PAC

sont légitimes dans de larges limites. C'est à l'expérience de nous faire voir jusqu'où on peutlesétendre sans danger. D'abord l'analogie est d'une application constante lorsqu'on veut développer une fonction en série. Newton, qui ne pouvait prévoir les formules générales de Mac-Laurin et de Leibniz, ne connaissaitpas d'autre moyen pour arriver aux développements en série que la division et l'extraction des racines. Ces opérations sont toujours pénibles etquelquefois inextricables.Ilarrivegénéralement que les premiers termes d’une division peuvent s'écrire sans difficulté, mais sitôt qu’on veut pousser l’approximaüon un peu loin, les opérations, théoriquement possibles, cessent pratiquement d’être effectuables. Dans ces cas l’analogie va nous guider. Si les premiers termes d'une série laissent entrevoir une loi de succession régulière, si l’on s'aperçoit qu'ils sont des fonctions simples du rang qu'ils occupent, il est tout naturel de supposer que la régularité ne va pas se démentir. On écrira les termes éloignés en les construisant en fonction de x sur le modèle des termes les plus proches, et il restera à vérifier si l'expression trouvée répond bien au développement qu’on désire. C'est cette voie que Newton a suivie pour démontrer dans des cas généraux sa formule du bmôme. Ce qui est évident pour le cas d'un exposant entier et positif peut tout au moins suggérer des analogies pour le cas des exposants négatifs, fractionnaires ou incommensurables. C'est cette voie encore qu'il recommande lorsqu'il s’agit de vérifier la validité d'un développement. Au lieu de substituer aux fluxions de la variable des valeurs infinitésimales, nous sommes obligés de les remplacer par des nombres petits, mais finis, etnous devons voir si ces nombres finis vérifient approximativement la formule. Nous calculons donc notre série numérique, jusqu'à un terme derang convenable, pour une suite décroissante de valeurs de x, et nous examinons si la somme obtenue satisfait de mieux en mieux aux identités posées. Cette vérification ne pouvant jamais

e faire que d'une manière approximatrve, c'est l’analogie, elle encore, qui nous autorise à estimer qu à la limite elle se ferait exactement !. En d’autres termes, les séries infinitésimales gar-

4. Comp. Lect. Oplic. Prop. XIV, Cor. Il, Lemme VE, p. 141. « Nam rationum similitudines quæ quantitalibus commensurabilibus conveniunt indefinite, eo nomine conveniunt etiam incommensurabilibus similiter affecüs,

dent une signification précise lorsqu'aux infiniment petits qui y figurent on substitue des quantités très pelites. Mais les expressions qui en résultent, au lieu de converger rapidement, ne tendent que d’une manière assez lente vers leur limite. La convergence croît d'autant plus vite que les « différences » sont plus près d'être des « fluxions ». On peut donc admettre qu'un résultat approché, lorsqu'on se contente de quelques termes finis, deviendra précis lorsqu'à la limite on aura une série de termes infinitésimaux.

Enfin l’analogie se retrouve encore dans une autre partie de la méthode. Il arrive que le langage différentiel rapproche des notions que la géométrie sépare. Cela tient à ce que l’analogie des formules est parfois plus grande que celle des figures. Ainsi l'hyperbole équilatère et le cercle sont pour le géomètre deux courbes entièrement distinctes. Au contraire, l'expression différentielle de l’arc du cercle et de l’arc d'hyperbole, la quadrature des aires interceptés par les deux courbes, le développement en série de leurs ordonnées, montrent des analogies profondes que la géométrie ne pouvait dévoiler?. Il suffit de changer un signe dans l’ordonnée du cercle pour obtenir celle de l'hyperbole, et il s’en suit que ces deux courbes se ramènent à un type fondamental unique. Dans la Table des Quadratures elles seront représentées par une seule quadrature canonique el l’analogie qui excite entre elles suffira pour déduire des propriétés de l’une, par des opérations toujours parallèles, les propriétés de l’autre. Ici encore l’analogie est dictée par la comparaison des formules, elle aura besoin d’être vérifiée a posteriori. En tous cas elle permet de réduire l’un à l’autre des problèmes en apparence distincts,

quemadmodum ex Euclidis definitione similium rationum ostendi potest Sed facilius deprehenditur imaginando quantitates, quas vocant incommensurabiles, posse numerari per partes indefinite parvas, el sic ad naturam commensurabilium, praesertim quoad rationum habitudines, quodam modo reduci ».

