Barrow, Lectiones Geometricæ (1670) Xe leçon, exemple

par le baron de Sluse. De Sluse communiqua sa méthode en 1672 à la Société Royale, et sur la demande de cetle société, 11 ajouta à l'énoncé de sa règle quelques théorèmes destinés à la justifier théoriquement’. Ces théorèmes montrent que de Sluse, comme Barrow, avait conscience de l’artifice fondamental du calcul différentiel. Tous deux prenaient le petit accroissement de l’abscisse, dx ou a, comme variable indépendante dans le domaine des quantités infinitésimales. Ils évaluaient les autres quantités très petites, par exemple l'accroissement de l’ordonnée, dy ou e, en prenant la première comme unité de mesure. Ceci les amenait à diviser leurs formules par la plus haute puissance de la variable évanouissante, et ànégliger, dans le développement résultant, les puissances de a ou de e.

Pour effectuer ces opérations d’une façon pratique, il n'est pas nécessaire de refaire chaque fois tous les calculs. Il suffit de résumer en quelques règles simples, analogues à celles de Barrow et de Sluse, le résultat de ces opérations, commepour faire une multiplication algébrique il n’est pas nécessaire de justifier isolément chaque opération, mais on peut employer des simplifications évidentes qui constituent précisément le calcul algébrique. Ainsi Barrow a fort bien compris qu'il faut constituer avant tout un véritable calcul des indivisibles. Les opéralions à effectuer sur les infiniment petits sont du ressort d’une algèbre spéciale, qui a ses règles et ses procédés, aussi rigoureux que ceux del'algèbre ordinaire. Tant que cet instrument de calcul ne sera pas suffisamment perfectionné, l’analyse infinitésimale sera arrêtée par la complexité des formules. Comme l'étude des approximations numériques avait mené Wallis à l'emploi des séries, l'étude des approximations algébriques conduit Barrow au caleul différentiel.

L'ordre dans lequel Newton publia ses ouvrages ne donne pas une idée très exacte du développement historique de son esprit. À part son premier traité, l'Analyse par les Séries — Analysis per Æquationes Numero Terminorum infinitas ? — qui

1. Voy. Phil. Transactions, n° 95, p. 6059 et ne 97, p. 6126, Phi. Trans. ADR NOl MIND. 22

2. Barrow communiqua le manuscrit à Collins, qui le transcrivit pour le faire lire à Oldenburg. Cette copie a été trouvée par Jones dans les papiers. de Collins, et c’est lui qui la publia comme un ouvrage de Newton. Le manuscrit de Newton n'était pas primitivement destiné à la publication.

fut communiqué à Barrow dès le mois de juillet 1669, les autres publications de Newton sont toujours des divulgations tardives de découvertes longuement mûries. Beaucoup sont des écrits d'occasion! destinés à répondre aux sollicitations de son entourage. Quelques traités ont été suggérés par des problèmes d'actualité. Enfin une certaine quantité de lettres adressées à Oldenburg, à Chamberlyne, à Wallis et à l’abbé Conti, se rapportent surtout au conflit avec Leibniz et sont moins des compléments de doctrine que des revendications de priorité. Newton a gardé de tous temps, par le fait d'une nervosité spéciale, la haine de la publicité. Les plus importantes de ses découvertes, comme par exemple celle de la gravitation, élaient au point dans son esprit plus de 20 ans avant qu'il songeât à les communiquer au monde savant. A plus forte raison se montra-t-1l réservé en ce qui concerne les débuts de sa méthode et ne devons-nous chercher dans la chronologie de ses opuscules qu’une indication assez peu sûre de l’ordre où se formèrent ses idées. Il est bien certain par exemple que l’£Enumeratio Linearum Tertii Ordinis, publiée pour la première fois à Londres en 1706 représente un stade de la pensée de Newton bien antérieur à cette date, et que le traité De Quadratura Curvarum, édité par l’auteur en 1704, est contemporain par ses idées de la méthode des Fluxions que Newton pratiquait certainement en 1671. Il serait donc illusoire de chercher à saisir les progrès de l'analyse infinitésimale en s'en tenant rigoureusement à l'ordre des dates où

