Principes, L. I, Section 1, Lemme XI, Scholie, p

« Je démontrerai par cette méthode tout cc qu'on démontre par celle des indivisibles. Mais en ayant prouvé le principe, je m'en servirai avec plus de sécurité. »

2. Remarquons que Newton substitue par là l'idée des variables tendant vers zéro à celle de quantités petites, mais constantes. « Lorsque je me servirai dans la suite pour être plus clair des mots de quantités évanouissantes, de quantités dernières, de quantités très pelites, il ne faut pas entendre par ces expressions des quantités d'une grandeur déterminée, mais toujours des quantités qui diminuent à l'infini. »

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enseigne par quelle voie le calcul doit procéder. L’analogie de la vitesse nous permet de donner une signification immédiate à tout rapport d'infiniment petits, quelle qu'en soit l'origine. H suffit de considérer les deux termes du rapport comme les analogues d'un espace et d’un temps liés par une loi de mouvement convenable, et au lieu de les envisager chacun comme actuellement « indivisibles » de se borner à mesurer leur quotient, dont la limite est accessible. « Ainsi, nous dit expressément Newton, ce que je dirai des raisons doit toujours s entendre non des quotients déterminés, mais des limites des raisons des particules évanouissantes ! ».

D'où savez-vous que ces limites existent, diront les adversaires des indivisibles? Votre calcul donne bien le moyen d'évaluer approximativement de pareilles limites. Encore faudrait-il démontrer que les rapports dont elles dérivent ne sont pas des formes indéterminées, des symboles aussi dépourvus de sens que les termes dont ils se composent. À cela Newton répond non par le calcul, mais par le fait. S'il est théoriquement possible que le rapport de deux quantités très petites ne tende vers aucune limite ?, du moins, dans la plupart des cas, les nombres dont on se sert, représentant une réalité donnée, doivent imiter par leurs variations les changements de cette réalité. Même s'il ne s'agit pas d’un problème de cinématique proprement dite, où la vitesse d’un mobile est en jeu, nous pourrons toujours imaginer que nous mesurons la vitesse de « quelque chose », et cela sutfit pour qu’un rapport se rapprochant indéfiniment de cette vitesse possède une limite, C’est le sentiment du mouvement continu qui est à la base de l’argument de Newton. Mathématiquement, il serait juste de dire que l'existence des dernières raisons, ou comme on dit aujourd'hui des dérivées, a besoin d'être établie en rigueur. Physiquement, leur existence est tout à fait intuitive. Comme l'homme de bon sens répond au sophiste, qui nie la possibilité du mouvement, par le geste et non par la parole, Newton justifie j’emploi des dernières raisons, non par une déduction a priori, mais par un appel à l'expérience.