V. Principes, L. II, S. 8, Prop. IX

2, Cf. Principes, L. I, S. 2, Scholic Général.

et il devra être possible de tirer de ce système une solution A,B, unique et compatible avec toutes les équations. S'il en est ainsi, la loi physique se trouve mathématiquement déterminée.

Si nous.ne pouvons trouver pour A et B un système denombres constants, cela prouve que les hypothèses faites sur la nature des résistances sont physiquement insuffisantes et qu'il est nécessaire d'introduire des termes en CV* ou d’autres plus compliqués encore. Dans la plupart des cas nous arriverons sans peine, par une suite d'essais méthodiques, à trouver une forme mathématique approchée qui convienne à tous les résultats. Cette forme ne sera valable naturellement que dans les cas suffisamment voisins de ceux pour lesquels elle a été établie, Elle ne saurait prétendre à une signification absolue. La méthode des coefficients indéterminés, telle que Newton l’applique à la recherche des lois physiques, est un instrument qui donne des résultats précis, mais dans un domaine toujours limité.

Il est un cas extrêmement important où la forme mathématique des lois physiques peut se prévoir a priori. C’est celui où il s’agit d'étudier les variations d’une grandeur quand la variable subit des modifications très petites. Ce cas se rencontre dans la théorie de l’élasticité, lorsqu'il s’agit de déterminer les petites déformations des corps, on le rencontre aussi en astronomie lorsqu'on superpose aux forces d'attraction des forces perturbatrices.

Nous pouvons affirmer que dans tous les cas de ce genre la variation de la fonction est infiniment petite en même temps que celle de la variable. C'est là une conséquence nécessaire: du principe de continuité. Si ce principe ne peut souffrir d'exception en mathématiques, il n’en saurait admettre davantage: dans la nature. On peut donc dire qu'une force quelconque dépendant de variables infiniment petites est elle-même infiniment petite et par suite proportionnelle à ces variables. La loi de proportionnalité de la variable et de la fonction, qui est exceptionnelle entre grandeurs finies, est la règle entre grandeurs infinitésimales, Dès lors on peut affirmer, indépendamment même de toute expérience, que l'allongement élastique d'un fil est proportionnel à la traction, que la résistance qui

s'oppose à un mouvement très lent est proportionnelle à la vitesse, que l'effet des actions pertubatrices en astronomie est, tant que ces actions demeurent très petites, proportionnel àleur intensité. Cetteloide proportionnalité devientsi générale qu'elle finit parne plus apprendre grand’chose. Elle peut même devenir un embarras pour le physicien, car elle l’oblige à confondre dans un terme unique des effets qui ne tarderont pas à se différencier, C’est une difficulté à laquelle Newton se heurte lorsqu’il fait la théorie des oscillations pendulaires dans un milieu résistant !, Pour déterminer les lois de l'amortissement du pendule, Newton fait des mesures aussi exactes que possible du retard apporté par la résistance de l'air au mouvement de masses très différentes. Tant que les masses utilisées sont notables, il demeure possible d'isoler méthodiquement les différents termes de frottement et de montrer qu'ils obéissent à des lois distinctes. Mais dans le cas de masses très petites, dont l'inertie dépasse à peine la résistance du fluide, Newton rencontre de telles divergences entre les nombres calculés et les nombres observés qu'il est obligé d'exclure expressément de sa théorie les corps très légers qui s'amortissent trop dans l'air. Il est tout à fait impossible avec des corps de ce genre de séparer dans la courbe des retards les éléments dus à la résistance proprement dite, et ceux qui viennent de l'échauffement, des poussières, des gouttes d'eau. Tous ces effets, étant très petits, se confondent dans la même loi linéaire. Cette forme linéaire, si séduisante par sa simplicité, ôte souvent aux lois toute signification véritable. Elle cesse de se vérifier sitôt qu'on veut l’étendre à une échelle de variations un peu grande. C'est ainsi que l’aimantation, qui est d’abord proportionnelle à la force magnétisante, cesse de suivre la loi de proportionnalité sitôt qu'on atteint des inductions élevées. Les lois de proportionnalité qui sont les plus simples de toutes, sont aussi les plus banales. Elles s'appliquent à tout champ de variations très petites, et cessent généralement d'être vraies sitôt qu'on veut accroître leur extension.

La forme mathématique donnée aux lois physiques va permettre d'attribuer à ces dernières un degré de généralité qu'elles

4, V. Principes, L. IL, S. 7, Scholie, Exp. 3.

ne sauraient avoir autrement. Il se passe ici quelque chose d'analogue à ce qu’on constate lorsqu'on passe de l'arithmétique à l'algèbre. L'arithmétique est obligée de considérer chaque problème d'une manière particulière. Chaque fois que les données numériques varient, elle est obligée de refaire la totalité de ses raisonnements Elle ne possède pas de formule générale, c'est-à-dire de règle qui s'applique uniformément à tous les problèmes d’un même groupe. Au lieu de cela, l'algèbre nous fournit le moyen de faire abstraction de toute donnée déterminée pour n’envisager que la loi à laquelle satisfont les questions du même genre. C’est la forme des relations qui l'intéresse, plutôt que la valeur des nombres employés.

De même en physique, l'observation brute ne saurait voir aucune analogie entre des cas d'apparence aussi différente que celui des oscillations du pendule, celui des ondulations de l'eau, celui de la propagation du son. Pourtant la physique mathématique nous enseigne que le mouvement oscillatoire du pendule se caractérise par une équation générale qui exprime la proportionnalité des forces aux élongations. La même équation se retrouve, seulement avec une interprétation différente, dans le cas des ondulations liquides. Les cercles qui se produisent à la surface de l’eau sont eux aussi, en chacun de leurs points, le siège de forces proportionnelles aux déplacements et la vibration transversale du liquide trouve son image tont à fait exacte daus les mouvements d’allée et venue du pendule. Il en est de même des ébranlements sonores, bien que les vibrations y soient longitudinales. Les couches d’air alternativement condensées et raréfiées donnent lieu à des « pulsions »{ régulières qui obéissent à des forces allernantes comme celles dont dépend l'oscillation du pendule. 11 suffisait d'étendre à la propagation de la lumière des vues analogues, pour en tirer une théorie ondulatoire extrêmement voisine de celle de Fresnel, etil n'est pas certain que Newton n’ait pas songé à faire le rapprochement ?.

Quoi qu'il en soit, nous pouvons observer qu'après avoir mis