1. Cf. Meth. Flux. p. 52. « Denique, licet species, quæ perspicuitatis gratia fuerunt hactenus suppositæ infinite parvæ ,supponanlur quantumvis magnae, tamem quotiens erit adhuc verus, quanquam non adeo celeriter ad veram radicem convergal ; quod patet ex rerum analogià. »

2. Meth. Flux. p. 150. « Hic observare potes quod, licet area circularis cum hyperbolica conferri nequeat, geometrice rem considerando, tamen: ambas deteximus eodem calculo arithmetico. »

dont l’affinité géométrique ne saute pas aux yeux tout d'abord !.

L'interpolation, plus encore que l'analogie, est un procédé essentiel à la méthode de Newton. Newton lui-même dit en plusieurs endroits?, que le problème de l'interpolation est « peut-être le plus beau de tous ceux dont il désirait la soluton ». Il faut savoir qu'aux yeux de Newton la création des nombres fractionnaires et des nombres incommensurables est déjà la solution d’un problème d’interpolation. Sitôt que l'esprit humain s’est aperçu qu'il fallait mesurer des grandeurs plus petites que l'unité, il a remarqué que l'intervalle des nombres entiers devait être subdivisé par adjonction de nombres nouveaux servant de passage. Cette idée d'interpolation se représente lorsqu'on veut appliquer la méthode des fluxions à des courbes complexes. Théoriquement il est possible d'employer l'équation de la courbe, d'en tirer l'expression de l’ordonnée et de procéder à des sommations directes. Mais les séries sur lesquellesilfaudraitopérerseraientincommodesetcompliquées. Même en faisant appel à l’analogie, nous n'arrivons pas toujours à un développement maniable. C'est ici qu'intervient l’idée de l'interpolation. Pour -Newton, une courbe transcendante compliquée peut toujours s’intercalerentre deux courbes algébriques plus simples. De même qu'il existe un passage continu d'un nombre entier à un autre, et que les différents termes de ce passage nous sont approximativement connus par les nombres simples qui les enferment, on peut dire qu'une courbe quelconque peut se situer entre deux courbes plus simples. La connaissance exacte de ces dernières fournira une idée de la courbe donnée. Si par exemple nous voulons calculer l'aire d’une: courbe non algébrique, il nous est toujours possible de déterminer deux ou plusieurs courbes algébriques, voire même des courbes paraboliques, rencontrant la première ou la touchant en des points déterminés. Supposons que nous ayons écrit l'équation de ces courbes. Leurs ordonnées étant directement exprimées par un polynôme du ? degré, le calcul des aires devient immédiat. Or l'aire de la courbe donnée est comprise entre les valeurs extrêmes qu’on obtient pour les courbes

4. C'est l’analogie des formules qui suggère à Newton sa théorie de la transformation des figures (V. Principes, L. I, S. #, Lemme XXII, p. 99). 2. V. par exemple Deuxième Lettre à Oldenb. 24 octobre 1676, p. 341.

intermédiaires. Plus le degré des courbes de comparaison s'élève, c’est-à-dire plus elles sont près de coïncider avec la première, plus l’approximation est parfaite.

De là les règles données par Newton, aussi bien dans la Methodus Differentialis! que dans les Principes? pour obtenir l'expression parabolique la plus propre à donner une mesure des aires. Ces règles font pressentir le «calcul des différences » tel qu'il allait être créé par Leibniz. Mais ce que l'interpolation newlonienne a d’original, c'est qu'ellese donne comme un procédé de bon sens. Newton ne recherche pas si une courbe transcendante est vraiment la limite de courbes algébriques d'ordre croissant. Il suffit que la continuité existe pour que le bon sens permette d'affirmer que deux courbes ayant un grand nombre de points communs possèdent en tous leurs points des propriétés peu différentes. On sait ce qu'il faut penser de cette règle et les limitations qu'elle doit subir. Mais en pratique l'interpolation newlonienne réussit. Les problèmes transcendants que l'on rencontre ont toujours une allure quasi-algébrique. En : déterminant un grand nombre de points et faisant passer par ces points une courbe quarrable ÿ, nous faisons, Fexpérience le montre, une approximation légitime. C’est que la continuité, dont nous avons l'instinct, se vérifie dans la langue précise du calcul. L'analogie et l'interpolation, que cet instinct de continuité inspire, se trouvent réussir en Analyse pour les mêmes raisons qu'en Algèbre et en Arithmétique.

Ce qu’on appelle d'ordinaire le bon sens n’a pas une valeur absolue. C'est au fond une croyance vague en la continuité des phénomènes naturels, et cette croyance a besoin d’être consolidée par des vérifications incessantes. Dès qu'on admet avec Newton que toute méthode mathématique emprunte son point de départ aux faits, se laisse guider par des analogies et progresse par une suite d'inductions, il devient évident que la certtude mathématique se rapproche dela certitude expérimen-