4. La « Melthodus Fluxionum et Serierum infinilarum » était faite d’abord pour être ajoutée à l’Introduction de Kinckhuysen à l'Analyse Spécieuse. Collins devait se charger de l’éditer. Mais les travaux optiques de Newton et son goût de la tranquillité retardèrent longtemps cette publication. Penberton nous apprend qu'à la suite de la Ille partie de la Me/hodus Fluxionum, Newton se proposait d'en ajouter une IVe sur «les Problèmes qui ne peuvent pas se ramener aux quadratures. » La perte de cette IVe partie est d'autant plus regrettable que Newton n’a nulle part repris le même sujet. La Méthode des Fluxions a été traduite par Bu/fon en 1740.

Le traité « de Quadratura Curvarum » a été publié par W. Jones en 1711 à Londres, en même temps que l'Enumeratio Linearum Terlii Ordinis sous le titre Analysis per quantilatum Series, Fluxiones ac Differentias. L'Enumération des lignes du troisième ordre fut rééditée avec commentaires par Stirling (Oxford, 1717) et vulgarisée par Mac-Laurin (1720), Nicole el Bragelongne. L'opuscule intitulé Methodus differenlialis a été publié par Jones d’après le manuscrit de Newton. L’édition donnée par Castillon en 1744 contient quelques fragments mathématiques de moindre importance, dont un d’une authenticité douteuse (opuscule VIT, 2° partie).

Newton a publié ses méthodes. Nous croyons plus exact et plus sûr de nous fier à l'esprit de ses Traités. Fort heureusement les découvertes de Newton ont toutes été en sa possession d'assez bonne heure. On peut dire qu'après 1690 il n'y ajouta plus rien, même dans le détail, et nous n’aurons pas à signaler chez lui, comme on serait amené à le faire pour Leibniz, aucun changement de point de vue, aucune évolution.

Nous avons vu que bien avant Newton on trouve les indices d'un calcul intégral et d'un calcul différentiel, mais jamais avant lui on nesut exprimer l’idée d'un calcul infinitésimal, c'est-àdire d'une branche nouvelle des mathématiques, dont le calcul intégral comme le calcul différentiel ne sont que des aspects. Les problèmes qui avaient mené peu à peu à constituer une sorte de calcul intégral, étaient très nombreux et en apparence bien différents : problème des quadratures, des rectifications des volumes tournants, problème des maxima et des minima, problème des isopérimètres, problème des centres de gravité.

Les questions qui avaient orienté les recherches du côté du calcul différentiel étaient tout aussi riches et aussi dissemblables : problème des tangentes, des trajectoires orthogonales, problème des roulettes, problème de de Beaune. ! Beaucoup de géomètres avaient abordé avec une réelle ingéniosité un certain nombre de ces problèmes et en avaient parfois donné des solutions assez complètes. Mais on ne soupçonnait en aucune façon que des difficultés aussi variées dussent se résoudre par une méthode uniforme ou fissent partie d’un type commun qu'il suffisait d'analyser une fois pour le retrouver dans tous les cas. Assurément quelques mathématiciens d'élite, etici à côté de Barrowil faut certainement nommer Descartes, pressentaient celte réduction. Le nom même de « problème inverse des tangentes » donné au problème général de l'intégration, montre qu'on entrevoyait son rapport au « problème des tangentes » proprement dit, c’est-à-dire au calcul différentiel. Mais ce ne

1. Bien que le problème de de Beaune doive être considéré comme un exemple de « problème inverse des tangentes », c'est-à-dire de calcul intégral, il a servi surtout à perfectionner A notation différentielle. On peut l'énoncer ainsi : trouver une courbe dont l'ordonnée soit à la sous-tan-

nr nt une longueur donnée est à la différence entre l’ordonnée et abscisse.

