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nous la remplacerons par son développement qui est ITR SEE 1 + FE æ? + TL æ* +...

et celte série, quoique illimitée, sera plus utile que l'expression finie, parce que chacun de ses termes pourra aisément être soumis au Calcul. Ainsi, à chaque branche de courbe, il sera possible de faire correspondre pour l’ordonnée une série spéciale, explicite, uniforme, généralement entière. En même temps qu'on a isolé de la sorte les branches de courbe que l'équation donne confondues!, on a le moyen d'effectuer sur l’'ordonnée, par les règles ordinaires du calcul, toutes les opérations qui auparavant étaient impossibles. Le résultat obtenu, comme l'équation dont on part, prendra la forme de série infinie. Mais cette série sera évaluable avec une approximation aussi grande qu'on le désire, et cela doit suffire en pratique ?.

L'Arithmétique, aussi bien que l'Algèbre, doit mener aux développements en série. Nous avons vu que le nombre irrationnel s’interprète dans l'arithmétique de Newton comme une généralisation du nombre rationnel. Si nous voulons mesurer une longueur, nous commençons par chercher combien de fois elle contient la longueur prise pour unité. Soit » le plus grand nombre de fois que l'unité entre dans la longueur donnée; n sera une première mesure de la grandeur en question. Si nous désirons une mesure plus précise, nous diviserons l'unité en dix parties égales par exemple, et nous chercherons combien de fois l’une quelconque de ces parties entre dans le reste laissé par la première mesure. Soit »/ ce nouveau nombre ;

n s ; ce n +7; sera une mesure plus approchée. Si nous divisons le 10° de l'unité en 10 parties égales, nous obtenons des unités du 3 ordre qui entreront x" fois dans le résidu des mesures

PRE n a précédentes; n + 5 + -5ÿ Sera une mesure approchée au

quatrième ordre près. Généralement les nécessités de la pra-

4. C’est le point de départ du célèbre procédé de Newton pour la séparation des racines, repris et complété par Puiseux (Cf. Picard, Trailé d'Analyse, T. Il).

2. Dans une lettre à Collins, du 10 décembre 1672, Newton montre déjà que les développements en série donnent la solution pratique du problème des tangentes : « Hanc methodum {tangentium) intertexui alteri isti, qua Æquationum Exegesim instituo, reducendo eas ad series infinitas. »

tique ne nous conduiront pas au delà d’un certain ordre. Notre besoin de précision est satisfait, selon les cas, lorsque nous avons évalué une grandeur jusqu'à un ordre déterminé. Nous convenons alors de représenter la mesure au moyen d'une formule limitée

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n n np

So on EE

etle nombre rationnel ainsi trouvé est écrit dans le système décimal. En réalité, une mesure concrète n’est jamais exacte. Il faudrait pour qu'elle le devint pousser l'approximation à l'infini, et cette extension est l’origine véritable du nombre irrationnel, Un nombre incommensurable n’est autre chose que la mesure exacte d'une grandeur dans le système décimal. Il peut s'écrire sous forme de série infinie

n' mn" n — 70 + 107 +...

et l'on voit qu'il comprend le nombre rationnel comme cas particulier. :

De même que l’Algèbre rationnelle étudie sous une même formule l’ensemble de tous les nombres commensurables, il est clair que les radicaux « asymétriques », tels qu’on les rencontre en algèbre, correspondent d’une manière générale à un ensemble continu de nombres incommensurables. Lorsqu'un radical carré, par exemple, porte sur une fonction entière de x, il est visible que si la variable passe par une suite continue de valeurs, le radical prendra lui aussi une infinité de valeurs distinctes, parmi lesquelles un petit nombre seulement seront par exception rationnelles. Mais alors une analogie évidente, un besoin de mesure identique à celui que nous venons d’analyser, nous feront exprimer, pour chaque valeur de la variable, la valeur que prend le radical dans un système de numération déterminé !. Nous obtenons de la sorte une série, généralement illimitée, pouvant se réduire exceptionnellement à un nombre fini de termes, et qui, si nous avons respecté les conventions

1. Leltre à Leibniz, 13 juin 4676 : Frationes in infinitas series reducuntur per divisionem, et quantitates radicales per extractionem radicum, perinde instituendo operationes istas in speciebus, ac institui solent in decimalibus numeris. Hæc sunt fundamenta harum reductionum.

