CHAPITRE IV

Les Principes Mathématiques de la Philosophie Naturelle: contiennent toute la mécanique de Newton. C'est l'ouvrage qui est aujourd’hui encore à la base de la mécanique rationnelle, et l’on peut dire que tous les progrès faits par cette science depuis deux siècles ont été accomplis dans la voie indiquée par Newton. Mais aux yeux de Newton lui-même, ce n'était pas la dynamique seule, c'était la physique tout entière qui devait se ranger sous ses Principes Mathématiques. Les lois de l’équilibre et du mouvement ne sont pas le seul cas d'application de sa méthode. L'optique, l’élasticité, l’acoustique, la théorie du frottement, celle des marées, celle des courants fluides ou visqueux peuvent se traiter par les principes du calcul aussi bien que la Cinématique ou la Statique. Ainsi la portée de l’ouvrage de Newton est aussi étendue que le titre l'indique. C’est bien la « philosophie naturelle » c’est-à-dire l'ensemble des sciences physiques, que Newton prétend constituer. Il se peut qu’au cours de son livre il consacre plus de développements à certains cas d’un intérêt tout particulier : la gravitation universelle, la théorie des marées, les lois du mouvement des solides dans un milieu résistant, tels sont les points qui sont traités avec le plus de détail. Mais ce ne sont pas les. seuls qui soient mis en lumière. Au contraire on sent partout chez Newton le juste sentiment de la portée que peuvent avoir ses propositions. Il lui arrive fréquemment de faire ressortir l’analogie d'un problème mécanique et d'un problème physique, comme par exemple du problème de trois corps et de celui des mouvements de la mer. En ce sens on peut dire avec exactitude que les Principes de la Philosophie

Naturelle sont le premier traité de Physique Mathématique.

Il n’y a pas d'exemple avant Newton de phénomène physique nettement expliqué par une théorie mathématique complète. Si nous exceptons quelques travaux de Galilée surles machines simples! et quelques formules d'Archimède relatives à Phydrostatique, il n’est pas excessif de dire que la physique du xvu siècle ne possédait aucune formule rigoureuse. Sous linfluence des recherches de Descartes, mais surtout grâce aux belles expériences de Pascal, on s’acheminait lentement vers un système de déterminations numériques d'où des relations fécondes devaient sortir. Newton est le premier qui ait fait passer en pratique l'idée d’une physique démonstrative. Pour lui le Calcul infinitésimal rend possible ce qui restait chez ses prédécesseurs à l’état d'indication idéale : l'assimilation des grandeurs physiques aux grandeurs géométriques et lapplication aux symboles qui représentent les premières des modes opéraloires admis pour les secondes. C’est en Mécanique pure certainement que cette assimilation est le plus facile. Mais la nature n'admet point de barrière entre la mécanique des corps solides, la déformation des milieux élastiques et la fluidité des systèmes gazeux. Pareillement lapplication du calcul ne se limilera point à l'étude des corps ou des corpuscules compacts. Les procédés qui servent à donner une idée des propriétés de la matière réussissent partout. Tout ce qui dans la nature est susceptible d'apparaître comme quantité peut. être réduit en expression mathématique. La Physique Mathématique, loin d'être un chapitre de la Mécanique rationnelle, la renferme comme cas particulier.

Les Principes se présentent comme un ouvrage d’une composition entièrement mathématique. Ils sont divisés en trois livres, et chaque livre comprend, avec des définitions et des axiomes, une série de Lemmes, de Propositions et de Corollaires se suivant d’une façon démonstrative. On reconnaît là les longues chaînes de raisons qui caractérisent la méthode euclidienne et que Descartes avait imitées dans les Principes de la Philosophie. Fautl en conclure que Newton obéisse à une

1. Surtout le levier, le moufle, la poulie. Galilée donne aussi la théorie

exacte d'un appareil qu'il nomme « bilanciotto » et qui est une sorte de balance hydrostatique.