3 didsé

sont là que des vues imparfaites, sans suite et sans fécondité. Newton au contraire, a compris dès l'abord que les mêmes notions se retrouvent à la base des nombreux problèmes que la science présentait comme disjoints. Il est inévitable qu'on s'élève à la méthode des fluxions, soit qu'on parte des tracés géométriques, soit qu'on approfondisse le calcul des différences ou même l'arithmétique ordinaire. Une fois la notion de « variation infinitésimale » acquise par une voie ou par une autre, le calcul de ces variations n'est plus qu'une affaire d'habileté.

La Géométrie Analytique et l'arithmétique pure sont les deux voies que Newton préfère pour s’élever au calcul infinitésimal, et ces deux voies mènent l’une et l’autre à une même conception fondamentale, celle des séries qui se composent d’un nombre infini de termes variables. Partons par exemple du point de vue cartésien. Il n’est qu'un cas où la géométrie analytique, telle qu'elle a été traitée par Descartes, s'applique complètement.-C'est celui où toutes les grandeurs qui interviennent dans le calcul sont rationnelles !, et où par suite les opérations de l'algèbre ordinaire réussissent jusqu'au bout. Tel est le cas de certains problèmes touchant la parabole, la droite et quelquefois le cercle. A ces problèmes, Descartes ajoute ceux qui impliquent des radicaux carrés, et même les racines d'équations générales du 3° et du 4° degré. Ceci lui permet d'appliquer sa méthode au folium par exemple, et à la parabole semi-cubique. Mais ce sont là les problèmes les plus complexes que l'algèbre cartésienne puisse résoudre effectivement. Non qu'elle ne s'applique en théorie aux courbes algébriques de degré quelconque, mais sitôt que la variable ne peut plus s'exprimer explicitement en fonction simple des données, les procédés pratiques du calcul ne sont plus utiles, et Descartes est obligé de se contenter de considérations générales touchant le degré du lieu cherché.

Cette imperfection pratique éclate d'autant plus que Descartes se proposait de donner un moyen permettant toujours de construire un problème. Or lorsqu'on cherche, par exemple, à évaluer l'aire d’une courbe, la méthode cartésienne ne donne

4, On reconnait la catégorie des problèmes portant sur des courbes «unicursales ».

aucune construction. Bien plus, elle méconnait la nature métrique du problème, puisqu'il faut posséder, au moins d'une manière approchée, l'expression explicite de l'ordonnée si l’on veut arriver à une sommation. Si donc Descartes résout parfaitement les problèmes où l’ordonnée de la courbe est donnée en fonction rationnelle de l’abscisse, si à la rigueur on peut dire qu'il résout ceux où l’ordonnée implique des radicaux, sa méthode ne donne aucun renseignement, ni pour les problèmes de construction, ni pour les problèmes de mesure, dans le cas des équations non résolues, où l'ordonnée estfoncüon implicile de la variable.

La première nécessité qui s'impose à Newton est de compléter sur ce point l'algèbre cartésienne. L'ordonnée de toute courbe algébrique est à considérer comme une fonction explicite dont la forme doit être déterminée. Une pareille détermination, Newton le reconnait, ne peut se faire par les ressources de l'algèbre dans le cas des courbes composées. Au delà du 4° degré nous ne possédons aucune formule exacte qui per: mette de caractériser chaque branche de la courbe par une équation de la forme

y = vx)

où l’'ordonnée est fonction simple de l’abscisse. Mais si une formule explicite rigoureuse est hors d'atteinte, nous nous contenterons d’une formule approchée. Même au-dessous du 4° degré il sera parfois utile de renoncer à une expression exacte, chargée de radicaux superposés, pour se contenter d'une formule limite, où figureront une infinité de termes, mais où chaque terme sera simple, rationnel ou entier, et comme préparé d'avance pour les transformations du calcul.

De là le principe newtonien, qu'il faut faire disparaître de toutes les formules les « irrationalités » ou les « asymétries » et pour cela développer les formules en séries rationnelles. Ce développement peut toujours se faire, d’après Newton, en se servant de la seule division ou de la seule extraction des racines poursuivie jusqu'à l'infini. Si par exemple nous rencontrons dans le calcul l'irrationnelle

Vie