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fondamentales de l'algèbre, sera équivalente à l’irrationnelle dont nous sommes parlis. La seule différence, importante il est vrai, qui sépare le cas arithmétique du cas algébrique est que dans le premier chaque terme de la série est un nombre bien déterminé ; la série ne peut donc elle aussi représenter qu'un seul nombre. Dans le cas de l’algèbre au contraire, les termes de la série sont des termes algébriques, ils sont fonctions d’une ou de plusieurs variables, et par suite la série tout entière peut représenter un ensemble de nombres, c'est-à-dire une véritable fonction. Comme l’approximation d’une mesure croît lorsqu'on évalue plus de termes dans l'expression d'un nombre irrationnel, de même l’approximation d’une fonction augmente lorsqu'on tient compte d’une plus grande partie de son développement!. L'arithmétique ordinaire et l'algèbre spécieuse sont donc susceptibles d'une interprétation identique ?. Elles mènent à des séries de tous points comparables à celles qu'on tire de l'analyse géométrique des courbes.

Une fois en possession de la méthode de développement en série, Newton n'a plus qu'à appliquer les principes énoncés par Barrow et Wallis pour construire à la fois Le calcul intégral et le calcul différentiel.

S'agit-il d'évaluer une aire, de mesurer un volume, de rectifier une courbe ? On devra trouver la forme algébrique de l'élément qu'il s'agit de sommer, la transformer par l'emploi des séries jusqu'à ce qu'on obtienne une suite de termes entiers, et appliquer à chacun de ces termes les procédés de sommation inventés par Wallis. Faut-il au contraire construire une tangente, chercher le point le plus haut ou le plus bas d'une courbe, on donnera aux coordonnées de petits accroissements désignés par des lettres arbitraires, on développera encore

1. Nam quod numeris accidit, idest, quod eo majus eorum valor decrescit in decimali, vel subdecupla ratione, quo magis ad dextram accedant, id respective locum etiam habet in speciebus, quando termini juxta dimensiones numeratoris vel denominatoris cujusque sunt dispositi in uniformam progressionem in infinitum prolatam. — Meth. Flux, Ed. Castillon, p. 32.

2. Hinc facile additionem, substractionem, divisionem, multiplicationem et radicum extractionem discere quis potest, dummodo in decimali ac speciosa arithmetica versatus sit, nec animum divertat unquam ah analogia quæ est inter decimales fractiones et algebricos terminos in infinitum productos, Meth. flux, p. 33.

l'équation en série ordonnée suivant les puissances de ces lettres, et conformément aux règles de Barrow on trouvera en négligeant les puissances supérieures soit la formule qui donne Ja tangente, soit celle qui donne l’ordonnée maxima. Ce sont des calculs de ce genre qui remplissent le premier opuscule de Newton, l’'Analysis per Æquationes Numero Terminorum Infinitas. Newton y donne une série d'exemples où sa méthode de développement réussit, et bien qu'il l'applique exclusivement à des problèmes de calcul intégral, il est hors de doute qu'il l'utilisait dès cette époque dans des questions de calcul différentiel. Mais on ne trouve dans ce premier écrit aucun indice de notation nouvelle. La découverte d'une notation permettant de rendre pratique la méthode des séries et de lui donner toute l'ampleur qu'elle comporte date seulement de l’année suivante?, et fait l'objet de la « Méthode des Fluxions ».

L'expression de moment avait été employée de tout temps par Newton pour désigner l'élément infinitésimal dont la sommation engendre une quantité finie. Cette expression trait son origine des idées de Cavalieri, pour qui l'aire d’une courbe s'engendre progressivement par le déplacement de l'ordonnée parallèlement à elle-même. Le moment n'est alors autre chose que le rectangle infiniment petit qui va s'ajouter à la somme des rectangles déjà produits. Mais ni Cavalieri, ni Barrow luimême n'avaient jamais considéré le moment comme une fonction de la variable indépendante. Ils avaient plutôt envisagé comme telle la somme des moments ou l'aire de la courbe. L'expression de celte aire dépend en effet de l’ordonnée où on la limite, et comme cette ordonnée elle-même dépend de labscisse, il était naturel que l'aire de la courbe apparût comme une fonction de æ. Le moment au contraire est un infiniment petit, difficile à comparer avec une variable finie, plus difficile encore à considérer comme une fonction d’une telle variable.

