Y— AT

et cherchons à évaluer l'aire qu’elle limite avec sa tangente entre les abscisses o et x. Nous devrons décomposer l'intervalle ox en un nombre très grand » de parties très petites £, de telle façon que n! = x. Additionnant alors les rectangles parels, il vient pour l'aire demandée :

A = ali + a(2}?l + a(3l).1 +...+ a(n0?.1 ou Az al +2 + 3 +...+ bp?)

L'expression comprise entre parenthèses ne semblait pas, aux yeux de Wallis, susceptible d’une évaluation commode. Pourtant, lorsque » est un grand nombre, Wallis avait trouvé, par un calcul approché, que cette somme tend uniformément vers l'expression simple . . Comme nous n'avons à nous occuper que du cas où n augmente indéfiniment, l'approximation admise par Wallis devient entièrement légitime.

Généralisant alors ce procédé, Wallis avait fait porter ses efforts sur l'évaluation des fonctions de grands nombres. Il avait essayé méthodiquement de sommer, non seulement les séries de puissances entières, mais les séries de puissances rationnelles de nombres entiers. On lui doit à ce sujet des formules exactes, de même qu'il savait faire usage de produitset de quotients infinis?. Il appliquait déjà pour établir ces formules dans le cas des exposants fractionnaires, les procédés d’interpolation dont Newton devrait tirer un si grand parti. C’est seulement dans le cas des puissances négatives que sa méthode était parfois en échéc. C'est aux travaux de Mercator qu'il faut faire remonter la solution de cette difficulté.