Voy. plus haut

2. Comme par exemple la célèbre formule qui a gardé son nom et qui permet d'exprimer + sous la forme d’un produit infini de fractions croissantes.

Mercator ! arriva, par des divisions successives, à ramener la quadrature des puissances négatives aux quadratures positives obtenues par Wallis. Il donna l'aire de l’hyperbole équilatère à l’aide des logarithmes, en se servant d'approximations successives tout à fait semblables à celles qu'employait Wallis pour mesurer l'aire de la parabole. On voit que les séries numériques, à peine entrevues par Descartes, prirent tout de suite chez les mathématiciens anglais une importance capitale. Dans l'impossibilité où ils se trouvaient de les sommerrigoureusement, ils furent amenés à en rechercher des valeurs asymptotiques. Par leurs approximations arithmétiques ils ouvraient la voie aux approximations algébriques qui permettent de négliger les infiniment petits en face de quantités qui demeurent finies. C’est le progrès qui va être accompli par le maître de Newton, Barrow.

Le problème des tangentes se posait à cette époque non comme un problème descriptif mais comme un problème métrique. Le but que l’on poursuivait n’était pas seulement d’obtenir par un moyen ou par un autre le tracé des tangentes. On cherchait à évaluer la longueur comprise entre Le point de contact et l'axe des abscisses (tangente proprement dite) ou encore la projection de cette longueur sur l'axe (sous-tangente) afin d’en déduire une construction graphique simple et rigoureuse ?. Barrow aperçut nettement les relations de similitude qui existent entre le triangle formé par la tangente, la sous-tangente et l'ordonnée, et un autre triangle infiniment petit, formé des différences infinitésimales tant de l’abscisse que de l’ordonnée et de la corde qui joint deux points voisins pris sur la courbe. Ce dernier triangle devient à la limite rigoureusement semblable au premier, et Leibniz lui donnait pour ce motif le nom de

triangle caractéristique. Si les deux points choisis surla courbe

sont voisins, mais ne coïncident pas, le triangle caractéristique ne donne qu'une idée approchée de la position relative de la tangente par rapport aux éléments fixes de la courbe. Mais cette

1. De son vrai nom Nicolas Kaufmann, né dans le Holstein, étudia à Copenhague, puis à Londres, où il fut membre de la Société Royale. Sa Logarithmotechnie fut publiée en 1668. Elle se trouve dans le T. I des Scriplores Logarithmici de Francis Maseras (Londres, 1791-1807, 6 vol.).

2. Cependant Roberval en France avait découvert une méthode des tangentes purement cinématique et laissant de côté tout calcul.

idée est d'autant plus exacte qu’on se rapproche davantage de la coïncidence, et cela suffit pour qu'on puisse négliger dans le calcul algébrique toutes les grandeurs destinées finalement à disparaître du résultat. F

En partant de là, Barrow exprime la grandeur { de la soustangente en appliquant les théorèmes relatifs aux triangles semblables et négligeant à la limite toutes les quantités évanouissantes. Si nous appelons æ + a,y +e!, les quantités infiniment voisines des valeurs æ et y, la grandeur t de la soustangente s'obtiendra de la façon suivante : 4° dans l'équation de la courbe on remplacera + et y par x + a, y +eetdansle développement ainsi obtenu on négligera partout les puissances supérieures ou les produits de a et de e, ® on effacera dans les deux membres les termes indépendants de a et de e, 3° on remplacera enfin a par {ete par y, et l'on résoudra par rapport à 4.

Par exemple l'équalion

TS + y° — 73

donnera successivement à° + 3x4 + y + 3y'e —= 7° puis Ge

Sx°a + 3y'e — 0, enfin {= — +; (°). Barrow applique avec succès la règle que nous venons de dire à un grand nombre de courbes dont l’équation permet la séparation des variables. Mais lorsque les variables ne peuvent être séparées, la méthode de Barrow esten défaut. Pourtant les coniques elles-mêmes se présentent parfois sous une forme qui contient le produit des variables. Si cette forme peut être évitée dans les coniques par un changement convenable de coordonnées, il n’en est pas de même pour une courbe plus complexe, dont on s’occupait beaucoup depuis une trentaine d'années, le galand ou folium de

Descartes, dont l'équation s'écrit ainsi :

LS LE y = nrty Pour construire les tangentes aux courbes de ce genre, il

existe une règle analogue à celle de Barrow, qui a été donnée

4. Cette notation rappelle d'une manière frappante celle qui se rencontre chez Fermat.