De là l'idée fondamentale de Newton qu'il faut évaluer les moments, non en les rapportant à des unités finies, mais en prenant comme unités de mesure d'autres quantités infiniment

1. Dans {ous les exemples qu'il cite n’entrent encore que des irrationnelles du second degré.

on:

np ht

petites, ou, si l'on préfère, d’autres moments. La variation très petite de l’abscisse et la variation très petite de l'ordonnée sont alors rigoureusement comparables. Leur rapport n’est plus un nombre très petit, c'est un nombre qui tend vers une limite finie. Le moment de la fonction d’une part, le moment de la variable d'autre part, deviennent fonction calculable l’un de l'autre.

Il suit immédiatement de là qu'il est nécessaire, dans un développement quelconque, de désigner par des lettres d’espèce différente les grandeurs ordinaires d'un côté, les grandeurs évanouissantes de l’autre. De la sorte nous serons assurés de respecter l’'homogénéité, comme il est indispensable dans toutes les questions qui doivent recevoir une interprétation concrète. Les lettres ordinaires de l'alphabet continueront à servir pour les nombres finis, mais les accroissements infiniment pelits que les nombres doivent recevoir seront notés par des symboles spéciaux permettant d'éviter toute confusion. Il faut que ces symboles s'appliquent de la même façon aux quantités que nous considérons comme indépendantes et aux quantités que nous considérons comme dépendantes. L'abscisse aussi bien que l’ordonnée est susceptible d'accroissements infinitésimaux et, comme ces accroissements sont de même nature, il convient d'employer pour les caractériser une notation parfaitement uniforme.

L'expression de moment peut aisément suggérer une pareille notation. Elle semble indiquer en effet. que l'élément d’aire est un accroissement de nature simple, en tout semblable à l'élément de temps pendant lequel cette aire s'accroît. Il vaut mieux pourtantse servir, comme va le faire désormais Newton, du mot plus imagé de fluxion. Ce mot indique d'une façon saisissante le rapport qui existe entre une quantité quelconque et la variation progressive qu’elle subit. Cest le rapport même qu'on observe entre le débit instantané d'un fleuve et la masse totale de ses eaux. Il n’est pas de grandeur dont l'accroissement, la constance ou la diminution ne puisse se comparer aux états successifs d'un fluide mobile. Il suffit d’avoir cette comparaison sans cesse présente à l'esprit pour comprendre qu’en mathématique tous les accroissements qu'on rencontre, accroissements d'aire, de longueur, de distance, de volume,

sont à la quantité dont ils dérivent comme une « /luxion » est à la masse « fluente ».

Que l'on convienne done de marquer par un point, par ur trait, ou par un signe quelconque les lettres qui doivent désigncr les fluxions, pour les distinguer commodément de celles qui sont affectées aux quantités finies, et l'application de l’algèbre ordinaire à ces nouveaux symboles deviendra immédiate. L’algèbre repose sur ce postulat, que toutes les lettres sont homogènes entre elles, et représentent des grandeurs de même genre. Le calcul différentiel devient possible dès qu'on a fait une convention analogue : les lettres marquées ou soulignées sontelles aussi homogènes entre elles, elles représentent toutes des grandeurs du même genre, seulement ces grandeurs sont évanouissantes. En fait, la notation choisie par Newton est celle qui consiste à marquer d’un point la lettre z, symbole d’une grandeur, pour obtenir la première fluxion 3 de cette grandeur. La fluxion de cette fluxion s’écrira 3, la suivante 7, et ainsi de suite. Cette dernière généralisation n'existe pas encore dans la « Methodus Fluxionum » et on la trouve appliquée pour la première fois dans le traité « de Quadratura Curvarum » publié en 17041. Mais l'emploi des lettres marquées d'un point avait suffi pour permettre à Newton d'aborder par ses développements en série les problèmes les plus compliqués de son époque. L'équation qui donne le maximum ou le minimum d’une fonction peut s'écrire sous la forme nouvelle y — 0, La solution du problème des tangentes est toujours comprise dans: la relation générale exprimant que la sous-tangente est à l'or-. donnée comme æ est à y. La détermination de la courbure et. des points d'inflexion résulte de formules analogues où les. fluxions de æ et de y apparaissent toujours d’une manière homogene et où leurs rapports donnent toujours naissance à des nombres finis. |

Tous ces résultats, et d’autres encore que Newton utilisa plus tard dans la composition des Principes, font voir l'importance capilale qu'avait pour cette partie de la science le choix d'une notalion?. On peut dire que sans l'emploi des séries Newton ne