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inspiration semblable à celle qui poussait Descartes, et qu'il croie ne pouvoir présenter de vérités certaines si elles ne revétent une forme géométrique ? L'œuvre de Newton est-elle déductive comme le système de Descartes, est-elle au contraire indépendante de la forme qui la recouvre, expérimentale dans son essence et mathématique seulement par accident ? Afin de répondre à celte question, il faut remarquer que la première édition des Principes date de 1687 et qu'avant cette époque Newton s'était déjà fait connaître comme physicien et commeexpérimentateur.Soninventiondutélescope deréflexion et la communication qu'il fit à la Société royale de Londres . des premiers résultats sur la dispersion datent de l’année 1672. L'une et l’autre de ces découvertes avaient soulevé d'ardentes polémiques. Malgré la sûreté de sa méthode et la prudence de sesaffirmations, Newton s était vu entrainer dans des débats très vifs, souvent plus passionnés que précis. D'un caractère naturellement inquiet et d'une sensibilité aisément irritable, Newton, qui était sorti vainqueur de ces luttes, en avait gardé un sentiment d'aversion dont il ne se débarrassa jamais. Les polémiques personnelles, qui pourtant ne devaient épargner ni son astronomie, ni son optique, ni son calcul des fluxions, lui semblaient horriblement pénibles. L'expérience lui avait fait voir bien vite que l'accumulation des résultats concordants ne suffit pas à persuader toujours. L'’aveuglement, les préjugés, le souci des théories admises sont des causes profondes de mésintelligence que l'évidence d’une expérience délicate ne suffit pas toujours à lever. En vain Newton répondait à ses critiques : refaites les expériences et vous serez convaincus vous aussi. Les expériences étaient refaites dans des conditions légèrement différentes, et les résultats demeuraient discordants. C’est alors que Newton, pour couper dans la racine toute possibilité de dispute stérile, se décida, mais se décida malgré lui, à revêtir désormais toutes ses publications d’une forme strictement mathématique. Les Principes, dès la première édition, furent écrits sur le modèle d'Euclide. L'Oplique, dans ses éditions successives! devient de plus en plus géométrique. De cette façon Newton se donnait l'avantage d’élimiter à priori toutes

BLocn.

les objections vagues portant sur des points de détail pour ne laisser place qu'à une critique serrée des arguments et des calculs.

Ce serait pourtant une erreur de croire que la forme mathématique semblât à Newton la meilleure en soi. S il avait pu s'en dispenser, il est vraisemblable qu'il leût fait, comme on en peut juger par la fréquence et la longueur de ses Scholies. Les Scholies des Principes sont comme des points d’arrêt dans la suite des déductions mathématiques. L'auteur, las de rester sur le terrain de l’abstraction, y passe à la pratique en donnant soit des exemples, soit des analogies qui illustrent sa pensée. Parfois même il est montré dans les Scholies par quelle voie historique Newton s’est élevé à telle ou telle proposition, que la nécessité d'un enchaînement parfait l’a obligé d'exposer à son rang logique. D’autres fois il met en lumière les relations qui existent entre le théorème général qu'on vient de démontrer et certains cas particuliers où il a été élabli précédemment. ‘ Enfin il arrive que Newton consacre des Scholies à une jusüfication de son mode de calcul et de sa terminologie mathématique.? De toutes façons on peut dire que les Scholies renferment une bonne part de la physique de Newton et qu'on y trouve les vues les plus hardies de sa Mécanique céleste.

Dans l’Optique de 1704 les Scholies ne suffisent plus. Newton se voit obligé d’intercaler dans la série de ses théorèmes des « Expériences » (experimenta) qui sont les prémisses nécessaires des arguments suivants. On voit que les goûts de Newton l’auraient porté de préférence vers un mode d'exposition qui fût plus souple et plus accessible. S'il a choisi l'appareil mathématique, ce n'est point par scrupule de rigueur, ou parce qu'il croyait impossible de trouver ailleurs une explication satisfaisante. L'esprit du physicien était trop développé chez lui pour qu'il plaçât la clarté sensible au-dessous de la précision géométrique.

