons nous heurter à une difficulté imprévue. Supposons qu'un couple d'observations nous ait fait connaître certaines valeurs de la longitude et de la latitude d’un astre comme aussi sa vitesse angulaire. Ces valeurs transportées dans les formules, déterminent sans ambiguité les paramètres jusqu'ici arbitraires. Nous nous trouvons alors en possession d’une expression à laquelle on ne peut plus rien changer : elle doit se vérifier telle quelle en tous les points de l'orbite. Or il arrive très généralement que les positions calculées par cette formule et celles que donne l'observation présentent, dès que l’astre s’est un peu éloigné de son point de départ, des divergences notables. Ici encore nous avons l'alternative ou de rejeter la formule et avec elle les principes de la mécanique céleste, ou d'admettre une erreur de mesure dans les données initiales. Cette erreur a certainement été commise, et il reste seulement à décider si sa grandeur est suffisante pour expliquer les irrégularités de la formule. Pour élucider ce point, nous n'avons qu'une ressource. C'est de recourir, comme le fait Newton, à un procédé d'interpolation.

Remarquons en effet qu'en déterminant orbite par un couple unique d’'observalions nous accumulons pour tous les points de cette orbite l'effet de l'erreur commise sur l’un d'eux. Cette erreur pourra être insensible dans le voisinage du point de départ et devenir parfaitement appréciable sitôt qu'on s’en écarte. Il convient donc d'éliminer dans la mesure du possible

1. En vertu des théorèmes généraux sur les équations différentielles du second ordre.

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les chances d'erreur que présente une mesure unique. Pour cela nous déterminerons la trajectoire par un grand nombre de mesures voisines dont chacune comporte une erreur particulière, mais dont l’ensemble peut offrir une allure indépendante de ces erreurs. Nous essayerons donc de faire passer une conique par un grand nombre de points très rapprochés, et la courbe que nous obtenons de la sorte pourra être pratiquement exacte. En tous cas si elle ne coïncide pas dans tous ses points avec la courbe d'observation, elle mettra beaucoup plus longtemps à s’en écarter lorsqu'on quitte la région initale. L'interpolation estemployée par Newton d'une manière constante surtout dans la théorie des comètes!. Là en effet 1l faut déterminer non seulement la position et la vitesse initiales du mobile, mais encore sa masse qui est inconnue. Cette interpolation est essentiellement distincte de l'interpolalion géométrique. Ilne s’agit nullement en astronomie de déterminer une courbe par le nombre minimum de conditions nécessaires. Nous savons que cinq points suffisent à déterminer une ellipse, quatre une parabole, trois seulement un cercle. Est-ce à dire que pour obtenir la trajectoire d’un astre il faille se contenter d'en déterminer cinq points ? Cette manière géométrique d’envisager le problème n'est pas celle qu'adopte Newton. Le but qu'il poursuit n'est pas de découvrir une orbite qui coïncide exactement avec l'orbite réelle en quatre ou cinq points, mais une orbite qui s’en rapproche très sensiblement dans des régions très étendues. Voilà pourquoi le nombre des positions qu'il faut relever par l'observation n’est pas en relation simple avec l'espèce de la courbe étudiée. Selon les cas, on aura besoin d'observations nombreuses et rapprochées, ou d'observations beaucoup plus clairsemées?. Il est évident que, s'il s’agit de déterminer une parabole au voisinage de son sommet, dans une partie où la courbure est notable, on ne pourra se faire une idée convenable par trois ou quatre observations. Ce nombre au contraire suftira parfaitement si l'on se trouve placé sur une