Descartes, comme Spinoza, attachait aux démonstrations mathématiques une vertu particulière. Il est impossible d'’arri-

1. V. par exemple les Scholies des Probl. IV et V (Prop. IV et X) du L. I.

2. C'estle cas du Scholie du L. 1, sur la méthode des premières et dernières raisons, p. 46 sqq.

ver, pensait-t-il, à une intuition vraiment infaillible, si l’on ne soumet pas la raison humaine à une discipline syllogistique et à un formalisme mental. Il existe une méthode et une seule de se représenter les choses dans l’ordre où elles existent, c’est de les rattacher les unes aux autres par une nécessité géométique. De là les démonstrations de la métaphysique cartésienne et les théorèmes célèbres de l’Éthique. Newton est loin de ces arrière-pensées. Pour lui, comme nous allons le voir, la nature est un ensemble complexe qu’on peut aborder de diftérents côtés. Il n'existe pas une déduction et une seule qui permette de construire l'univers. Le rôle des mathématiques n'est

-pas un rôle créateur. Elles doivent se contenter d'enregistrer

d'une manière commode des correspondances qui échapperaient autrement. Leur rôle n’est vraiment essentiel que lorsqu'il s agit de faire état d’une donnée pour en découvir d’autres par l'expérience. Là elles permettent de ramener une recherche à ce qu’elle comporte d’indispensable et suppriment les intermédiaires. Si par exemple je veux démontrer que les planètes s’attirent en raison inverse du carré de leurs distances, le calcul apprend qu’il reviendra au même d'observer à l’aide du télescope si elles se meuvent sur des trajectoires elliptiques. Le calcul sert donc de passage entre le fait observé et la conclusion permise. Cette conclusion pourrait peut-être s’obtenir directement par la voie expérimentale, Mais si l’on veut éviter les objections stériles, il vaut mieux procéder par voie indirecte et substituer les mathématiques à l'expérience. La géométrie n’est pas une fin que l’expérimentateur propose à ses recherches, une expression définitive donnant prise sur la vérité absolue. C’est un moyen de persuader les incrédules par un langage plus clair que les faits.

Il est impossible de lire le début des Principes sans être frappé de la gène qu'éprouve Newton à poser ses Définitions et ses Axiomes. Ce n’est pas qu'il s'agisse d'idées confuses, Newton n’énonce que des Définitions nettes et ses Axiomes n’ont rien d’arbitraire. Mais l’ordre systématique où 1l Les range a quelque chose de factice. On sent queles notions primordiales! mises par lui à la base des sciences physiques ne peuvent

À. Principes, Ed. Castillon, L. I, p. 1-16.

s'établir déductivement et qu’en même temps elles sont incompréhensibles sans les Lois énoncées un peu plus loin !. Si l’ordre et la connexion des choses étaient les mêmes que l'ordre etla connexion de nos idées, les définitions de Newton ne seraient pas acceptables, parce qu’elles ne forment pas une série linéaire. La définition de la force, celle du mouvement, celle de l'espacesont solidaires l’une del’autre etilestimpossible de dire laquelle des trois donne logiquement naissance aux deux autres. De même, le principe d'inertie, le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, le principe de Newton, sont inséparables les uns des autres. Ils servent à comprendre les définitions précédentes en même temps qu’ils se justifient par elles. Ainsi il faut admettre dès l’abord que la suite réelle des idées n'est pas rendue exactement par l’ordre mathématique dont se sert Newton. La liaison véritable des concepts est ici une dépendance mutuelle. Toutes les notions qu’on rencontre au début des Principes forment un système, mais la valeur de ce système ne vient pas de ce qu'il offre une apparence déductive, elle vient de ce qu'il forme un groupe coordonné dont les éléments se conditionnent les uns les autres. Montrons d'abord le rôle qu'assignait Newton aux Définitions mécaniques analogues aux Définitions de la géométrie euclidienne. De là nous passerons aux Axiomes ou Lois du mouvement, qui éclairciront en retour les définitions posées.

Il est nécessaire de mettre à la base de la Physique Mathémalique des définitions rigoureuses. Cela résulte du programme même que Newton s’est tracé. L'esprit de sa méthode est facile à saisir dès le début des Principes et déjà dans la préface écrite par Newton en 1686. « Toute la difficulté de la Philosophie, dll, paraît consister à trouver les forces qu'emploie la nature par les phénomènes de mouvement que nous connaissons, et à démontrer par là ensuite les autres phénomènes. C’est l’objet qu'on à en vue dans les propositions générales du I° et du Il livre, et on en donne un exemple dans le III°, en expliquant le système de l'univers. Car on y détermine par les propositions mathématiques démontrées dans les deux premiers livres les forces avec lesquelles les corps tendent vers le soleil et les